精品解析：2026年江西省中考数学试题

**基本信息** 立足中考要求，以时代热点（如2025年国民总收入）、文化传承（如《周易》卦象）、生活实践（如足球联赛积分）为情境，考查抽象能力、推理意识和数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|6/18|轴对称图形、科学记数法、平行线性质|结合图书馆标志、国民总收入等情境，考查几何直观与数感| |填空|6/18|分式方程（智能制造）、圆的切线（剪刀张角）|联系工业生产与生活工具，体现模型意识| |解答题|11/84|概率（《周易》卦象）、函数几何综合（伴随对称抛物线）|新定义问题（伴随对称抛物线）考查创新意识，跨学科情境（镜面反射测量）培养应用能力|

机密★启用前 江西省2026年初中学业水平考试 数学试题卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列图书馆标志不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， A，C，D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 2025年是“十四五”规划收官之年，是中国式现代化进程中具有重要意义的一年．我国经济顶压前行、向新向优发展，民生保障更加有力，社会大局保持稳定，第二个百年奋斗目标新征程实现良好开局．经初步核算，2025年国民总收入为 亿元． 亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 亿 ． 3. 如图，已知，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据邻补角求得 ，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法则逐一判断选项，得到正确结果． 【详解】解：选项A： ，A运算正确； 选项B： ，B运算错误； 选项C：，C运算错误； 选项D： ，D运算错误． 5. 如图是 年全国城市声环境功能区昼间、夜间达标率统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 2024年夜间达标率较2020年提高了 B. 夜间达标率逐年上升 C. 2022年昼间达标率最高 D. 昼间达标率逐年上升 【答案】B 【解析】 【详解】解：A. 2024年夜间达标率较2020年提高了 ，故该选项不正确，不符合题意； B. 夜间达标率逐年上升，故该选项正确，符合题意； C. 2023年昼间达标率最高，故该选项不正确，不符合题意； D. 昼间达标率先升后降，不是逐年上升，故该选项不正确，不符合题意； 6. 如图，观察函数 的图象，可以发现方程 在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当 时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程 另一根更接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与 之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程 的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知 ， 已知在0.5与 之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取 ， ， 当时， ， 在与 之间， 到的距离 ， 到的距离 ， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 有理数的倒数为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：有理数的倒数为． 8. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移规律“左减右加，上加下减”即可得到结果； 【详解】解：将点向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为 ． 9. 我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进A，B两种型号智能机器来加工某种零件．已知A每小时比B多加工50个零件，A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等，求A，B每小时各加工多少个零件．设B每小时加工 个零件，可列分式方程为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】设B每小时加工 个零件，则A每小时加工个零件，根据“A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等”列出分式方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设B每小时加工 个零件，则A每小时加工个零件，依题意得，． 10. 生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切．已知与 相交于点 ，为半圆的直径， ， ，则此时张角 的大小为______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】设右半圆的圆心为 ， 与相切于点，连接，分别求得 ，根据，得出 ，进而根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图，设右半圆的圆心为 ， 与相切于点，连接， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴， ∴ ， ∴ ． 11. 如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接 ，过点作 于点 ．当 面积最大时， 的长为_______________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意得出 在以为直径的 上运动，进而可得当 时， 到的距离最大，此时 面积最大，得出 ，结合题意得出是等腰直角三角形，求得 ，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为 ， ∵ ∴ ∴ 在以为直径的 上运动 ∴当 时， 到的距离最大，此时 面积最大， ∴ ∴ ∵四边形 是矩形， ∴， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 12. 如图，点在直线上，过作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形 的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 【答案】1或或 【解析】 【分析】设，依题意， ，得出 或 ，根据满足条件的点有且仅有三个，确定的值，进而解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，依题意， ∴ 或 ∵ 中， ，方程有两个不等实数解， 依题意，满足条件的点有且仅有三个 ∴方程 有且只有一个解， ∴ ∵ ∴ 所以方程 ， ∴ ∴ ∴ 解得： 解方程 ∴ 解得： 综上所述，点的横坐标为1或或 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答： （1）计算：； （2）解不等式： ． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：去分母得： ， 移项得： ， 合并同类项： ． 14. 如图，，分别在的边 ， 的延长线上， ，，， ，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据 ，证明 ，进而得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． ，， ， ， ． 15. 先化简：，再从0，1，2中选择一个合适的数作为 代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【详解】解：原式 ． 且， 将代入上式，得原式 ． 16. 如图，在 的正方形网格中， 的顶点 ， 均在格点上， ， ， 为 的中位线． （1）请仅用无刻度直尺作 的平分线，交 于点；（保留作图痕迹） （2）若网格中小正方形的边长为1，则（1）中 的长为______________． 【答案】（1）如图， 即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意分别求出 的长度，取格点P，由题意可知， ，则有 ，再利用 得到 则可证 ，则可知 即为所求角平分线； （2）取格点H，则有 ， ，由（1）可知 ，利用锐角三角形函数求 的长即可． 【小问1详解】 解：取 与网格交点P，连接 并延长交 于点Q， 即为所求； 由网格可知， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 为 的中位线， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 则 即为所求； 【小问2详解】 解：取格点H，由网格可知， ， ， ∵ ， ， ∴ ∴ ∴． 17. 如图， 为 的直径，， ，是 上的点，四边形 为菱形． （1）求的长； （2）延长 到点，使得，求证： 是 的切线． 【答案】（1） （2）证明：如图2，连接． 由（1）可得 ， ， ∴ ， ， 是等边三角形， ， ． ， ， ． ， 又∵ 是 的半径， 是 的切线． 【解析】 【分析】（1）连接 ．首先，证得是等边三角形，得 ， ，然后，求得 ，最后，再代入弧长公式计算即可； （2）连接．先证得 是等边三角形，得 ， ，再由 ，得 ，进而得 ， ，即可证得结论． 【小问1详解】 解：如图1，连接 ． ∵四边形 为菱形， ， ． 又， 是等边三角形． ， ． ∵， ， 的长为； 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（ ）、坎、离、艮（ ）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（ ）组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻． （1）若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是_________________； （2）现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）观察图形，可得只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，进而根据概率公式，即可求解； （2）记“乾、坤、震、巽”分别为， ， ， ，根据列表法或画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解： 共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个， ∴从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是 【小问2详解】 解：记“乾、坤、震、巽”分别为， ， ， ． 列表法： 第一卦象 第二卦象 树状图： 由表或树状图可得，总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 其中满足条件的结果有：，，，，，共6种． 所以所求概率为． 19. 如图，四边形 是平行四边形，，，，点在 轴上，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）为边上的一点，直线 交双曲线另一支于点，当 的面积等于的面积的时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如图，过点作 轴于点 ．证明，根据全等三角形的性质可得 ，进而求得的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据已知可得为的中点，则坐标为．待定系数法求得直线 的表达式为，可得直线 经过坐标原点，进而根据正比例函函数与反比例函数图象的性质即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，过点作 轴于点 ． ∵四边形 为平行四边形， ， ， ， 又∵ ， ． ， ． ， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 的面积等于的面积的， 为的中点， 的坐标为． 设直线 的表达式为 ， 则， 解得 ∴直线 的表达式为，即直线 经过坐标原点， 又∵， ∴由中心对称可得． 20. “以球之名，为城而战”，2025年江西省城市足球超级联赛于7月12日在南昌八一体育场拉开帷幕．赛事的成功举办极大激发了参赛球员和群众的城市归属感，推动了文旅等相关产业的发展．在常规赛阶段，分南北两个赛区，采取赛区内主客场双循环积分制（每两队之间进行两场比赛），北区共20场比赛，南区共30场比赛．赛制规定：每队胜一场得 分，平一场得 分，负一场得0分．以下是常规赛结束时积分及进/失球个数部分数据． 积分表 北区 胜/平/负 积分 南区 胜/平/负 积分 九江队 4/3/1 15 宜春队 */*/* * 上饶队 */*/* * 赣州队 6/2/2 20 南昌队 3/*/2 抚州队 */*/* * 景德镇队 */*/* * 新余队 */*/* * 鹰潭队 */*/* * 萍乡队 */*/* * 吉安队 */*/* * 根据以上信息解答下列问题： （1）_____________，______________， ______________； （2）分别求两个赛区平均每场比赛进球个数； （3）现收集了7名球员每个人的进球个数（最多的进7个球），甲乙两位同学对这组数据进行分析，得到如下结果： 甲：平均数为3，极差为4；乙：众数为2，平均数为4． 试分别判断甲乙两人的分析是否有一定的可信度，并说明理由． 【答案】（1）3；1；12 （2） ； （3）甲的数据分析不可信，理由如下： ∵至少有 个 ，极差为， ∴最小数为 ，则平均数大于 ，与平均数为 相矛盾． 乙的数据分析有一定的可信度，如① ， ， ， ， ， ， ；② ， ， ， ，，， ；③ ， ， ，， ，， ；④ ， ， ， ，， ， ；⑤ ， ， ，，， ， ．（只要列举其中一组数据说明即可） 【解析】 【分析】（1）根据九江队和赣州队的比赛胜负情况和积分情况列出二元一次方程组，求得 的值，进而根据北区每队比赛的场次为场，以及积分规则求得 的值，即可求解； （2）根据各赛区总进球数与失球数相等，得出总进球数，进而根据平均数的定义，即可求解； （3）根据平均数，极差，众数的定义分析，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得， 解得 ∵常规赛中，北区每队比赛的场次为场， ∴南昌队 胜 平 负， ． 故，， ． 【小问2详解】 ∵各赛区总进球数与失球数相等， ∴北区总进球数为 ， ∴北区平均每场比赛进球个数为 ． ∵南区总进球数为 ， ∴南区平均每场比赛进球个数为 ． 【小问3详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在 中， ，，点P在 的延长线上，将 绕点A按逆时针方向旋转得到，连接， ． （1）求证： ； （2）若 ，，求 的长． 【答案】（1）证明： 绕点按逆时针方向旋转得到， ，． ， ． ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得 ，，结合已知可得 ，进而根据，证明 ，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）过点 作 ，交 的延长线于点，根据全等三角形的性质得出 ，进而得出 ， ，解直角三角形求得 ，进而求得 的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点 作 ，交 的延长线于点． ，， ， ， ． ， ． ， ， ， ． ， ． ． 22. 为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表： 具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度 主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 截面示意图 操作步骤 1．在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径 所在的直线上； 2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 3．调整反射镜与水平线的夹角 ，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最右端 处； 4．在线段 上确定一点 ，使得从 处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最左端 处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内） 测量数据 ， ，， ， ． 参考数据 ， ， ， ． 根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到 ） （1）任务一：计算点离水平地面的高度； （2）任务二：计算 _____________ ， ______________ ； （3）任务三：计算土坑的深度． 【答案】（1）点离水平地面的高度约为 （2）； （3）土坑的深度约为 【解析】 【分析】（1）连接 ，过点作 交 于 ，交 于，则 ，根据三角形的外角的性质得出，根据等角对等边可得 ，解 ，即可求得的长； （2）根据光的反射原理得出 ，得出 ， ，进而根据 ，即可求解； （3）证明，得出 ，解 ，求得，进而求得的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接 ，过点作 交 于 ，交 于，则 ． ， ， ． 在 中， 即点离水平地面的高度约为 ． 【小问2详解】 解：如图， ∵ ， ∴ 又∵ ， ∴ ∴ 同理可得 ， ∴ ． 【小问3详解】 解：由题意得四边形 是矩形， 则 ， 在 中， ， ． ， ， ， ， ． 在 中， ， ， 即土坑的深度约为 ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． （1）试判断 与 是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； （2）如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：， ，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 【答案】（1）解： 与 互为“伴随对称抛物线”， 理由如下： 的顶点为， 将代入 中，得 ， 即 经过． 的顶点为， 将代入 中，得 ， 即 经过． 故 与 互为“伴随对称抛物线”． （2）① ，证明如下： ∵：与： ∴，， ∵若：与：互为“伴随对称抛物线”， ，， 两式相加得 ． ， ． ②的对称中心为线段的中点； ③ 【解析】 【分析】（1）分别求出 与 的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答即可； （2）①先求出，，再根据“伴随对称抛物线”的定义得出，，两式相加即可解答； ②根据为中心对称图形，可得的对称中心为线段的中点，即可解答； ③根据题意得出 ，则：．设与相交于点，根据四边形为正方形，得出为的对称中心，．过点作直线 轴，垂足为 ，过点作 ，垂足为．证明 ，得出 ， ．设，得出，．结合，点在上，可得 ，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵为中心对称图形， ∴的对称中心为线段的中点． ③：， ， ∴ ， ， ：， ∴，，， 如图，设与相交于点， ∵四边形为正方形， 为的对称中心， ， ． 过点作直线 轴，垂足为 ，过点作 ，垂足为． 则， ∴， ∴ ， ． 设， 则，，即，． 又， ，． ∵点在上， ，化简整理得 ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 江西省2026年初中学业水平考试 数学试题卷 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列图书馆标志不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年是“十四五”规划收官之年，是中国式现代化进程中具有重要意义的一年．我国经济顶压前行、向新向优发展，民生保障更加有力，社会大局保持稳定，第二个百年奋斗目标新征程实现良好开局．经初步核算，2025年国民总收入为 亿元． 亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是 年全国城市声环境功能区昼间、夜间达标率统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 2024年夜间达标率较2020年提高了 B. 夜间达标率逐年上升 C. 2022年昼间达标率最高 D. 昼间达标率逐年上升 6. 如图，观察函数 的图象，可以发现方程 在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当 时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程 另一根更接近的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 有理数的倒数为_____________． 8. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度后得到的对应点的坐标为_______________． 9. 我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进A，B两种型号智能机器来加工某种零件．已知A每小时比B多加工50个零件，A加工1640个零件所用时间与B加工1230个零件所用时间相等，求A，B每小时各加工多少个零件．设B每小时加工 个零件，可列分式方程为__________________． 10. 生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切．已知与 相交于点 ， 为半圆的直径， ， ，则此时张角 的大小为______________ ． 11. 如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接 ，过点作 于点．当 面积最大时， 的长为_______________． 12. 如图，点在直线上，过作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形 的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答： （1）计算：； （2）解不等式： ． 14. 如图，，分别在的边 ， 的延长线上， ，，， ，求的长． 15. 先化简：，再从0，1，2中选择一个合适的数作为 代入求值． 16. 如图，在 的正方形网格中， 的顶点 ， 均在格点上， ， ， 为 的中位线． （1）请仅用无刻度直尺作 的平分线，交 于点；（保留作图痕迹） （2）若网格中小正方形的边长为1，则（1）中 的长为______________． 17. 如图，为 的直径，，，是 上的点，四边形 为菱形． （1）求的长； （2）延长到点，使得，求证： 是 的切线． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（ ）、坎、离、艮（ ）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（ ）组成，其中“”表示阳爻，“”表示阴爻． （1）若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是_________________； （2）现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦象至少有一个阳爻的概率． 19. 如图，四边形 是平行四边形，，，，点在 轴上，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）为边上的一点，直线 交双曲线另一支于点，当 的面积等于的面积的时，求点的坐标． 20. “以球之名，为城而战”，2025年江西省城市足球超级联赛于7月12日在南昌八一体育场拉开帷幕．赛事的成功举办极大激发了参赛球员和群众的城市归属感，推动了文旅等相关产业的发展．在常规赛阶段，分南北两个赛区，采取赛区内主客场双循环积分制（每两队之间进行两场比赛），北区共20场比赛，南区共30场比赛．赛制规定：每队胜一场得 分，平一场得 分，负一场得0分．以下是常规赛结束时积分及进/失球个数部分数据． 积分表 北区 胜/平/负 积分 南区 胜/平/负 积分 九江队 4/3/1 15 宜春队 */*/* * 上饶队 */*/* * 赣州队 6/2/2 20 南昌队 3/*/2 抚州队 */*/* * 景德镇队 */*/* * 新余队 */*/* * 鹰潭队 */*/* * 萍乡队 */*/* * 吉安队 */*/* * 根据以上信息解答下列问题： （1）_____________，______________， ______________； （2）分别求两个赛区平均每场比赛进球个数； （3）现收集了7名球员每个人的进球个数（最多的进7个球），甲乙两位同学对这组数据进行分析，得到如下结果： 甲：平均数为3，极差为4；乙：众数为2，平均数为4． 试分别判断甲乙两人的分析是否有一定的可信度，并说明理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在 中， ，，点P在 的延长线上，将 绕点A按逆时针方向旋转得到，连接， ． （1）求证： ； （2）若 ，，求 的长． 22. 为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表： 具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度 主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 截面示意图 操作步骤 1．在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径 所在的直线上； 2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 3．调整反射镜与水平线的夹角 ，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最右端处； 4．在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最左端 处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内） 测量数据 ， ，， ， ． 参考数据 ， ， ， ． 根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到 ） （1）任务一：计算点离水平地面的高度； （2）任务二：计算 _____________ ， ______________ ； （3）任务三：计算土坑的深度． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”． （1）试判断 与 是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由； （2）如图1，若：与：互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为，，记，组成的图形为． ①试猜想与的数量关系，并证明； ②进一步探究可知为中心对称图形，请确定的对称中心的位置；（直接写出结果） ③如图2，若：， ，，分别为，上的点，且四边形为正方形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $