2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务二十二 ·平面向量基本定理及向量坐标运算 课件

这是一份高一数学期末复习课件，聚焦平面向量基本定理及坐标运算，涵盖主干知识梳理（基底性质、坐标运算、共线表示）、基础检测、能力达标例题解析、规律方法总结和及时练，构建完整复习支架。 资料特色鲜明，知识深化强调基底唯一性等关键要点，例题结合图形几何性质培养数学眼光，练习分层提升运算与推理思维，通过坐标表示强化数学语言表达，助力学生巩固基础，为教师提供层次分明的复习教学资源。

高一数学期末复习课程 任务二十二·平面向量基本定理及向量坐标运算 一、主干知识梳理 1.平面向量基本定理 零向量不能作为基底 如果e1,e2是同一平面内的两个　　　　向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=　　　　　.若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个　　　　　. [知识深化] 给定基底,同一向量的分解结果是唯一的,因此若{e1,e2}是基底, 且a=λ1e1+μ1e2=λ2e1+μ2e2,则必有λ1=λ2,μ1=μ2. 不共线 λ1e1+λ2e2 基底 2.平面向量的坐标运算 当向量用坐标表示时,其加法、减法、数乘运算的法则 运算 坐标表示(设a=(x1,y1),b=(x2,y2)) 加法 a+b=(x1+x2,y1+y2) 向量与坐标之间用等号连接 减法 a-b=(x1-x2,y1-y2) 数乘 λa=(λx1,λy1),其中λ∈R 已知A(x1,y1),B(x2,y2) ,则=(x2-x1,y2-y1). [知识深化] 1.的坐标是用B点的横、纵坐标减去A点的横、纵坐标得到的,既有方向的信息也有大小的信息. 2.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b⇔x1=x2且y1=y2. 3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔　　 　　. 微思考　若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是吗? x1y2-x2y1=0 提示 不是.因为当时一定有a∥b,但当a∥b时,不一定成立, 因为x2,y2中可能有0. 1.在下列各组向量中,可以作为基底的是(　　) A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(,-) B 解析:两个不共线的非零向量构成一个基底,选项A中向量e1为零向量,选项C,D中两向量共线,选项B中e1≠0,e2≠0,且e1与e2不共线.故选B. 二、基础检测 2.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b=(　　) A.(-2,-1) B.(-1,2) C.(-1,0) D.(-2,1) B 解析:因为平面向量a=(1,1),b=(1,-1), 所以a=(),b=(,-),则a-b=(-1,2).故选B. 3.在平面直角坐标系中,若A(-3,2), B(3,2),则=(　　) A.(0,4) B.(6,0) C.(-6,0) D.(6,2) B 解析:由题意可知=(3-(-3),2-2)=(6,0).故选B. 4.如图,在△ABM中,BM=3CM,,若=λ+μ,则λ+μ=(　　) A.- B. C.- D. D 解析:)=) =-,故λ+μ=-故选D. 5.已知a=(1,2),b=(2,3),实数x,y满足等式xa+yb=(3,4),则x+y=　　　　. 1 解析:由题意,xa+yb=x(1,2)+y(2,3)=(x,2x)+(2y,3y)=(x+2y,2x+3y)=(3,4), 所以解得所以x+y=1. 6.已知a=(2,3),b=(6,y),且a∥b,则y=　　　　. 9 解析:∵a∥b,∴2y=3×6,解得y=9. 7.如图,已知▱ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),则顶点D的坐标为　　　　. (2,2) 解析:设顶点D的坐标为(x,y). 则=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y). 因为,所以(1,2)=(3-x,4-y),即 解得 所以顶点D的坐标为(2,2). 8.已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 D 解析:因为a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a-b|==5.故选D. 9.已知k∈R,a=(2,5),b=(6,k),且a∥b,则k的值为　　　　. 15 解析:∵a∥b,∴2k=5×6,解得k=15. ①.平面向量基本定理的应用 例1 (1)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别为CD,AD的中点,若以向量为基底表示向量,则下列结论正确的是(　　) A. B. C. D. D 三、能力达标 解析:注意到又E为DC中点, 则; F为AD中点,则 则 则 (2)在△ABC中,已知D是BC边上靠近点B的三等分点, E是AC的中点,且=λ+μ,则λ+μ=(　　) A.- B.-1 C. D.1 A 解析:如图,因为D是BC边上靠近点B的三等分点,E是AC的中点, 所以 )-=- 因为=+,所以λ=-,μ=, 所以λ+μ=-=-故选A. 1.平面向量基本定理包括两个方面 (1)一是存在性,即存在实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2. (2)二是唯一性,即对任意向量a,存在唯一实数对λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 2.基底的性质 (1)不共线性:平面内两个不共线的向量才可以作为一个基底,基底不同,表示也不同. (2)不唯一性:对基底的选取不唯一.平面内任一向量a都可被这个平面的一个基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的. (3)若基底选取不同,则表示同一向量的实数λ1,λ2可以不同,也可以相同. 及时练1：(1)(多选:)如图,=2,线段AD,CE相交于点F,则(　　) A. B. C. D. AC 解析 对于A,)=,故A正确;对于B,) =,故B错误;对于C,设=x+y,则=x+y=3x+y,因为E,F,C三点共线,所以3x+y=1,又因为=x+y=x+2y,且A,F,D三点共线,所以x+2y=1,解得x=,y=,故,故C正确;对于D,)=,故D错误.故选AC. (2)如图,在等边三角形ABC中,AB=2,以三条边为直径向外作三个半圆,M是三个半圆弧上的一动点,若=λ+μ,则λ+μ的最大值为(　　) A. B. C.1 D. B 解析:如图,过点M作MP∥BC,交直线AB,AC于点P,Q,设=x+y,可得x+y=1.设=k=k,则=(kx-1)+ky 因为=+,所以λ+μ=kx-1+ky=k-1, 由图可知,当PM与BC所在半圆相切时,k最大, 由AB=2,BE=,可得AE=2+, 所以k=,即k的最大值为, 所以λ+μ的最大值为故选B. ②.平面向量的坐标运算 例2 (1)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相连能构成三角形,则向量c等于(　　) A.(1,-1) B.(-1,1) C.(-4,6) D.(4,-6) D 解析:因为4a,3b-2a,c对应有向线段首尾相连能够成三角形, 所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6). (2)如图,已知AB=BC=CD=1,AB⊥BC,AC⊥CD, AC与BD交于点O,=λ+μ,则λ+μ=(　　) A.-1 B.1- C.+1 D.--1 A 解析 以C为坐标原点,CD,CA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则C(0,0),A(0,),B(),=(,-),=(0,-). 因为BC=CD=1,∠DCB=135°,故∠BDC=22.5°. 因为tan 45°==1, 所以tan 22.5°=-1(负值舍去),故O(0,-1). 又D(-1,0),则=(1,-1),因为=+=(,--), 所以解得所以λ+μ=-1.故选A. 及时练2：(1)已知=(1,-1),C(0,1),若=2,则点D的坐标为(　　) A.(-2,3) B.(2,-3) C.(-2,1) D.(2,-1) D 解析:设D(x,y),则=(x,y-1),2=(2,-2), 根据=2,得(x,y-1)=(2,-2),即解得 所以点D的坐标为(2,-1). (2)如图,将两块全等的等腰直角三角形拼在一起,若+2=x+y, 则=　　　　. 3 解析:设等腰直角三角形的直角边长为1,则斜边为,以直线AB,AC分别为x轴、y轴建立如图所示平面直角坐标系, 可得A(0,0),B(1,0),C(0,1),D(1+),E(1-), =(1,0),=(0,1),=(-),=(), +2=x+y+2=(1,2), x+y=((-x+y),(x+y)), 解得=3. ③.向量共线的坐标表示 例3 (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,则角C的大小为(　　) A. B. C. D. C 解析:在△ABC中,由p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),p∥q,得(a+c)(c-a)=b(b-a),整理得a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cos C=因为0<C<π,所以C= 利用向量共线求参数 (2)已知向量a=(-1,2),b=(3,λ),若a+2b与2a-b平行,则实数λ的值为(　　) A.- B. C.6 D.-6 D 解析 因为a=(-1,2),b=(3,λ),所以a+2b=(5,2+2λ),2a-b=(-5,4-λ). 又a+2b与2a-b平行, 所以5(4-λ)=-5(2+2λ), 解得λ=-6. 及时练3：(1)已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点, 若=(12,16),D(-2,-3),则点E的坐标为(　　) A.(4,5) B.(1,1) C.(-5,-7) D.(-8,-11) A 解析:如图,因为D,E分别为AB,AC的中点, 所以=(6,8). 设E(x,y),又因为D(-2,-3), 所以(x+2,y+3)=(6,8), 即解得即点E的坐标为(4,5). (2)已知θ为第三象限角,向量a=(sin θ,1),b=(cos θ,2),且a与b+2a共线, 则sin θ的值为(　　) A. B. C.- D.- C 解析:因为a=(sin θ,1),b=(cos θ,2),所以b+2a=(cos θ+2sin θ,4), 由a与b+2a共线得cos θ+2sin θ=4sin θ,所以cos θ=2sin θ. 因为sin2θ+cos2θ=1,所以5sin2θ=1. 因为θ为第三象限角,所以sin θ=-故选C. 例4 已知点A(-1,1),B(1,3),C(2,2),若点M在线段AC上,且BM=2,则点M的坐标 为　　　　　　　　　. () 解析:依题意,设=(0≤λ≤1),而=(3,1), 所以=λ(3,1)=(3λ,λ)=(2,2), 于是=(3λ,λ)-(2,2)=(3λ-2,λ-2). 由BM=2,得=2,解得λ= 又0≤λ≤1,所以λ=,此时=(),故M(). 利用向量共线求向量或点的坐标 变式探究：(变结论)在本例中,已知条件不变,若O为坐标原点,试求直线OB与直线AC的交点P的坐标. 解:由于直线OB与直线AC相交于点P, 则O,B,P三点共线,不妨设=k(k∈R),而=(1,3), 所以=(k,3k),从而=(k+1,3k-1). 又因为A,P,C三点共线,所以而=(3,1),所以k+1=3(3k-1),解得k=,于是=(),即点P的坐标为(). 及时练4：已知点A(3,4),将OA绕坐标原点O逆时针方向旋转至OB,再将OB延长至OC,使=2,则点C的坐标为　　 　　. (3-4,4+3) 解析:设OA的终边对应的角为α,∴sin α=,cos α=,则OB的终边对应的角为α+,故cos(α+)=cos αcos-sin αsin,sin(α+)=sin αcos+cos αsin ,∴B(5cos(α+),5sin(α+)),即B(). 又=2=(3-4,4+3),则点C的坐标为(3-4,4+3). 任 务 完 成 $