第52天 导数中的创新问题 每日专项练习 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦导数与多模块知识的创新融合，通过真实情境问题考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，构建导数应用的综合逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数与数列|1题（湖北八校联考）|切线求参+数列不等式证明|导数几何意义→单调性分析→数列递推关系构建| |策略概率|1题（湖北部分州市期末）|最优选择策略概率计算|概率模型→导数求最值→极限思想应用| |自映射区间|1题（苏锡常镇调研）|函数性质与区间长度综合|函数单调性→方程根分布→不等式证明| |洛必达法则|1题（河北模拟）|恒成立问题+三角不等式证明|导数判断单调性→洛必达法则求极限→归纳推理|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第52天 导数中的创新问题 1.(1)解　因为f(0)=0,且f'(x)=-1, 由题意可得f'(0)=a-1=0,即a=1,可得f(x)=ln(x+1)-x, 可知f(x)的定义域为(-1,+∞),且f'(x)=-1=-, 令f'(x)>0,解得-1<x<0;令f'(x)<0,解得x>0; 可知f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减区间为(0,+∞), 所以f(x)有极大值f(0)=0,无极小值. (2)证明　由(1)可得ln(x+1)≤x,x>-1,当且仅当x=0时取等号, 可得ln x≤x-1,x>0,当且仅当x=1时取等号, 等价变形为ln ≤-1,即ln x≥1-,当且仅当x=1时取等号, 代入题干中可得an+1=ln(1+an)>1-=, 则<=+1, 即-<1, 当n≥2时,=+…++<n,即an>, 且a1=1符合an=,所以an≥,n∈N*,则Sn≥, 由ln(x+1)≤x,x>-1,令x=得 ln=ln <, 即>ln(n+1)-ln n, 所以Sn≥>(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+…+[ln(n+1)-ln n]=ln(n+1). 2.解　(1)由题意可知,P1=, 依题意,4个产品的位置从第一个到第4个排序,有=24种情况,同学乙要取最贵价值产品,有以下两种情况: 最贵价值产品是第3个,其它的随意在哪个位置,有=6种情况;最贵价值产品是第4个,第二贵价值产品是第1个或第2个, 其它的随意在哪个位置,有2=4种情况,所以所求概率P2==. (2)法一　若考虑全部产品排序,价值最大的产品是第k+m件,共有(n-1)!种排法, 先从n-1件产品中挑(k+m-1)件产品出来, 其中价值最大的产品放在前k,剩下的全排列,共k(k+m-2)!种排法,剩下的(n-k-m)件产品全排列, 即P2== =; 法二　若价值最大的产品是第k+m件,则乙同学能取到该产品, 只需要前k+m-1件产品中价值最大的产品排在前k件,即P2=; (3)记事件A表示最贵价值产品被乙同学取到,事件Bi表示最贵价值产品排在第i个,则P(Bi)=, 由全概率公式可知, P(A)=P(A|Bi)P(Bi) =P(A|Bi), 当1≤i≤k时,最贵价值产品在前k个中,不会被取到,此时P(A|Bi)=0, 当k+1≤i≤n时,最贵价值产品被取到,当且仅当前i-1件产品中最贵的一个在前k个之中,此时P(A|Bi)=, 此时P(A)= =ln , 令g(x)=ln (x>0), g'(x)=ln -, 由g'(x)=0,得x=, 当x∈时,g'(x)>0, 当x∈时,g'(x)<0, 即函数g(x)在上单调递增, 在上单调递减, 则g(x)max=g=,于是当k=时,P(A)=ln , 所以P2的最大值为,此时k的值为. 3.(1)解　因为f'(x)=1-cos x≥0恒成立,则f(x)在I上单调递增, 若f(x)存在自映射区间[a,b],则f(a)=a,f(b)=b, 即方程f(x)=x,即sin x=0(x∈[-10,10])至少有两个不同实数解. 则x的解集为{-3π,-2π,-π,0,π,2π,3π}, 所以区间[a,b]的选择共有种. 若d=π,共有6种选择, 所以区间的长度d>π的概率为1-=. (2)①解　因为m>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增, 若g(x)存在自映射区间[a,b],则g(a)=a,g(b)=b, 即h(x)=mln x-x至少有两个零点, 因为h'(x)=,x∈(0,m)时,h'(x)>0,h(x)单调递增; x∈(m,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减; 若要存在两个零点, 则hmax(x)=h(m)=mln m-m>0,即m>e. 此时h(1)=-1<0,∃a∈(1,m),使得h(a)=0. 因为当x∈(e,+∞)时,(2ln x-x)'=<0,即函数y=2ln x-x单调递减, 所以2ln x-x<2-e<0,又m>e, 所以h(m2)=2mln m-m2=m(2ln m-m)<0, 则∃b∈(m,m2),使得h(b)=0. 所以m的取值范围为(e,+∞). ②证明　因为mln a-a=0,mln b-b=0, 所以==m, 下证:>. 记l(x)=ln x-2(x>1), 则l'(x)=-=>0, 则l(x)在(1,+∞)上单调递增, 则l(x)>l(1)=0, 即ln x>, 即ln >2, 所以>=. 所以ln a+ln b=ln(ab)>2,所以ab>e2. 记s(x)=ln x+-2, 则s'(x)=-=, x∈(0,e)时,s'(x)<0,s(x)单调递减; x∈(e,+∞)时,s'(x)>0,s(x)单调递增; 所以s(x)>s(e)=0, 即ln x>2-, 则a=ln a>2-, 即a2-2a+e>0, 同理b2-2b+e>0, 因为函数t(x)=x2-2x+e的Δ=4-4>0,且对称轴为x=m, 则方程t(x)=0存在两根x1,x2(x1<m<x2),x1+x2=2m,x1x2=me, 故x2-x1= ==2, 又a<m<b,且t(a)>0,t(b)>0, 所以a<x1<m<x2<b, 则b-a>x2-x1=2, 所以区间[a,b]的长度d>2. 4.(1)证明　h(x)=3sin x-xcos x-2x, 故h'(x)=2cos x+xsin x-2, 令m(x)=2cos x+xsin x-2, 则m'(x)=-sin x+xcos x, 令n(x)=-sin x+xcos x, 则n'(x)=-xsin x, 若x∈[0,π],则n'(x)≤0, 所以n(x)单调递减,n(x)≤n(0)=0, 所以m(x)单调递减,m(x)≤m(0)=0, 所以h(x)在[0,π]上单调递减, 若x∈(π,2π],则n'(x)≥0, 所以n(x)单调递增, 所以n(π)<n(x)≤n(2π),即-π<n(x)≤2π, 所以存在唯一x0∈(π,2π),使得n(x0)=0,且在(π,x0)上,n(x)<0,m(x)单调递减,在(x0,2π]上,n(x)>0,m(x)单调递增, 且m(π)=-4<0,m(2π)=0,所以m(x)≤0, 所以h(x)在区间(π,2π]上单调递减,且h(x)在[0,2π]上连续, 综上,h(x)在区间[0,2π]上单调递减. (2)解　当x=0时,f(0)=0,成立. 当0<x≤2π时, 由f(x)≥0可得a≥, 令g(x)=, 所以g'(x)==, 由(1)可知h(x)≤h(0)=0, 所以g'(x)≤0,所以g(x)在(0,2π]上单调递减,g(x)<g(x). 由洛必达法则:g(x)= ====, 所以a≥,所以a≥1. 综上实数a的取值范围为[1,+∞). (3)证明　当a=1且x≥0时, f'(x)=x2+cos x-1, 令G(x)=x2+cos x-1, 则G'(x)=x-sin x, 令H(x)=x-sin x, 则H'(x)=1-cos x≥0, 所以G'(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以G'(x)≥G'(0)=0, 即G(x)在[0,+∞)上单调递增, G(x)≥G(0)=0, 所以cos x≥1-x2(当x=0时取等号), 所以cos >1-, 所以cos +cos +…+cos >n- =n-·=n-, 因为<<, 所以n->n-, 即cos +cos +…+cos >n-. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第52天 导数中的创新问题 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 解答题(1题13分,2题15分,3题15分,4题17分) 1.(2025·湖北八校联考)已知函数f(x)=ln(ax+1)-x在点(0,0)处的切线与x轴重合. (1)求函数f(x)的单调区间与极值; (2)已知正项数列{an}满足a1=1,an+1=ln(an+1),n∈N*,记数列{an}的前n项和为Sn,求证:Sn>ln(n+1). 2.(2025·湖北部分州市高三期末)某商家推出一个活动:将n件价值各不相同的产品依次展示在参与者面前,参与者可以选择当前展示的这件产品,也可以不选择这件产品,若选择这件产品,该活动立刻结束;若不选择这件产品,则看下一件产品,以此类推,整个过程参与者只能继续前进,不能返回,直至结束.同学甲认为最好的一定留在最后,决定始终选择最后一件,设他取到最大价值产品的概率为P1;同学乙采用了如下策略:不取前k(1≤k<n)件产品,自第k+1件开始,只要发现比他前面见过的每一个产品的价值都大,就选择这件产品,否则就取最后一件,设他取到最大价值产品的概率为P2. (1)若n=4,k=2,求P1和P2; (2)若价值最大的产品是第k+m件(1≤m≤n-k),求P2; (3)当n趋向于无穷大时,从理论的角度(即k∈R)考虑,求P2的最大值及P2取最大值时k的值. (取=ln ) 3.(2025·苏锡常镇调研)我们把d=b-a(a<b)称为区间[a,b]的长度.若函数f(x)是定义在区间I上的函数,且存在[a,b]⊆I,使得{f(x)|x∈[a,b]}=[a,b],则称[a,b]为f(x)的自映射区间.已知函数f(x)=x-sin x(x∈I),g(x)=mln x(m>0). (1)若I=[-10,10],任取f(x)的一个自映射区间,求其区间的长度d>π的概率; (2)若g(x)存在自映射区间[a,b], ①求m的取值范围; ②求证:ab>e2,且[a,b]的长度d>2. 4.(2025·河北模拟)洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则:给定两个函数F(x),G(x),当F(x0)=0,G(x0)=0时,=.已知函数f(x)=ax3+sin x-x,h(x)=3sin x-xcos x-2x. (1)证明:h(x)在区间[0,2π]上单调递减; (2)对于x∈[0,2π],f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围; (3)∀n∈N*,证明:cos +cos +…+cos >n-(附:e≈2.718,e2≈7.389 ). 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $