专项5 第十一章不等式与不等式组压轴题型 期末复习专项 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组压轴题型，通过10类分层题型系统构建“概念-解法-应用”逻辑链，融合新定义转化、参数分类讨论等方法，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求整数解/最值|10题|整体代换、内含解分析|从不等式基本解法到解的限定条件| |实际/几何应用|10题|建模分析、数形结合|从代数运算到几何情境转化| |不等式组综合|30题|参数分类讨论、方案优化|从组的解集到与方程组/实际问题结合|

专项5 第十一章 不等式与不等式组压轴题型 目录 题型1 求一元一次不等式的整数解 1 题型2 求一元一次不等式解的最值 7 题型3 用一元一次不等式解决实际问题 13 题型4 用一元一次不等式解决几何问题 19 题型5 一元一次不等式组的整数解 30 题型6 由不等式组的解集情况求参数 38 题型7 不等式组和方程组结合的问题 49 题型8 不等式组的方案选择问题 57 题型9 不等式组的阶梯收费问题 64 题型10 不等式组的分配问题 70 题型1 求一元一次不等式的整数解 1．已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）两个方程相加可得出，根据列出关于的不等式组，解之可得答案； （2）根据不等式的解集为、为整数和（1）中的取值范围，可以求得的值； 【详解】（1）解：两个方程相加可得， 则， ∵ ∴， 解得； （2）解：由不等式，得， ∵不等式的解集为， ∴， 解得，     又∵且a为整数， ， 或或0， 即a的值是或或0． 2．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：，即，③ 把方程①代入③得：，解得， 把代入①得， 原方程组的解为 请你根据上述材料解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)若关于x，y的二元一次方程组的解满足，请求出满足条件的m的所有正整数值． 【答案】(1) (2)m的正整数值为1，2，3 【分析】（1）根据题干方法求解即可； （2）将两式相加，再解不等式． 【详解】（1）解： 由②得：，③   把①代入③中，得，解得，   把代入①中，得，解得， 原方程组的解为； （2）解：由①＋②得：，则，   ， ，   解得， 满足条件的m的正整数值为1，2，3． 3．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如：，． (1)若，求x的取值范围； (2)已知关于x的方程的解满足，求a的最小整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据运算规则列出关于x的不等式，再求解即可； （2）先解一元一次方程得到x的值，再代入列出关于a的不等式，求出a的范围后找出最小整数解即可． 【详解】（1） 解 ：∵， ∴ 解得； （2）解： 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 ∵ 将代入得 整理得 解得 ∴的最小整数解为． 4．根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 泉州土笋冻是独具地方风味的特色小吃，以其独特口感享誉一方.为满足外地食客的需求，某土笋冻经销商与京东快递公司合作推出线上销售，产品有精品装和优惠装两种.以下是销售的相关素材信息，请根据素材完成后续任务. 素材二 精品装 优惠装 每盒100克，售价15元 每盒300克，售价35元 问题解决 (1)任务一：试营业期间，该经销商共卖出土笋冻320盒，销售总收入为9600元，请问精品装和优惠装各销售了多少盒？ (2)任务二：现在需要对7500克土笋冻进行分装，既有精品装也有优惠装，且恰好将这7500克土笋冻整盒分装完.精品装包装盒每个成本为2元，优惠装包装盒每个成本为1.8元.若要将购买包装盒的成本控制在55元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由. 【答案】(1)销售精品装80盒，优惠装240盒 (2)分装成3盒精品装，24盒优惠装（或分装成6盒精品装，23盒优惠装），理由见解析 【分析】（1）设销售精品装盒，优惠装盒，根据售价列方程求解即可； （2）设可以分装成精品装盒，则分装成优惠装盒，求出的取值范围，根据，均为正整数写出方案即可； 【详解】（1）解：设销售精品装盒，优惠装盒，依题意， 得， 解得， 则， 答：销售精品装80盒，优惠装240盒. （2）解：分装成3盒精品装，24盒优惠装（或分装成6盒精品装，23盒优惠装），理由如下： 设可以分装成精品装盒，则分装成优惠装盒， 根据题意，得 ， 解得：， 又∵，均为正整数， ∴可以为3，6， ∴共有2种分装方案， 方案1：分装成3盒精品装，24盒优惠装； 方案2：分装成6盒精品装，23盒优惠装． 答：分装成3盒精品装，24盒优惠装（或分装成6盒精品装，23盒优惠装）． 5．对x、y定义一种新运算S，规定：（其中m、n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算． 例如：． (1)当，时，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，若关于k的不等式至少有2个正整数解，求p的取值范围； (3)若对任意数x、y都成立，则m、n应满足怎样的关系式？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义运算列关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据新定义列关于k的不等式，至少有2个正整数解时，不等式的解至少包含正整数1和2，进而列关于p的不等式，即可求解； （3）根据等式恒成立整理得到m和n的关系式，用到的性质为等式恒成立时对应项系数必为0． 【详解】（1）解：，， 解得； （2）解：由（1）得， ， 解不等式，得：， 关于k的不等式至少有2个正整数解， ， ； （3）解：， ， ， 整理得， 对任意数x、y都成立， ， ． 题型2 求一元一次不等式解的最值 6．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)整数的最小值为2． 【分析】（1）解方程求得方程的解，根据定义判定求解即可； （2）解方程组求得方程组的解，根据定义建立不等式，求解即可； （3）根据定义求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程，得． 解不等式，得， 又因为， 所以方程的解是不等式的“内含解”； （2）解：， 由，得， 又因为， 所以， 解得； （3）解：解方程，得． 因为， 所以． 解不等式， 得． 由“内含解”的定义，得， 解得， 所以整数的最小值为2． 7．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3)1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 8．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． 9．某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由个甲部件和个乙部件组成，个甲部件的质量是千克，1个乙部件的质量是千克．每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 【答案】套 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设货运电梯一次可装运套设备，根据“货运电梯的载重总质量禁止超过”可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】解：设货运电梯一次可装运套设备， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为． 答：货运电梯一次最多可装运套设备． 10．综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量，进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似． 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得增加的长度为3个边长，即 计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；；；；． 题型3 用一元一次不等式解决实际问题 11．下表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元/分钟） 被叫 方式一 50 150 0.2 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需______元，按方式二计费需________元； (2)王华某月按方式二计费需100元，求王华该月主叫通话时间． (3)请分析选取哪种方式更合算． 【答案】(1)60，80 (2) (3)当或时，选择方式一更合算；时，选择方式二更合算；当或时，一样合算． 【分析】（1）根据“方式一”“方式二”的计费方式，分别求得李明不同通话时间对应的费用即可；设按“方式二”计费时主叫通话时间为分钟， （2）根据按“方式二”计费列出方程，解方程即可； （3）根据题中所给出的条件，分、、三种情况列一元一次不等式并求解即可得到答案． 【详解】（1）解：李明按方式一计费元， 李明按方式二计费元； （2）解：设王华该月主叫通话时间为分钟， ∵王华某月按方式二计费需100元 ∴ ∴； （3）解：当时，方式一费用为50元，方式二费用为80元，因此方式一省钱； 当时， ∵方式一计费方式二计费， ∴， ∴； 当时，一样合算； 当时， ∵方式一计费方式二计费， ∴， ∴； ∴或时，选择方式一比选择方式二省钱． 当时，一样合算． 综上，当或时，选择方式一更合算；时，选择方式二更合算；当或时，一样合算． 12．吃粽子是端午节的习俗．端午节前三天，某糕点店售出肉粽个，甜粽 个，销售额 元，已知肉粽的销售单价比甜粽的销售单价高元． (1)求肉粽和甜粽的销售单价分别是多少元； (2)端午节假期即将结束时，该糕点店对粽子的售价进行了调整，将每个肉粽按原销售单价的八折销售，每个甜粽在原销售单价基础上降价元销售．若该商家在价格调整后销售两种粽子共个，销售额不低于 元，求该商家在价格调整后至少销售肉粽多少个． 【答案】(1)肉粽销售单价为8元，甜粽销售单价为5元； (2)该商家价格调整后至少销售肉粽200个． 【分析】（1）设甜粽销售单价为元，肉粽销售单价为元，根据题意列一元一次方程，求解即可； （2）设调整后销售肉粽个，则销售甜粽个，根据题意列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设甜粽销售单价为元，肉粽销售单价为元， 由题意得， 解得，， 答：肉粽销售单价为8元，甜粽销售单价为5元； （2）解：设调整后销售肉粽个，则销售甜粽个， 由题意得， 解得， 答：该商家价格调整后至少销售肉粽200个． 13．随着社区养老服务设施的升级，某街道计划采购一批智能呼叫器和应急急救箱，街道为了精准预算，工作人员收集了两款设备的采购报价信息，如表： 智能呼叫器数量（单位：个） 应急急救箱数量（单位：个） 总报价（单位：元） 2 3 2700 4 5 4900 (1)求智能呼叫器和应急急救箱的单价各是多少元？ (2)若街道计划采购这两款设备共60个，且采购总费用不超过32000元，则最多采购智能呼叫器多少个？ 【答案】(1)智能呼叫器单价为600元，应急急救箱单价为500元； (2)最多采购智能呼叫器20个． 【分析】（1）设智能呼叫器单价为x元，应急急救箱单价为y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设采购智能呼叫器m个，则采购应急急救箱个，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设智能呼叫器单价为x元，应急急救箱单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：智能呼叫器单价为600元，应急急救箱单价为500元． （2）设采购智能呼叫器m个，则采购应急急救箱个， ， 解得， ∴m的最大值为20， 答：最多采购智能呼叫器20个． 14．某商店销售A，B两种水果．A水果标价16元/千克，B水果标价20元/千克． (1)学校组织班级活动，班长代表班级在这家商店按标价买了A，B两种水果共5千克，其中A水果的总价是B水果总价的1.2倍，这两种水果各买了多少千克？ (2)学校准备再次采购A，B两种水果，要求B水果比A水果多买2千克，且采购总费用不超过80元．设采购A水果n千克． ①若这两种水果按标价出售，求n的取值范围； ②商店为了吸引更多顾客，推出新的优惠活动：A水果打八折；一次购买B水果不超过2千克不优惠，超过2千克后，超过2千克的部分打六折．（注：“打八折”指按标价的出售，“打六折”指按标价的出售．）若采购总费用为64元，求n的值． 【答案】(1)买A水果3千克，买B水果2千克 (2)①；② 【分析】（1）设买A水果x千克，买B水果y千克，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）①已知采购A水果n千克，则采购B水果千克．根据题意列出不等式，据此求解即可； ②分讨论求解即可． 【详解】（1）解：设买A水果x千克，买B水果y千克， 依题意得，，解得， 答：买A水果3千克，买B水果2千克; （2）解：①已知采购A水果n千克，则采购B水果千克． 依题意得，， 解得， ∵， ∴； ②当，即时，不符合实际情况，舍去； 当，即时， A水果费用为， B水果费用为． 则，解得． 15．如图，学校饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为 ；开水的温度为，流速为 ，整个接水的过程不计热量损失． 科学常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． 【情境理解】 (1)若小毛同学用空杯接了秒的温水，又接了秒的开水，接完水后杯子中有________； (2)若小毛同学用空杯接了秒的温水，又接了秒的开水，得到一杯的水，根据科学常识，则一定有等式：______________； 【情境运用】 (3)小天同学用空杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯 温度为的水（不计热损失），求该同学分别接温水和开水的时间； (4)小天同学计划花秒在空杯中先接温水再接开水，得到一杯不少于的水，他至少要接温水多少秒？此时他得到的水为多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)， ． 【分析】用温水的速度乘以加上开水的速度乘以，即可求解； 由“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度”，即可列出等式； 设小天同学接温水的时间为，接开水的时间为，根据题意列出方程组，即可求解； 设小天同学接开水的时间为，根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：接完水后杯子中有， 故答案为：； （2）解：由“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度”， 则， 故答案为：； （3）解：设小天同学接温水的时间为，接开水的时间为， 根据题意得， 解得， 答：小天同学接温水的时间为，接开水的时间为； （4）解：设小天同学接温水的时间为，则接开水的时间为 ， 根据题意得 ， 解得， ∴他至少要接温水秒，接开水， 设此时他得到的水为， 根据题意得， 解得， 答：他至少要接温水秒？此时他得到的水为． 题型4 用一元一次不等式解决几何问题 16．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 17．在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 【答案】(1)当时，线段的长度为2 (2)的值为或 (3)的取值范围是： 【分析】（1）先求出运动的路程，再根据点的位置解答即可； （2）分两种情况：当点P在时，当点P在上时，根据面积关系列方程即可求解； （3）根据三角形的面积求出的值，分为点P在时，点P在上，两种情况根据列不等式组解答即可． 【详解】（1）解：当时，． ． 答：当时，线段的长度为2． （2）解：， ． 的边的高． ∵， ∴ ∴． ． ①当点在边上，即时． ． ． ， ． 解这个方程，得．        ②当点在边上，即时． ． ． ． 解这个方程，得． 综上所述，的值为或． （3）解：是的高． ． ，，， ． ①当点在边上，即时，． ，且． ，解得． ， ．          ②当点在边上，即时． ． ，且． ． 解不等式，得． ， ．        综上所述，的取值范围是：． 18．如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）首先根据题意确定的长度，结合三角形面积公式计算的长度，即可获得答案； （2）根据平移的性质，可得，然后结合求解即可； （3）首先确定点的纵坐标为，结合题意可得，进而可得，根据的面积为15建立关于t的不等式并整理，可得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵的面积为15，即， ∴，解得， ∵点在轴的正半轴上， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴， ∵线段是由线段平移所得， ∴， ∵， ∴， 即， 解得； （3）解：由（2）可知，， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵点为轴上的一个动点，且点的横坐标为， ∴， ∴， 若，可得， 整理可得， 当时，可得，解得， 当时，可得，解得， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】解题的关键是运用数形结合的思想和分类讨论的思想分析问题，避免遗漏． 19．已知数轴上的两点所表示的数分别是和． (1)如图（1），点在点的右边，，若，请直接写出点、点表示的数． (2)如图（2），在（1）的条件下，点在点处以每秒2个单位长度向右运动，点在点处以每秒3个单位长度向左运动，点、点同时运动，请问当时，求点，点运动了多少秒？ (3)拓展应用：如图（3）有两列玩具车，甲车长为3个单位长度，乙车长为5个单位长度，甲车头在数轴上表示的数是，乙车头在数轴上表示的数是16．若甲车以每秒2个单位长度向右行驶，同时乙车以每秒1个单位长度向左匀速行驶，两车同时运动，点位于中点，小渝发现行驶中有一段时间，总共有秒钟，到两车头、的距离和加上到两车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为小渝发现的这一结论是否正确？若正确，直接写出的值及的定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)点表示的数是15，点C表示的数是5， (2)或秒 (3)，为定值8． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值的几何意义、解绝对值方程、不等式组的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式以及绝对值的几何意义求解即可； （2）设当时，求点，点运动了t秒，则点M表示的数为，点N表示的数为，然后根据绝对值的几何意义列绝对值方程求解即可； （3）由题意可得：点A表示，P表示，点B表示，点M表示16，点N表示21，运动n后点A表示，P表示，点B表示，点M表示，点N表示，易得，，进而得到，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：设点C表示的数为c， ∵， ∴A表示的数为， ∵，点在点的右边， ∴，解得：， ∴点表示的数是15， ∵， ∴，解得：， ∴点C表示的数是5． （2）解：设当时，求点，点运动了t秒，则点M表示的数为，点N表示的数为， ∵， ∴，即，解得：或． ∴当时，求点，点运动了或秒． （3）解：由题意可得：点A表示，P表示，点B表示，点M表示16，点N表示21，运动n秒后点A表示，P表示，点B表示，点M表示，点N表示， ∴，， ∴， 当 或时， 与n无关， 解，该不等式组无解， 当，解得：， 此段时间共持续，； 综上．当时，此段时间共持续，为定值8． 20．如图①，在平面直角坐标系中，点，，且实数，满足． (1)直接写出，两点的坐标； (2)将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，设点的坐标为，连接，，求的面积． (3)如图②，连接，，为线段上一点，为轴上一动点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)4 (3)且 【分析】（1）根据非负数的性质可得，即可求解； （2）根据平移的性质可得，从而得到点，即可求解； （3）根据平移的性质可得，设交y轴于点K，连接，则，从而得到，再由，可得，然后结合，可得，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点，， ∴，两点的坐标为； （2）解：∵将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，， ∴， ∴点， ∴轴，轴， ∴，， ∴的面积为； （3）解：由（2）得：将线段向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到线段，， ∵， ∴， 如图，设交y轴于点K，连接，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点Q不能与点K重合， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，t的取值范围为且． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形综合，平方值和根号值的非负性、平面几何和坐标、平面直角坐标系中三角形面积求法、点的平移等知识，读懂题意，根据题意作出图形，数形结合转化为常见题型求解是解决问题的关键． 题型5 一元一次不等式组的整数解 21．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 求m的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1) (2)，10 (3) 【分析】（1）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，进一步计算即可求解， （3）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为列出不等式组，解得． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵，， ∴； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，且，解得：且． 综上，． 22．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组．的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组．的“关联方程”． (1)方程_____（填“是”或“不是”）不等式组．的“关联方程”； (2)关于x的方程是不等式组．的“关联方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有2个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可； （2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可； （3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有2个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， 解得， 解不等式组， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵在的范围内， ∴方程是不等式组．的“关联方程”； （2）解：， 解得， ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ∴， 解得； （3）解：， 去分母得， 移项合并同类项得，； ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 ∴， 解得， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 解得， ∴． 23．已知关于，的二元一次方程组：的解满足为非负数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当取何整数时，关于的不等式的解集是？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由加减消元法求出，，再由题意列不等式组求解即可； （2）先将题中不等式恒等变形为，结合不等式解集为，求出，再由（1）中关于的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：， 由①②得，解得， 由①②得，解得， 为非负数，为负数， ，解得， 的取值范围是； （2）解：由得，， 不等式的解集是， ，即， 结合（1）中，得， 为整数， 符合条件的的取值是． 24．定义：若两个不等式（组）存在整数解且完全一致，则称这两个不等式（组）“互为等值整数组”． 例：不等式组的解集为，其整数解为大于等于的整数；不等式的解集为， 其整数解也为大于等于的整数．因此，不等式组与不等式“互为等值整数组”． (1)下列不等式（组）中与“互为等值整数组”的是 （填写正确结论的序号）； ①，②，③． (2)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，且是整数，请求出的值； (3)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，请求出的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（）分别求出几个不等式（组）的整数解，按照定义要求判断即可； （）分别求出两个不等式组的解集，因为两个不等式组有相同的整数解，所以根据第一个不等式组的整数解，得到，解不等式即可； （）分别求出两个不等式组的解集，可分析得两不等式组有相同整数解时，整数解只可能为0，据此求出的范围． 【详解】（1）解∶解原不等式得； ∴整数解为：； ①解得， ∴整数解为：，与原不等式不同； 解得， 整数解为，与原不等式相同； ③解得， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为与原不等式不同； （2）解：解第一个不等式组 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， 整数解为； 解第二个不等式组 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵整数解需为， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴； （3）解：解第一个不等式组， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为； 解第二个不等式组， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为； ∵两不等式组整数解相同且存在整数解， 若整数解为： 则，解得； 若整数解为， 则，解得，此不等式组无解； 同理可得若原题中两个不等式组的相同整数解包括小于的其他整数解时，都没有使之成立； ∴两不等式组相同的整数解只有0，此时． 25．已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得 ；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式 ，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式 的解集为，请求出整数m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方程组的两个方程相加即可得到结果； （2）将①的结果变形即可得到，再结合已知解答即可； （3）由已知可得，进而可得m满足，即可得到整数m的值． 【详解】（1）解：方程组中的两个方程相加得： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：∵不等式 即为，且此不等式的解集为， ∴， 解得：， ∴结合（2）的结论可得：m满足， ∵m为整数， ∴． 题型6 由不等式组的解集情况求参数 26．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若不等式组的一个“相依方程”的解是整数，求这个关于的“相依方程”中的值； (3)若方程和都是关于的不等式组的“相依方程”，则的取值范围是 ． 【答案】(1)②③ (2)或 (3) 【分析】（1）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案； （2）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，进而把所求的整数解代入一元一次方程中求出a的值即可； （3）先求出两个“相依方程”的解，然后求出不等式组的解，然后根据“相依方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：，不是一元一次不等式组的解， ②， 解得：，是一元一次不等式组的解， ③， 解得：，是一元一次不等式组的解， ∴不等式组的“相依方程”是②③； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为或， 若是的解，则 ，解得：； 若是的解，则 ，解得：； 综上所述，或； （3）解：解方程得：， 解方程得：， 解关于的不等式组得：， ∵方程和都是关于的不等式组的“相依方程”， ∴和是的解， ∴， ∴的取值范围是． 27．若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是______（填字母序号）； A．    B．   C．     D． (2)若关于x的不等式被“容纳”，求m的取值范围； (3)若关于x的不等式被“容纳”，若且，，求M的最大值． (4)已知，，，，且k为整数，关于x的不等式，，若存在k，使得P和Q存在“容纳”关系，且Q被P“容纳”，请直接写出k的值． 【答案】(1)C (2) (3) (4)或 【分析】（1）A解集为，存在不满足的解；B解集为，与无包含关系；C解集为，所有解都满足且有解，符合要求；D不等式组无解，不符合前提； （2）先解不等式，得，该不等式被“容纳”，说明的所有解都满足，则可得，进行求解即可； （3）由被容纳，可得且，解得．通过方程组消元得，，代入化简得．因随增大而增大，故时取最大值； （4）由解得，，结合、得，整数为．解得，解得，由被容纳，即的所有解都满足，逐一验证得和符合要求． 【详解】（1）解：A、 解得， ∵解集中存在如这样不满足的数， ∴不能被容纳，故该选项不符合题意； B、 解得， 解集与无容纳关系， ∴不能被容纳，故该选项不符合题意； C、 解得， 解集中所有都满足，且不等式有解， ∴能被容纳，故该选项符合题意； D、， 解得，此不等式组无解． ∵不等式（组）需均有解， ∴不符合要求，故该选项不符合题意； （2）解： 解得， ∵该不等式被容纳，即解集中所有都满足， ∴ 解得； （3）解：∵不等式被容纳， ∴，且， 解得，且， ∴的取值范围为， ∵， ∴ 解得， 将代入中， 得 解得， 将，代入中， 得 ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大为； （4）解：∵， ∴，代入中， 得 解得， ∴， ∵，， ∴且 解得， 又∵为整数， ∴的可能值为， 由题意得，： 解得， ： ∴， ∴当时， 解得， ∴所有实数对恒成立， ∴的所有解都满足，符合要求； 当时， 解得， ∵的解集中存在这样不满足的数，不符合要求； 当时， 解得， ∵的解集中存在这样不满足的数， ∴不符合要求； 当时， 解得， ∴的所有解都满足，符合要求； 综上所述，符合条件的的值为和． 28．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是_____（填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，请求出m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）根据“相伴方程”的定义进行判断即可． （2）根据题意，得出关于k的不等式，据此得出关于k的取值范围即可． （3）根据题意，得出关于m的不等式，据此得出关于m的取值范围即可． 【详解】（1）解：由得，； 由得，． 解不等式组得，． 因为，， 所以不等式组的“相伴方程”是②． （2）解：由得，x． 解不等式组得，， 则， 解得． （3）解：由得，； 由得，； 由得，． 因为所给方程都是不等式组的“相伴方程”， 所以， 解得． 29．我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（只填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ①当时，求的取值范围； ②当时，求的取值范围． (3)若关于的方程是关于的不等式组的关联方程，且所有符合要求的整数之和为14，求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)①3；② (3)或 【分析】（1）求出方程的解，不等式组的解集，根据新定义进行判断即可； （2）①把代入方程和不等式组，求出方程的解，不等式组的解集，根据新定义，得到关于的不等式组，即可得出结果；②把代入方程和不等式组，求出方程的解，不等式组的解集，根据新定义，得到关于的不等式组，即可得出结果； （3）求出方程的解，不等式组的解集，根据不等式组的解集的情况，进行求解即可. 【详解】（1）解：解，得； 解，得； 解，得； 解不等式组，得， ∵和在的范围内，不在的范围内， 故不等式组的“关联方程”是①③； （2）解：①当时，方程化为，解得， 不等式组化为，解得， 由题意，， 解得3， ②当时，方程化为，解得， 解不等式组得， 由题意，， 解得； （3）解：解方程，得， 解不等式组，得， 由题意，， ∴， ∵所有符合要求的整数之和为14， 又或， ∴或. 30．阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴，即， 得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， ①试确定y的取值范围； ②试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值；由得，进而求得，即，即可求得的取值范围； （）根据题意求得，再求出，从而得到关于，的方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴，即， ∴， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 题型7 不等式组和方程组结合的问题 31．学科素养·应用意识阅读下列材料： 问题：已知，且，，求的取值范围． 解：，．又，，．又，①，．即②．①+②得．的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是________；的取值范围是________； (2)已知，且，，根据上述做法得到，求、的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题干的方法及不等式的性质求解即可； （2）仿照题干的方法得出，确定方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ． 又， ， ． 又， ①， ． 即②． ①+②得． 的取值范围是． （2）， ， 又， ， ， 又， ， ①． ， ，即， ②， ①+②，得． ， ， 解得． 32．感知：解不等式 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或 解不等式组得，解不等式组得 原不等式的解集为或 问题解决： (1)应用：不等式的解集为 ； (2)变式：求不等式的解集； (3)综合：已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）先求解出二元一次方程组的解用含的参数表示出来，再根据，按照例题的思路进行求解即可 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为或， 解不等式组得：且，故不等式组无解， 解不等式组得， 原不等式的解集为； （2）解：根据两数相除，异号得负，原不等式可以转化为或， 解不等式组得：且，故不等式组无解， 解不等式组得， ∴原不等式的解集为； （3）解：解方程组得：， ∵ ， ∴或， 解不等式组得， 解不等式组得且，故不等式组无解， ∴的取值范围为． 33．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将方程组的两个方程相加，得到关于和的关系式，再将用含的式子表示出来，最后代入，解这个一元一次不等式组得到的取值范围． （2）先对不等式进行变形整理，根据不等式的性质，可知未知数的系数小于0，由此得到关于的不等式，结合（1）中的取值范围，确定符合条件的整数． 【详解】（1）仿照小明的方法，将方程组两个方程相加：， 得 ，进而， 已知， 代入得：， 不等式三边同时减1，得； （2）整理不等式，即， 因为不等式的解集为， 不等号方向改变，根据不等式性质，可得，解得． 结合（1）中的范围，得，其中整数为． 34．若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）． (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______． (3)若关于x的不等式的解满足大于不等式组的“解集中点”的整数x恰好有3个，求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式(组)，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“中点关联方程”是解题的关键． （1）先分别求出三个方程的解和不等式组的解集，再根据“中点关联方程”的定义即可判断； （2）先求出不等式组的解集，根据关联方程的定义即可求解； （3）先求出不等式（组）的解集，根据满足条件的整数解有3个列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：解方程①，得：； 解方程②，得：； 解不等式组得：， 该不等式组的“解集中点”为， 故答案为：①； （2）解：解不等式组得：， 该不等式组的“解集中点”为， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：解不等式，得 解不等式组． 解①得，解②得， 因为该不等式组有“解集中点”，说明它有解集形式为的解． 所以不等式组的解集为：．此时，即， 该不等式组的“解集中点”： ∵在不等式的解集（即）中，满足大于该不等式组的“解集中点”的整数恰好有个．即满足且的整数恰好有个． 因为是整数且，这个整数只能是2，1，． ∴， 解得， 综上所述：的取值范围是． 35．综合与实践：阅读下列材料，解决问题． 阅读材料：张力为了装修新房，需要购置木板进行裁剪得到适当的基础材料．如图1所示，已知每张木板的尺寸（单位：dm）都是，每张的价格是元．装修中需要甲、乙两种不同型号的基础材料，甲型尺寸是，乙型尺寸是．为了充分利用木板（多余的材料越少越好），张力设计了三种不同的裁剪方法： 方法一：每张木板裁剪个甲型材料，再裁剪个乙型材料，剩下的是余料； 方法二：每张木板裁剪个甲型材料，再裁剪个乙型材料，剩下的是余料； 方法三：每张木板裁剪个甲型材料，再裁剪个乙型材料，剩下的是余料． (1)按方法一的裁剪，请在图1中画出示意图； (2)按方法二的裁剪，请在图2中画出示意图； (3)按方法一，方法二，方法三裁剪，每张剩下的余料面积分别是______，______，______； (4)如果张力购进一批木板，三种裁剪方法都用到，共得到甲型基础材料个，乙型基础材料个，且按照方法二裁剪的木板不超过张，那么张力购买的这些木板费用是多少？ 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)；； (4)元 【分析】（1）要求每张裁剪个甲型、个乙型，因此先在木板内沿长度方向划分出个的区域放置甲型材料，再在剩余空间内合理排布个的乙型材料，据此在图1中画出对应示意图即可； （2）方法二要求每张木板裁剪个甲型、个乙型，因此先在的木板内划分出个的区域放置甲型材料，再在剩余空间内按的尺寸合理排布个乙型材料，据此在图2中画出对应示意图即可； （3）用木板总面积依次减去对应方法中各材料的总面积，即可得到每种方法的余料面积； （4）先设按方法一、二、三裁剪的木板分别为张、张、张，根据甲型材料共个、乙型材料共个列出方程组，再通过消元将方程组转化为关于、的不定方程，结合不超过且、、均为正整数的条件，枚举的取值找到符合要求的正整数解，确定、、的取值后，计算总木板数，再用每张木板的价格元乘以总木板数，得到购买木板的总费用． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）解：如图即为所求； （3）解：方法一：； 方法二： ； 方法三： ； 故答案为：；；； （4）解：设按方法一、二、三裁剪的木板分别为张、张、张（，，为正整数，且）， ， 由①得 ， 把③代入②，得 ， 整理得 ， ∵，为正整数，且， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 把，代入③得 ， ∴总木板数为张， ∴总费用为：元； 答：张力购买的这些木板费用是元． 【点睛】本题综合考查图形的分割与拼接、面积计算以及不定方程的整数解应用，是典型的“方案设计+方程求解”类综合应用题，绘制裁剪示意图时，核心是先固定大尺寸的摆放位置，再利用剩余空间填充小尺寸，遵循“先大后小”的布局原则，确保不超出木板边界；第（4）问的核心是消元法转化不定方程，得到后，需结合整数限制条件（，，为正整数，且）进行枚举验证． 题型8 不等式组的方案选择问题 36．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1：我县某乡镇为助力农户增收，将红米和核桃加工包装成礼盒（款梯田红米礼盒和款高山核桃礼盒）再出售．已知每件礼盒比礼盒售价少元，卖出件礼盒和件礼盒，一共收入元． 素材2：已知礼盒成本元/件，礼盒成本元/件．乡镇计划在某展销活动中售出，两种礼盒共件，且礼盒数量不超过礼盒数量的倍，总成本不超过元． 问题解决 (1)求，两种礼盒每件的售价分别为多少元； (2)求所有的销售方案； (3)要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排，两种礼盒的销售方案？并求出农户在这次展销活动中的最大收益是多少元？ 【答案】(1)款礼盒每件的售价为元，款礼盒每件的售价为元； (2)共有种销售方案： 方案1：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案2：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案3：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案4：销售款礼盒件，款礼盒件； (3)销售款礼盒件，款礼盒件时，收益最大，最大收益为元． 【分析】（1）设款礼盒每件的售价为元，款礼盒每件的售价为元，列方程组求解即可； （2）设售出款礼盒件，则售出款礼盒件，列不等式组求出，根据为款礼盒的件数，必须为整数，求出的取值，根据的值得到销售方案； （3）分别计算种销售方案所获的利润，通过比较得出最佳方案． 【详解】（1）解：设款礼盒每件的售价为元，款礼盒每件的售价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：款礼盒每件的售价为元，款礼盒每件的售价为元； （2）解：设售出款礼盒件，则售出款礼盒件， 根据题意得：， 解得：， 取整数， 可取，，，， 共有种销售方案： 方案1：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案2：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案3：销售款礼盒件，款礼盒件； 方案4：销售款礼盒件，款礼盒件； （3）解：根据题意得： 选择方案可获得的收益为（元） 选择方案可获得的收益为（元） 选择方案可获得的收益为（元） 选择方案可获得的收益为（元） ， 销售款礼盒件，款礼盒件时，收益最大，最大收益为元． 37．内蒙古自治区教育厅下发通知，从2025年春季学期开始，全区各级各类中小学全面落实每天综合体育活动时间不低于2小时要求，推动实施学生体质强健计划．某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年三、四月份销售情况如下表所示： 月份 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 三月 30 50 3800 四月 40 60 4800 (1)求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； (2)某学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款球拍共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的，问学校有哪些购买方案． 【答案】(1)每副羽毛球拍的销售单价是60元，每副乒乓球拍的销售单价是40元 (2)共有5种购买方案：①购买羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购买羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购买羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购买羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购买羽毛球拍40副，乒乓球拍20副 【分析】（1）设每副羽毛球拍的销售单价是元，每副乒乓球拍的销售单价是元，由等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购买羽毛球拍的数量为副，则购买乒乓球拍的数量为副，列出一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每副羽毛球拍的销售单价是元，每副乒乓球拍的销售单价是元， 依题意，得， 解得， 答：每副羽毛球拍的销售单价是60元，每副乒乓球拍的销售单价是40元． （2）解：设购买羽毛球拍的数量为副，则购买乒乓球拍的数量为副， 依题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴或37或38或39或40， 共有5种购买方案：①购买羽毛球拍36副，乒乓球拍24副；②购买羽毛球拍37副，乒乓球拍23副；③购买羽毛球拍38副，乒乓球拍22副；④购买羽毛球拍39副，乒乓球拍21副；⑤购买羽毛球拍40副，乒乓球拍20副． 38．在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】(1)温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元 (2)共有3种购买方案，分别是：方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌；购买23个垃圾箱、27个温馨提示牌的方案所需资金最少，最少是4800元. 【分析】（1）设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元，根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌，根据“至少需要购买23个垃圾箱，且购买费用不超过5000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需资金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元． （2）解：设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌， 依题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案，方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌； 选择方案1所需资金为（元）； 选择方案2所需资金为（元）； 选择方案3所需资金为（元）． ∵， ∴方案1所需资金最少，最少是4800元． 39．随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某企业使用、B两种型号的机器人搬运货物．相关信息如下：若买3台型机器人、4台B型机器人，共需480万元；若买4台型机器人、3台B型机器人，共需500万元．型机器人每天可以搬运货物75吨； 型机器人每天可以搬运货物50吨． (1)求、 两种型号机器人的单价； (2)该企业计划用不超过1000万元购买、 两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案，并选出最省钱的采购方案． 【答案】(1)型机器人单价为80万元，型机器人单价为60万元． (2)共有3种采购方案，分别为：方案1，购买型机器人3台，型机器人12台；方案2，购买型机器人4台，型机器人11台；方案3，购买型机器人5台，型机器人10台． 最省钱的采购方案为购买型机器人3台，型机器人12台． 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据台数和总费用列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型台，B型 台，根据需要费用不超过1000万元，每天搬运货物不低于825吨列出不等式，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：设A型号智能机器人每台为x万元，B型号智能机器人每台为y万元． 由题意得，， 解得； 型号智能机器人每台分别为80万元，B型号智能机器人每台为60万元． （2）设A型号智能机器人购买m台，则B型号智能机器人购买 台． 由题意得，， 解得：． 为正整数， 可以为3，4，5，共有3种采购方案． 方案一：购买A型机器人3台，购买B型机器人12台，费用为（万元）； 方案二：购买A型机器人4台，购买B型机器人11台，费用为（万元）； 方案三：购买A型机器人5台，购买B型机器人10台，费用为（万元）， ∵， ∴最省钱的是购买A型机器人3台，购买B型机器人12台，费用为960万元． 40．根据以下信息，按要求完成下列任务． “诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目 项目背景 学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛．经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感，学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力．为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品．这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养 项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的倍． 素材2 我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元． 素材3 学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品．有两个重要的限制条件需要考虑． 一方面：投入的经费不能超过1020元； 另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量． 问题解决 任务一：精准定价 (1)请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱． 任务二：方案规划 (2)请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量． 任务三：成本优化 (3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案． 【答案】(1)甲种图书单价为30元，乙种图书单价为20元 (2)共有3种可行的购买方案，方案一：购买甲种图书20本，乙种图书20本；方案二：购买甲种图书21本，乙种图书19本；方案三：购买甲种图书22本，乙种图书18本 (3)购买甲种图书20本，乙种图书20本的采购方案总费用最低 【分析】（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，再建立方程求解即可； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据题意得：，再进一步求解即可； （3）通过计算各方案的总费用，找出成本最低的采购方案． 【详解】（1）解：设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． （2）解：设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 方案一：购买甲种图书20本，乙种图书20本； 方案二：购买甲种图书21本，乙种图书19本； 方案三：购买甲种图书22本，乙种图书18本； （3）解：方案一总花费：元， 方案二总花费：元， 方案三总花费：元， ∴购买甲种图书20本，乙种图书20本的采购方案总费用最低． 题型9 不等式组的阶梯收费问题 41．如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13分钟后，洗车的最长时间为7分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：（分钟）， ∵不足一分钟按一分钟计算， ∴， 解得， 故答案为：． 42．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 43．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键． （1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可； （2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可； （3）把代入求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，当（单位：千米）时，， 故答案为：； （3）解：由题意得，， 得， 故， 即， 故该乘客所行的路程的取值范围：． 44．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 45．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 题型10 不等式组的分配问题 46．年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 【答案】(1)喇叭的单价为元，小红旗的单价为元 (2)元 【分析】（1）设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元，根据“购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同．”列出方程，即可求解； （2）设一横排有人，根据“排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元， 由题意得， ， 解得． ． 答：喇叭的单价为元，小红旗的单价为元． （2）解：设一横排有人， 由题意得，， 即，即 为整数，且， ． （元）． 答：排舞运动协会购买小红旗共花费了元． 47．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 【答案】(1)解：3；4 (2)解：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； (3)解：最多可以制作横式纸盒20个． 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个，根据题意列不等式组，求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）解：设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：设a张大纸板全部裁成A型，b张全部裁成B型，c张同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板,可以制作横式纸盒个， ∴， 由①得， 代入③得：， ∴， ∴（）， 由， 则， 得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵t是整数， 解得t的最大值为20， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒20个． 48．综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 【答案】(1)14；72； (2) 解：小明的说法是正确的，理由如下： 设领货单中包装“长长久久”系列月饼盒，则“八方来福”系列的月饼盒， 由题意得：， 解得，这与领货单上的月饼50盒矛盾， 所以小明的说法是正确的． (3)有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼 【分析】（1）根据两种系列中，大月饼与小月饼的个数列式计算即可； （2）根据共计领取月饼453个建立一元一次方程，解方程即可； （3）根据礼盒数量不少于80盒建立一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵若“长长久久”系列的月饼有盒，需要从制作车间领取大月饼个， ∴“八方来福”系列的月饼的盒数为（盒）， ∴需要从制作车间领取小月饼的个数为（个）． （2）略 （3）解：设安排名月饼制作师制作大月饼，则安排名月饼制作师制作小月饼， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的取值为4或5， 当时，； 当时，； 综上，有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼． 49．根据以下素材，完成任务： 背景 学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品． 素材1 已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元． 素材2 已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍． 素材3 在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件． 问题解决 任务1 求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？ 任务2 问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？ 任务3 请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？ 【答案】任务1：甲类diy材料包每套元，乙类diy材料包每套元； 任务2：共有4种方案：购买甲类diy材料包17套，购买乙类diy材料包33套， 购买甲类diy材料包18套，购买乙类diy材料包32套， 购买甲类diy材料包19套，购买乙类diy材料包31套， 购买甲类diy材料包20套，购买乙类diy材料包30套； 任务3：制作A种装饰摆件20件，B种装饰摆件30件时，获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用． 任务1：设甲类diy材料包每套x元，乙类diy材料包每套y元，列二元一次方程组求解即可； 任务2：设购买甲类diy材料包z套，则购买乙类diy材料包套，根据题意列一元一次不等式组计算即可； 任务3：先求出A、B两种装饰摆件的单件利润，再根据利润高的越多获利越大结合任务2作答即可． 【详解】解：任务1：设甲类diy材料包每套x元，乙类diy材料包每套y元， ∵购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元， ∴， 解得：， ∴甲类diy材料包每套元，乙类diy材料包每套元； 任务2：设购买甲类diy材料包z套， ∵制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包， ∴制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件共需diy材料包50套， ∴购买乙类diy材料包套， ∵共筹集到资金310元，B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍 ∴， 解得：， 即共有4种方案：购买甲类diy材料包17套，购买乙类diy材料包33套， 购买甲类diy材料包18套，购买乙类diy材料包32套， 购买甲类diy材料包19套，购买乙类diy材料包31套， 购买甲类diy材料包20套，购买乙类diy材料包30套； 任务3：∵A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件， ∴A种装饰摆件利润为元/件，B种装饰摆件元/件， 可知A种装饰摆件利润更大，即A种装饰越多利润越大， ∴制作A种装饰摆件20件，B种装饰摆件30件时，获利最大，最大利润是（元）． 50．近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度． 请你根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元 问题解决 任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？ 任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】任务一：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒． 任务二：分装方案1：精包装14个，简包装70个； 分装方案2：精包装10个，简包装75个； 分装方案3：精包装6个，简包装80个； 分装方案4：精包装2个，简包装85个； 理由： 设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）． 依题意得： ， 由①得． 将代入②． 得， 解得：； ∵， ∴， ∴， ∵m，n，为正整数， ∴或或或； ∴，或，或，或，， 分装方案1：精包装14个，简包装70个； 分装方案2：精包装10个，简包装75个； 分装方案3：精包装6个，简包装80个； 分装方案4：精包装2个，简包装85个． 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的应用； 任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，列二元一次方程组求解即可； 任务二：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．依题意可列出，再结合m，n，为正整数，进一步解答即可． 【详解】任务一： 解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒． ， 解这个方程组，得 答：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒． 任务二：略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项5 第十一章 不等式与不等式组压轴题型 目录 题型1 求一元一次不等式的整数解 1 题型2 求一元一次不等式解的最值 3 题型3 用一元一次不等式解决实际问题 5 题型4 用一元一次不等式解决几何问题 7 题型5 一元一次不等式组的整数解 10 题型6 由不等式组的解集情况求参数 11 题型7 不等式组和方程组结合的问题 14 题型8 不等式组的方案选择问题 16 题型9 不等式组的阶梯收费问题 18 题型10 不等式组的分配问题 20 题型1 求一元一次不等式的整数解 1．已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)当a为何整数时，不等式的解集为？ 2．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：，即，③ 把方程①代入③得：，解得， 把代入①得， 原方程组的解为 请你根据上述材料解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)若关于x，y的二元一次方程组的解满足，请求出满足条件的m的所有正整数值． 3．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如：，． (1)若，求x的取值范围； (2)已知关于x的方程的解满足，求a的最小整数解． 4．根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 泉州土笋冻是独具地方风味的特色小吃，以其独特口感享誉一方.为满足外地食客的需求，某土笋冻经销商与京东快递公司合作推出线上销售，产品有精品装和优惠装两种.以下是销售的相关素材信息，请根据素材完成后续任务. 素材二 精品装 优惠装 每盒100克，售价15元 每盒300克，售价35元 问题解决 (1)任务一：试营业期间，该经销商共卖出土笋冻320盒，销售总收入为9600元，请问精品装和优惠装各销售了多少盒？ (2)任务二：现在需要对7500克土笋冻进行分装，既有精品装也有优惠装，且恰好将这7500克土笋冻整盒分装完.精品装包装盒每个成本为2元，优惠装包装盒每个成本为1.8元.若要将购买包装盒的成本控制在55元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由. 5．对x、y定义一种新运算S，规定：（其中m、n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算． 例如：． (1)当，时，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，若关于k的不等式至少有2个正整数解，求p的取值范围； (3)若对任意数x、y都成立，则m、n应满足怎样的关系式？ 题型2 求一元一次不等式解的最值 6．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 7．规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 8．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 9．某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由个甲部件和个乙部件组成，个甲部件的质量是千克，1个乙部件的质量是千克．每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 10．综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 题型3 用一元一次不等式解决实际问题 11．下表中有两种手机通话计费方式： 月使用费 主叫限定时间（分钟） 主叫超时费（元/分钟） 被叫 方式一 50 150 0.2 免费 方式二 80 350 0.25 免费 （月使用费固定收：主叫不超过限定的时间不再收费，主叫超过限定时间的部分加收超时费） (1)若李明某月主叫通话时间为200分钟，则他按方式一计费需______元，按方式二计费需________元； (2)王华某月按方式二计费需100元，求王华该月主叫通话时间． (3)请分析选取哪种方式更合算． 12．吃粽子是端午节的习俗．端午节前三天，某糕点店售出肉粽个，甜粽 个，销售额 元，已知肉粽的销售单价比甜粽的销售单价高元． (1)求肉粽和甜粽的销售单价分别是多少元； (2)端午节假期即将结束时，该糕点店对粽子的售价进行了调整，将每个肉粽按原销售单价的八折销售，每个甜粽在原销售单价基础上降价元销售．若该商家在价格调整后销售两种粽子共个，销售额不低于 元，求该商家在价格调整后至少销售肉粽多少个． 13．随着社区养老服务设施的升级，某街道计划采购一批智能呼叫器和应急急救箱，街道为了精准预算，工作人员收集了两款设备的采购报价信息，如表： 智能呼叫器数量（单位：个） 应急急救箱数量（单位：个） 总报价（单位：元） 2 3 2700 4 5 4900 (1)求智能呼叫器和应急急救箱的单价各是多少元？ (2)若街道计划采购这两款设备共60个，且采购总费用不超过32000元，则最多采购智能呼叫器多少个？ 14．某商店销售A，B两种水果．A水果标价16元/千克，B水果标价20元/千克． (1)学校组织班级活动，班长代表班级在这家商店按标价买了A，B两种水果共5千克，其中A水果的总价是B水果总价的1.2倍，这两种水果各买了多少千克？ (2)学校准备再次采购A，B两种水果，要求B水果比A水果多买2千克，且采购总费用不超过80元．设采购A水果n千克． ①若这两种水果按标价出售，求n的取值范围； ②商店为了吸引更多顾客，推出新的优惠活动：A水果打八折；一次购买B水果不超过2千克不优惠，超过2千克后，超过2千克的部分打六折．（注：“打八折”指按标价的出售，“打六折”指按标价的出售．）若采购总费用为64元，求n的值． 15．如图，学校饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为 ；开水的温度为，流速为 ，整个接水的过程不计热量损失． 科学常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． 【情境理解】 (1)若小毛同学用空杯接了秒的温水，又接了秒的开水，接完水后杯子中有________； (2)若小毛同学用空杯接了秒的温水，又接了秒的开水，得到一杯的水，根据科学常识，则一定有等式：______________； 【情境运用】 (3)小天同学用空杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯 温度为的水（不计热损失），求该同学分别接温水和开水的时间； (4)小天同学计划花秒在空杯中先接温水再接开水，得到一杯不少于的水，他至少要接温水多少秒？此时他得到的水为多少？ 题型4 用一元一次不等式解决几何问题 16．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 17．在中，，，，，射线，点在射线上，且，连接．动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒． (1)当时，求线段的长度； (2)当的面积恰好等于的面积的时，求的值； (3)当是的高，且时，求的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为的面积为15． (1)求出点的坐标； (2)线段是由线段平移所得，其中点与点对应，点与点对应，与轴的交点为点，求的长； (3)在（2）的条件下，若点为轴上的一个动点，且点的横坐标为，并且满足，请写出的取值范围___________． 19．已知数轴上的两点所表示的数分别是和． (1)如图（1），点在点的右边，，若，请直接写出点、点表示的数． (2)如图（2），在（1）的条件下，点在点处以每秒2个单位长度向右运动，点在点处以每秒3个单位长度向左运动，点、点同时运动，请问当时，求点，点运动了多少秒？ (3)拓展应用：如图（3）有两列玩具车，甲车长为3个单位长度，乙车长为5个单位长度，甲车头在数轴上表示的数是，乙车头在数轴上表示的数是16．若甲车以每秒2个单位长度向右行驶，同时乙车以每秒1个单位长度向左匀速行驶，两车同时运动，点位于中点，小渝发现行驶中有一段时间，总共有秒钟，到两车头、的距离和加上到两车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为小渝发现的这一结论是否正确？若正确，直接写出的值及的定值；若不正确，请说明理由． 20．如图①，在平面直角坐标系中，点，，且实数，满足． (1)直接写出，两点的坐标； (2)将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，设点的坐标为，连接，，求的面积． (3)如图②，连接，，为线段上一点，为轴上一动点，若，求的取值范围． 题型5 一元一次不等式组的整数解 21．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 求m的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 22．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组．的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组．的“关联方程”． (1)方程_____（填“是”或“不是”）不等式组．的“关联方程”； (2)关于x的方程是不等式组．的“关联方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有2个整数解，试求m的取值范围． 23．已知关于，的二元一次方程组：的解满足为非负数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当取何整数时，关于的不等式的解集是？ 24．定义：若两个不等式（组）存在整数解且完全一致，则称这两个不等式（组）“互为等值整数组”． 例：不等式组的解集为，其整数解为大于等于的整数；不等式的解集为， 其整数解也为大于等于的整数．因此，不等式组与不等式“互为等值整数组”． (1)下列不等式（组）中与“互为等值整数组”的是 （填写正确结论的序号）； ①，②，③． (2)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，且是整数，请求出的值； (3)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，请求出的取值范围． 25．已知关于x，y的二元一次方程组（其中m是参数）． (1)观察方程组中未知数的系数，用“整体法”可得 ；（用含m的代数式表示结果） (2)若方程组的解满足不等式 ，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式 的解集为，请求出整数m的值． 题型6 由不等式组的解集情况求参数 26．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号） (2)若不等式组的一个“相依方程”的解是整数，求这个关于的“相依方程”中的值； (3)若方程和都是关于的不等式组的“相依方程”，则的取值范围是 ． 27．若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是______（填字母序号）； A．    B．   C．     D． (2)若关于x的不等式被“容纳”，求m的取值范围； (3)若关于x的不等式被“容纳”，若且，，求M的最大值． (4)已知，，，，且k为整数，关于x的不等式，，若存在k，使得P和Q存在“容纳”关系，且Q被P“容纳”，请直接写出k的值． 28．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是_____（填序号）； (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，请求出m的取值范围． 29．我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（只填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ①当时，求的取值范围； ②当时，求的取值范围． (3)若关于的方程是关于的不等式组的关联方程，且所有符合要求的整数之和为14，求的取值范围． 30．阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴，即， 得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， ①试确定y的取值范围； ②试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 题型7 不等式组和方程组结合的问题 31．学科素养·应用意识阅读下列材料： 问题：已知，且，，求的取值范围． 解：，．又，，．又，①，．即②．①+②得．的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是________；的取值范围是________； (2)已知，且，，根据上述做法得到，求、的值． 32．感知：解不等式 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或 解不等式组得，解不等式组得 原不等式的解集为或 问题解决： (1)应用：不等式的解集为 ； (2)变式：求不等式的解集； (3)综合：已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 33．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 34．若关于x的一个一元一次不等式组的解集为（a，b为常数，且），则称为这个不等式组的“解集中点”．若一个一元一次方程的解与一个一元一次不等式组的“解集中点”相等，则称这个一元一次方程为此一元一次不等式组的“中点关联方程”． (1)在方程①，②中，不等式组的“中点关联方程”是______（填序号）． (2)已知不等式组，请写出这个不等式组的一个“中点关联方程”：______． (3)若关于x的不等式的解满足大于不等式组的“解集中点”的整数x恰好有3个，求m的取值范围． 35．综合与实践：阅读下列材料，解决问题． 阅读材料：张力为了装修新房，需要购置木板进行裁剪得到适当的基础材料．如图1所示，已知每张木板的尺寸（单位：dm）都是，每张的价格是元．装修中需要甲、乙两种不同型号的基础材料，甲型尺寸是，乙型尺寸是．为了充分利用木板（多余的材料越少越好），张力设计了三种不同的裁剪方法： 方法一：每张木板裁剪个甲型材料，再裁剪个乙型材料，剩下的是余料； 方法二：每张木板裁剪个甲型材料，再裁剪个乙型材料，剩下的是余料； 方法三：每张木板裁剪个甲型材料，再裁剪个乙型材料，剩下的是余料． (1)按方法一的裁剪，请在图1中画出示意图； (2)按方法二的裁剪，请在图2中画出示意图； (3)按方法一，方法二，方法三裁剪，每张剩下的余料面积分别是______，______，______； (4)如果张力购进一批木板，三种裁剪方法都用到，共得到甲型基础材料个，乙型基础材料个，且按照方法二裁剪的木板不超过张，那么张力购买的这些木板费用是多少？ 题型8 不等式组的方案选择问题 36．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1：我县某乡镇为助力农户增收，将红米和核桃加工包装成礼盒（款梯田红米礼盒和款高山核桃礼盒）再出售．已知每件礼盒比礼盒售价少元，卖出件礼盒和件礼盒，一共收入元． 素材2：已知礼盒成本元/件，礼盒成本元/件．乡镇计划在某展销活动中售出，两种礼盒共件，且礼盒数量不超过礼盒数量的倍，总成本不超过元． 问题解决 (1)求，两种礼盒每件的售价分别为多少元； (2)求所有的销售方案； (3)要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排，两种礼盒的销售方案？并求出农户在这次展销活动中的最大收益是多少元？ 37．内蒙古自治区教育厅下发通知，从2025年春季学期开始，全区各级各类中小学全面落实每天综合体育活动时间不低于2小时要求，推动实施学生体质强健计划．某体育器材店经销羽毛球拍、乒乓球拍，今年三、四月份销售情况如下表所示： 月份 销售数量（副） 销售额（元） 羽毛球拍 乒乓球拍 三月 30 50 3800 四月 40 60 4800 (1)求每副羽毛球拍、乒乓球拍的销售单价分别是多少元； (2)某学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批羽毛球拍和乒乓球拍，这两款球拍共60副，要求乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的，问学校有哪些购买方案． 38．在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 39．随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某企业使用、B两种型号的机器人搬运货物．相关信息如下：若买3台型机器人、4台B型机器人，共需480万元；若买4台型机器人、3台B型机器人，共需500万元．型机器人每天可以搬运货物75吨； 型机器人每天可以搬运货物50吨． (1)求、 两种型号机器人的单价； (2)该企业计划用不超过1000万元购买、 两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案，并选出最省钱的采购方案． 40．根据以下信息，按要求完成下列任务． “诵读经典诗词，弘扬传统文化”图书采购创意探究项目 项目背景 学校即将举办一场盛大的“诵读经典诗词，弘扬传统文化”主题诵读比赛．经典诗词作为中华文化的璀璨明珠，承载着千年的智慧与情感，学校举办此次“诵读经典诗词，弘扬传统文化”比赛旨在激发同学们对经典诗词的热爱，深入领略传统文化的独特魅力．为了鼓励同学们积极参与、展现卓越风采，学校决定采购甲、乙两种图书作为比赛奖品．这两种图书不仅具有丰富的文化内涵，还能为同学们带来知识的滋养 项目要求 运用方程思想解决问题，确保过程的准确性与规范性 素材展示 素材1 已知甲图书的单价与乙图书单价存在特定关系，即甲图书的单价是乙图书单价的倍． 素材2 我们还掌握了一个关键信息：单独购买甲种图书10本比单独购买乙种图书10本多100元． 素材3 学校计划购买甲、乙两种图书共40本作为奖品．有两个重要的限制条件需要考虑． 一方面：投入的经费不能超过1020元； 另一方面：要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量． 问题解决 任务一：精准定价 (1)请你通过建立合适的数学模型，精确计算出购买一个甲种图书和一个乙种图书分别需要多少钱． 任务二：方案规划 (2)请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种图书的具体购买数量． 任务三：成本优化 (3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案． 题型9 不等式组的阶梯收费问题 41．如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标准如下：洗车13分钟内（包括13分钟）收费6元，超出后加收元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某同学的爸爸洗车花费了元，请你写出洗车的时间的范围（单位：分钟）________． 42．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 43．已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如： (1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____． (2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：千米）时，（元）； 当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整） (3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围． 44．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 45．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 题型10 不等式组的分配问题 46．年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 47．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板_____张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出2张型长方形纸板和6张型正方形纸板．若要用15张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒多少个？ 48．综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 49．根据以下素材，完成任务： 背景 学校举办“跳蚤市场”爱心义卖活动，小伟和同学们在网上购买手工甲、乙两类diy材料包，分别制作A“哪吒之魔童闹海”、B“励志学习”两种手工钻石贴画装饰摆件，在义卖活动中推销自己的手工作品． 素材1 已知购进2套甲类diy材料包和1套乙类diy材料包共需21元，购进5套甲类diy材料包和3套乙类diy材料包共需55元． 素材2 已知制作1件A装饰摆件需1套甲类diy材料包，制作1件B装饰摆件需1套乙类diy材料包．小伟和同学们共筹集到资金310元购买甲、乙两类diy材料包，计划制作A，B两种手工钻石贴画装饰摆件共50件，且B种装饰摆件的数量不高于A种装饰摆件数量的2倍． 素材3 在义卖活动中，两种手工钻石贴画装饰摆件的售价为：A种装饰摆件16元/件，B种装饰摆件10元/件． 问题解决 任务1 求购买甲、乙两类diy材料包每套各需要多少元？ 任务2 问购买甲、乙两类diy材料包共有哪几种方案？ 任务3 请你帮小伟和同学们设计销售完A、B两种手工钻石贴画装饰摆件获利最大的制作方案？最大利润是多少元？ 50．近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度． 请你根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元 问题解决 任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？ 任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $