2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务十二·对数运算、对数函数 课件

这是一份高一数学期末复习课件，共50页，围绕对数运算与对数函数展开。包含概念性质梳理、运算公式深化、典型例题解析，以及基础检测和能力达标训练，为学生搭建系统的知识学习支架。 资料特色突出，注重数学核心素养培养。通过换底公式变形等知识深化培养抽象能力，结合对数式化简求值等例题发展推理运算能力，用符号语言表达规律方法提升应用意识。能帮助学生巩固重点知识，也为教师提供层次分明的教学资源。高一学生处于初高中数学思维过渡阶段，期末复习需强化知识体系构建，本资料通过阶梯式训练助力学生夯实基础，提升解题能力。

高一数学期末复习课程 任务十二·对数运算、对数函数 1.对数及对数运算 概念 如果　　　(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=　　　,其中a叫做对数的　　　　,N叫做　　　　  性质 底数的限制a>0,且a≠1 对数式与指数式的互化:ax=N⇔　　　　  负数和零没有对数 1的对数是　　　:loga1=　　　  底数的对数是　　　:logaa=　　　  常用对数:lg N=log10N　自然对数ln N=logeN(e=2.718 28…) 对数恒等式:=　 　  ax=N logaN 底数 真数 x=logaN 0 0 1 1 N 运算性质 loga(M·N)=　　　　 　  a>0,且a≠1,M>0,N>0 loga=　　　　　　 　  logaMn=　　 　　(n∈R)  换底公式 logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) logaM+logaN logaM-logaN nlogaM [知识深化] 换底公式的变形:logab=logab·logbc·logcd=logad；lobn=logab (a,b,c,am均大于0且不等于1,n∈R). 1.计算(lg 5)2+lg 2×lg 50的值. 解 (lg 5)2+lg 2×lg 50=(lg 5)2+(1-lg 5)×(1+lg 5)=(lg 5)2+1-(lg 5)2=1. 对数运算练习 2.已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　　) A.25 B.5 C. D. C 解析 由log83=b,得8b=3,即23b=3,则2a-3b=,所以4a-3b=,故选C. 3.计算(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2+(log52+log252)×log85的值等于　　　　. 解析 原式=lg 5×(lg 5+lg 2)+lg 2+(log52+lo2)×lo5 =lg 5+lg 2+(log52+log52)log25 =1+(log52)log25 =1+log52×log25= 4.若2lg(x-2y)=lg x+lg y,则的值为(　　) A.4 B.1或 C.1或4 D. D 解析 ∵2lg(x-2y)=lg(x-2y)2=lg x+lg y=lg(xy), ∴(x-2y)2=xy,即x2-5xy+4y2=0,()2-5()+4=0, ∴(-4)·(-1)=0,解得=1或=4, 又∵x-2y>0,且x>0,y>0, >2,=4,即,故选D. 5.求值:eln 2+(lg 5)2+lg 5lg 2+lg 20. 解 eln 2+(lg 5)2+lg 5lg 2+lg 20 =2+lg 5(lg 5+lg 2)+lg 20 =2+lg 5+lg 20=2+lg(5×20) =2+lg 100 =4. 6.计算:. 解 原式== = 7.已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　　) A.25 B.5 C. D. C 解析:由2a=5两边取以2为底的对数,得a=log25. 又因为b=log83=log23, 所以a-3b=log25-log23=log2=2log4=log4, 所以4a-3b=,故选C. 8.已知a>1,=-,则a=　　　. 64 解析:由题log2a=-, 整理得-5log2a-6=0, 解得log2a=-1或log2a=6,又因为a>1, 所以log2a=6=log226,故a=26=64. 1.对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则:对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行. (2)两种常用的方法 ①“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数; ②“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 2.换底公式的变形 (1)logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1); (2)lobn=logab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R); (3)logNM=(a,b,N均大于0且不等于1,M>0). 3.换底公式的推广 logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0). 及时练2 计算下列各式: (1)log225·log3(2)·log59; 解:(方法一)log225·log3(2)·log59 =log252·log3log532=6log25·log32·log53=6. (方法二)log225·log3(2)·log59==6. (2); 解:原式==1. (3)log23·log38+(. 解:原式==3+=3+2=5. 二、对数函数知识梳理 1.对数函数的概念 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是　　　　. [知识深化] 对数函数解析式y=logax的三个特征:(1)底数a>0,且a≠1;(2)真数是自变量x且x>0;(3)系数为1. (0,+∞) 2.对数函数的图象与性质 函数 y=logax(a>0,且a≠1) a>1 0<a<1 图象     图象 特征 在y轴右侧,过定点(1,0) 这是因为loga1=0　 当x逐渐增大时,图象是上升的 当x逐渐增大时,图象是下降的 性质 定义域 (0,+∞) 值域 R 单调性 在(0,+∞)上单调递增 在(0,+∞)上单调递减 函数值变化规律 当x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 [知识深化] 1.对数值的符号规律:logax>0⇔(a-1)(x-1)>0,logax<0⇔(a-1)(x-1)<0(其中a>0,a≠1,x>0). 2.在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴;当0<a<1时,底数越小,图象越靠近x轴.也就是说,在第一象限内,不同底数的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.函数y=loga|x|与y=|logax|(a>0,a≠1)的性质 函数 y=loga|x| y=|logax| a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 定义域 (-∞,0)∪(0,+∞) (0,+∞) 值域 R [0,+∞) 奇偶性 偶函数 非奇非偶函数 单调性 在区间(0,+∞)上单调递增; 在区间(-∞,0)上单调递减 在区间(-∞,0)上单调递增; 在区间(0,+∞)上单调递减 在区间(0,1)上单调递减; 在区间(1,+∞)上单调递增 图象       三、基础检测 1.在下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(　　) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y= D 解析:利用对数恒等式,有y=10lg x=x(x>0),其定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞),结合选项知D正确. 2.图中曲线是对数函数y=logax的图象,已知a取四个值,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为(　　) A.　　　 B. C. D. A 3.已知f(x)=|lg x|,若a=f(),b=f(),c=f(2),则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a D 解析:∵f(x)=|lg x|= f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,由f(2)=lg 2=-lg=f(), ∵0<<1,∴f()>f()>f()=f(2),所以c<b<a. 4.函数y=的定义域为　　　　. (,1] 解析:要使函数有意义,则需满足解得<x≤1. 5.函数y=lo(3x-1)的单调递减区间为　　　　. (,+∞) 6.已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b D 解析:根据题意结合对数函数的性质可知a=log2e>1,b=ln 2∈(0,1), c=lo=log23>log2e,据此可得c>a>b. 7.若函数f(x)=(a2-3a+3)logax是对数函数,则a的值是(　　) A.1或2 B.1 C.2 D.a>0且a≠1 C 解析:∵函数f(x)=(a2-3a+3)logax是对数函数, ∴a2-3a+3=1,a>0且a≠1,解得a=1(舍去)或a=2,∴a=2,故选C. 8.已知函数f(x)=1+loga(2x-3)(a>0,且a≠0)恒过定点(m,n),则m+n=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 解析:令2x-3=1,解得x=2,此时f(2)=1+loga1=1,所以f(x)恒过定点(2,1),则m=2,n=1,所以m+n=3.故选C. 9.已知函数f(x)=4x+log2x,则f()=　　　　　　. 1 解析:函数f(x)=4x+log2x,所以f()=+log2=2-1=1. 10.已知对数函数y=logax(a>1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大1,则a=　. 2 解析:由已知可得,函数y=logax(a>1)在区间[1,2]上单调递增. 因为对数函数y=logax(a>1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大1, 所以loga2-loga1=loga2=1,解得a=2. 四、能力达标 ①.对数函数的图象及应用 例1 (1)若函数f(x)=log2|x+a|的图象不过第四象限, 则实数a的取值范围为　　　 　　. [1,+∞) 解析:函数f(x)=log2|x+a|的图象关于x=-a对称, 其定义域为{x|x≠-a},作出函数f(x)=log2|x+a| 的大致图象(如图所示),由图象可知, 要使函数f(x)=log2|x+a|的图象不过第四象限, 则解得a≥1,所以实数a的取值范围为[1,+∞). (2)已知函数f(x)=|ln x|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+4b的取值范围是　　　. (5,+∞) 解析:由f(a)=f(b)得|ln a|=|ln b|.根据函数y=|ln x|的图象及0<a<b,得-ln a=ln b,0<a<1<b,所以=b. 令g(b)=a+4b=4b+(b>1),根据“对勾”函数的图象与性质易得g(b)在(1,+∞)上单调递增,所以g(b)>g(1)=5.故a+4b>5,故选C. 及时练1 (多选)(已知ax=b-x,则函数y=loga(-x)与y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是(　　) AB 解析:因为ax=b-x,即ax=()x,所以a=当a>1时,0<b<1,则指数函数y=bx在R上单调递减,且图象过点(0,1),对数函数y=logax在(0,+∞)上单调递增且图象过点(1,0),将y=logax的图象关于y轴对称得到y=loga(-x)的图象,则y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递减且图象过点(-1,0),故A符合题意;当0<a<1时,b>1,同理可得,指数函数y=bx在R上单调递增,且图象过点(0,1),y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递增且图象过点(-1,0),故B符合题意.故选AB. (2)不等式2log3x-(x-1)(x-2)>0的解集为　　　　. (1,3) 解析 由2log3x-(x-1)(x-2)>0,可得log3x>(x-1)(x-2),在同一直角坐标系内作出函数f(x)=log3x,g(x)=(x-1)(x-2)的图象(如图所示),因为f(3)=g(3)=1,所以由函数的图象可知,当x∈(1,3)时,有f(x)>g(x),即不等式的解集为(1,3). ②.对数函数的性质及应用 例2 (1)设a=log52,b=log0.50.4,c=,则(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b C 解析:因为()5=25<32=25,所以log5()5<log525,所以<log52,即c<a. 又因为log0.50.4>log0.50.5=1,log52<log55=1,所以a<b.所以c<a<b.故选C. 比较大小 (2)已知a=log169,b=log2516,c=e-2,则(　　) A.b>a>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b A 解析:因为a=log169=32=log43>0,b=log2516=42=log54>0,所以=log43×log45<=1,所以a<b,又因为a=log43>log42=2=>e-2=c,所以b>a>c.故选A. 比较对数值大小的方法 若底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论 若底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 及时练2：(1)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则下列关系式正确的是(　　) A.a>b B.a>c C.c>a D.a+b=2 AC 解析 a=log2e>log22=1, 即a>1,b=ln 2<ln e=1, 即b<1,c=lo=log23>log2e=a, 所以c>a>b,a+b=log2e+ln 2=+ln 2, 由基本不等式知D错误.故选AC. (2)已知a=log75,b=log97,c=log119,则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a A 解析 因为log75-log97=, 又因为lg 5lg 9≤()2=()2<()2=lg27, 所以log75-log97<0,即a<b. 因为log97-log119=, 又因为lg 7lg 11≤()2=()2<()2=lg29, 所以log97-log119<0,即b<c,所以a<b<c,故选A. 例3 已知实数a>0,且a≠1,且满足53a+2>54a+1,则不 等式loga(3x+2)<loga(8-5x)的解集为　　　　　　. () 解析:由实数a>0,且满足53a+2>54a+1,根据指数函数的单调性, 可得3a+2>4a+1,解得0<a<1,所以函数y=logax为单调递减函数, 由不等式loga(3x+2)<loga(8-5x),可得解得<x<, 即不等式的解集为(). 解对数不等式 求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 logax>logab 借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论 logax>b 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解 及时练3：已知函数f(x)=-x2+4x+a+16(a∈R),则关于x的不等式f(log2x)>f(1)的解集为(　　) A.(2,+∞) B.(0,2) C.(2,6) D.(2,8) D 解析 由题意,得f(x)=-(x-2)2+a+20,则函数f(x)的图象是以直线x=2为对称轴且开口向下的抛物线,所以f(1)=f(3). 由f(log2x)>f(1),可得1<log2x<3,解得2<x<8, 所以不等式f(log2x)>f(1)的解集为(2,8). 例4(1)函数f(x)=lg(x+1)+lg(3-x)的单调递增区间是　　　　. (-1,1) 解析 由得-1<x<3, 则函数f(x)的定义域为(-1,3), 又f(x)=lg(x+1)+lg(3-x)=lg(x+1)(3-x)=lg(-x2+2x+3), 令u=-x2+2x+3, 则u(x)在区间(-1,1)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减, 又因为y=lg u在定义域上是增函数, 所以f(x)的单调递增区间是(-1,1). 求单调区间或参数取值范围 (2)已知函数f(x)=lo(x2-ax-a)对任意两个不相等的实数x1,x2∈(-∞,-),都满足不等式>0,则实数a的取值范围为　　　. [-1,] 解析 依题意知f(x)在区间(-∞,-)上单调递增,令u=x2-ax-a,由于y=lou在区间(0,+∞)上单调递减,而函数u(x)=x2-ax-a图象的开口向上,对称轴为直线x=, 所以即解得-1≤a, 故a的取值范围是[-1,]. 例5 (多选)已知函数f(x)=log4(1+4x)-x,则下列说法中正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的图象关于y轴对称 C.函数f(x)在[0,+∞)上单调递减 D.函数f(x)的值域为[,+∞) BD 对数函数性质的综合 解析:易知f(x)的定义域为R,f(x)=log4(1+4x)-log4=log4=log4(2-x+2x),由于f(-x)=log4(2x+2-x)=f(x),因此f(x)为偶函数,故A选项错误,B选项正确;令t=2x,则y=log4(t+),令s=t+,则y=log4s,当x∈[0,+∞)时,t∈[1,+∞),所以s=t+为增函数,又因为y=log4s为增函数,所以y=log4(t+)为增函数,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数,故选项C错误;又因为f(x)为R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f(x)≥f(0)=,所以f(x)的值域为[,+∞),故选项D正确.故选BD. 及时练4：已知函数f(x)=ln|x-1|-ln|x+1|,若存在两个不同的实数x1,x2,使f(x1)=f(x2),则有(　　) A.x1x2=-1 B.x1x2=1 C.x1+x2<-2 D.x1+x2>2 B 解析 函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),且f(x)=ln||=ln|1-|,又f(-x)=ln||=-ln||=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.因为y=1-在区间 (-∞,-1)上单调递增,且y>1;y=1-在区间(-1,0)上单调递增,且y<-1,所以y=|1-|在区间(-∞,-1)上单调递增,且y>1;y=|1-|在区间(-1,0)上单调递减,且y>1.所以当x∈(-∞,-1)时,函数f(x)单调递增,且f(x)>0;当x∈(-1,0)时,函数f(x)单调递减,且f(x)>0. 任 务 完 成 $