第51天 导数中的必要性探路 每日专项练习 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦导数中恒成立问题的必要性探路，通过4道解答题系统训练参数范围求解，强化导数应用的推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数中的必要性探路|4道解答题|恒成立求参数范围（含对数、二次、幂函数综合）|导数分析单调性→求最值→参数范围确定，体现数学思维的逻辑性与严谨性|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第51天 导数中的必要性探路 1.解　必要性:对于x≥1,f(x)≥ln 2恒成立, 即ln(ax+1)+-ln 2≥0在(1,+∞)上恒成立. 令g(x)=ln(ax+1)+-ln 2, 所以g(1)=ln(a+1)-ln 2≥0,解得a≥1. 充分性:当a≥1时, g(x)≥ln+-1(x≥1). 令t=≥1, 则令h(t)=ln t+-1(t≥1), 所以h'(t)=-=(t≥1), 则h(t)在(1,+∞)上单调递增, 所以h(t)≥h(1)=0, 所以g(x)≥0恒成立, 综上所述,a的取值范围是[1,+∞). 2.答案　解　法一　f(x)≥ax, 即a≤=x+6-成立. 记g(x)=x+6-, 则g'(x)=1-=, 记h(x)=x2+8ln x,显然h(x)为增函数,且h(1)=1>0; 又由ln x≤x-1得h =+8ln ≤+8 =-<0, 所以存在x0∈,使得h(x0)=0,即8ln x0=-, 且x∈(0,x0)时,h(x)<0,g'(x)<0,g(x)单调递减, x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增, 所以g(x)min=g(x0)<g(1)=-1, 且g(x)min=g(x0)=x0+6- =x0+6-=2x0-+6>2×-+6=->-2, 即-2<g(x)min<-1, 所以由整数a≤g(x)恒成立, 即整数a≤g(x)min, 得a≤-2,即整数a的最大值为-2. 下证:ln x≤x-1,设φ(x)=ln x-x+1, φ'(x)=-1=, x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)为增函数,x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)为减函数, 所以φ(x)≤φ(1)=0,即ln x≤x-1. 法二　记g(x)=f(x)-ax=x2+(6-a)x-8-8ln x, 由g(1)=-1-a≥0得a≤-1, 当a=-1时,g(x)=x2+7x-8-8ln x, g'(x)=2x+7-=, 所以g'(1)=1>0,g(x)在x=1附近递增,则x<1且x→1时,g(x)<g(1)=0, 所以a=-1不符合条件. 当a=-2时,g(x)=x2+8x-8-8ln x, g'(x)=2x+8-=, 令g'(x)>0,得x>2-2; 令g'(x)<0,得0<x<2-2, g(x)在(0,2-2)内单调递减,在(2-2,+∞)内单调递增, 则g(x)min=g(2-2)=8-4- 8ln(2-2)>0, 所以a=-2时,g(x)≥0恒成立,符合条件, 综上所述,整数a的最大值为-2. 3.解　必要性:因为函数f(x)是(1,+∞)内的减函数,所以f'(x)=aln x+a-axa-1=a(ln x+1-xa-1)≤0在(1,+∞)内恒成立. 令g(x)=ln x+1-xa-1, 因为a>0,所以g(x)=ln x+1-xa-1≤0在(1,+∞)内恒成立, 因为g(1)=0,g'(x)=-(a-1)xa-2, 保证g(x)在x=1处有单减趋势,则g'(1)≤0,即g'(1)=1-(a-1)≤0,则a≥2. 充分性: 因为a≥2,所以a-1≥1, 因为x>1,所以xa-1≥x, 则g(x)=ln x+1-xa-1≤ln x+1-x<0, 所以f'(x)=a(ln x+1-x)<0. 故a的取值范围是[2,+∞). 4.解　必要性:f(x)≥-x2+2ax+b,x>0, 即2aln x-2x+b≤0. 令g(x)=2aln x-2x+b, 由题意知“g()≤0”是“g(x)≤0”的必要条件(注意选x=是为了整理后的不等式出现a+b),即a+b≤2, 则a+b的最大值可能为2. 充分性:存在a,b满足a+b=2,总有f(x)≥-x2+2ax+b成立,取a=b=, 则g(x)=2ln x-2x+, 从而g'(x)=2·. 当0<x<时,g'(x)>0,g(x)单调递增; 当x>时,g'(x)<0,g(x)单调递减. 从而当x>0时,g(x)≤g()=0,符合题意. 综上可知,a+b的最大值为2. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第51天 导数中的必要性探路 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 解答题(1题13分,2题15分,3题15分,4题17分) 1.已知f(x)=ln(ax+1)+(x≥1),若f(x)≥ln 2恒成立,求实数a的取值范围. 2.(2025·浙江名校协作体联考节选)已知函数f(x)=x2+6x-8-8ln x.若对于任意x>0,f(x)≥ax恒成立,求整数a的最大值. 3.已知函数f(x)=axln x-xa,其中a为正实数. 若函数f(x)是(1,+∞)内的减函数,求正实数a的取值范围. 4.已知函数f(x)=-2aln x+2(a+1)x-x2(a>0),若在函数f(x)的定义域内,总有f(x)≥-x2+2ax+b成立,试求a+b的最大值. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $