26.2.2　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第3课时 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，课堂导入通过复习y=ax²、y=ax²+c、y=a(x-h)²等旧知，结合y=-2x²的平移实例，搭建从基础到进阶的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以描点法作图为基础，通过观察图象平移培养几何直观（数学眼光），结合例题和跟踪训练强化“左加右减、上加下减”的推理意识（数学思维），实际应用如喷水池问题渗透模型观念（数学语言）。采用问题驱动和数形结合，小结清晰，助力学生理解性质与应用，方便教师高效教学。

第3课时　二次函数y=a(x-h)2 +k的图象和性质 第二十六章　　26.2.2　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 学习目标 1.能利用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k的图象，能判定抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标等.(重点) 2.能利用二次函数y=a(x-h)2+k的图象理解二次函数y=a(x-h)2+k的性质.(难点) 3.在利用二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质解决问题的过程中，体会数形结合的思想方法. 课堂引入 1.说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况： (1)y=ax2； 课堂引入 (2)y=ax2+c； (3)y=a(x-h)2. 课堂引入 2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值. 3.把y=-2x2的图象 一、 用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象 问题　(1)在同一平面直角坐标系中，利用描点法画出二次函数y=-x2，y=-x2-1，y=-(x+1)2-1的图象： 列表， x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 …                 … y=-x2-1 …                 … y=-(x+1)2-1 …                 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -9 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 -9 然后描点、连线，得到二次函数y=-x2，y=-x2-1，y=-(x+1)2-1的图象，如图. (2)观察图象可知，抛物线y=-x2-1，y=-(x+1)2-1，与抛物线y=x2的形状、__________完全相同，但　　　　、　　　的位置发生了变化；把抛物线y=-x2向下平移1个单位长度，则得到抛物线　　　 　；把抛物线y=-x2-1向左平移1个单位长度，则得到抛物线　　　 　.  开口方向 对称轴 顶点 y=-x2-1 y=-(x+1)2-1 知识梳理 二次函数y=a(x-h)2+k的图象特征： a的符号 a>0 a<0 图象     开口方向 向____ 向____ 对称轴 直线x=___ 顶点坐标 (h，k) 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大 上 下 h 例1　已知二次函数y1=-x2，y2=-x2+4，y3=-(x+3)2，y4=-(x+3)2+4. (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象； 解　列表： x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 y1       - - 0 - - y2       4 y3 - - 0 - -       y4 4       画出的函数图象如图所示. (2)这些函数图象之间能通过平移得到吗？若能，说出一种平移方法. 解　因为这些函数中，二次项系数相同，所以其图象的形状、开口方向都相同，所以可通过平移得到. 平移方法不唯一，例如：把抛物线y1向上平移4个单位长度，则得到抛物线y2；把抛物线y1向左平移3个单位长度，则得到抛物线y3；把抛物线y1先向左平移3个单位长度再向上平移4个单位长度，则得到抛物线y4. 反思感悟 抛物线的平移有两种类型，一种是上下平移，平移规律为“上加下减”；一种是左右平移，平移规律为“左加右减”，如图所示. 跟踪训练1　(1)将抛物线y=-2(x-1)2+3先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数解析式是 A.y=-2(x+3)2-2 B.y=-2(x+3)2+8 C.y=-2(x-5)2-2 D.y=-2(x-5)2+8 解析　按照“左加右减，上加下减”的规律，向左平移4个单位长度，得到抛物线y=-2(x+3)2+3， 再向下平移5个单位长度，得到抛物线y=-2(x+3)2+3-5=-2(x+3)2-2. 故所得抛物线的解析式是y=-2(x+3)2-2. √ (2)将抛物线y=4(x-1)2+5通过平移后，得到抛物线的解析式为y=4(x+1)2+2，则平移的方向和距离是 A.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 √ 解析　抛物线y=4(x-1)2+5的顶点坐标为(1，5)，抛物线y=4(x+1)2+2的顶点坐标为(-1，2)， 而点(1，5)向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度可得到(-1，2)， 所以抛物线y=4(x-1)2+5向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线y=4(x+1)2+2. 二、 二次函数y=a(x-h)2+k的性质 知识梳理 根据二次函数y=a(x-h)2+k的图象，即可得到二次函数y=a(x-h)2+k的性质，如表. a的符号 a>0 a<0 增减性 当x<h时，y随x的增大而 ； 当x>h时，y随x的增大而______ 当x<h时，y随x的增大而 ； 当x>h时，y随x的增大而_____ 最值 当x=h时，y有最 值，y最小值=__ 当x=h时，y有最 值，y最大值=___ 减小 增大 增大 减小 小 k 大 k 例2　下列关于抛物线y=-(x+1)2+4的判断中，错误的是 A.形状与抛物线y=-x2相同 B.对称轴是直线x=-1 C.当x>-2时，y随x的增大而减小 D.当-3<x<1时，y>0 √ 解析　A项，因为y=-(x+1)2+4与y=-x2中二次项系数都是-1，所以抛物线y=-(x+1)2+4形状与y=-x2相同，正确，不符合题意； B项，抛物线y=-(x+1)2+4的对称轴为直线x=-1，正确，不符合题意； C项，对于抛物线y=-(x+1)2+4，由于a=-1<0，当x>-1时，函数值y随x值的增大而减小，错误，符合题意； D项，抛物线y=-(x+1)2+4=-(x+3)(x-1)，a=-1<0，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为(-3，0)，(1，0)，所以当-3<x<1时，y>0，正确，不符合题意. 反思感悟 在根据二次函数的图象解决有关二次函数性质的问题时，要注意运用数形结合的思想，为此要先画出草图(所谓的草图就是图象画的不一定准确，只要能反映函数图象的大致特征即可)，然后对照草图进行分析，既能快速得到答案或解题思路，还能有效地减小失误. 跟踪训练2　(1)关于二次函数y=-(x-2)2+3，以下说法正确的是 A.当x>-2时，y随x的增大而减小 B.当x>-2时，y随x的增大而增大 C.当x>2时，y随x的增大而减小 D.当x>2时，y随x的增大而增大 解析　∵抛物线的解析式为y=-(x-2)2+3， ∴该抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下， ∴当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增大而减小. √ (2)一条抛物线由抛物线y=2x2平移得到，对称轴为直线x=-1，并且经过点(1，1). ①求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标； 解　设所求抛物线为y=2(x+1)2+k，由该抛物线过点(1，1)，得 1=2×(1+1)2+k， 解得k=-7， ∴所求抛物线的解析式为y=2(x+1)2-7. 顶点坐标是(-1，-7). (2)一条抛物线由抛物线y=2x2平移得到，对称轴为直线x=-1，并且经过点(1，1). ②该抛物线可以由抛物线y=2x2经过怎样平移得到？ 解　y=2(x+1)2-7可以由抛物线y=2x2向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度得到. 三、 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质的实际应用 例3　(课本P41例2)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，水管的长应为多少？ 解　如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 点(1.6，3)是图中这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 y=a(x-1.6)2+3(0≤x≤3.6). 例3　(课本P41例2)要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，水管的长应为多少？ 解　由这段抛物线经过点(3.6，0)，可得0=a(3.6-1.6)2+3. 解得a=-. 因此y=-(x-1.6)2+3(0≤x≤3.6). 当x=0时，y=1.08，也就是说，水管的长应为1.08 m. 跟踪训练3　某拱桥为抛物线形，当此拱桥的拱顶离水面2 m时，水面宽为4 m.以现有水平面的水平直线为x轴，现有水平面与抛物线形拱桥左边交点为原点建立平面直角坐标系. (1)如图1， ①求此拱桥所在抛物线解析式(无需写自变量取值范围)； 解　由题意得，抛物线经过点(0，0)，顶点为(2，2)， 设抛物线解析式为y=a+2，把(0，0)代入，得a+2=0， 解得a=-， ∴抛物线的解析式为y=-+2. ②若水面下降1 m，水面宽度增加多少米？ 解　当y=-1时，-+2=-1， 解得x1=2+，x2=2-， ∴此时水面宽度为2+-=2(m)， ∵原先水面宽度为4 m， ∴水面宽度增加m. (2)如图2，为保证行船安全，在汛期来临之前，管理部门需要在此拱桥内部用一定长度的钢板搭建一个可调节大小的矩形“安全架”.露出水平面的部分为AD-DC-CB，使点C，D在抛物线上，点A，B在现有水平面所在直线上(A，B在x轴上)，当A，B的间距不少于2 m时，则AD+DC+CB的最大长度为　　　　，此时点D的坐标为　　　　　.  解　∵y=-+2=-x2+2x， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， 设D，则C， 由题意得，AB=CD=4-2n≥2， 解得0<n≤1， ∴AD+DC+CB=2+4-2n=-n2+2n+4=-+5， ∵-1<0，0<n≤1， ∴当n=1时，AD+DC+CB的长度最大，最大值为5，此时D. 即AD+DC+CB的最大长度为5 m. 课堂小结 1.抛物线y=-2(x+1)2-6的顶点坐标为 A.(-1，6) B.(1，-6) C.(1，6) D.(-1，-6) 随堂演练 √ 2.二次函数y=2(x+2)2-1的图象是 随堂演练 解析　∵a=2>0，∴抛物线开口方向向上. ∵二次函数解析式为y=2(x+2)2-1， ∴顶点坐标为(-2，-1)，对称轴为直线x=-2，故选项C符合题意. √ 3.已知函数y=(x-1)2+3，若y随x的增大而减小，则x的取值范围为 A.x>1 B.x>0 C.x<3 D.x<1 随堂演练 解析　在y=(x-1)2+3中， ∵a=1>0， ∴函数图象开口向上， 当x<1时，y随x的增大而减小. √ 4.如果将抛物线y=x2+1向右平移3个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是　　　 .  随堂演练 y=(x-3)2+1 5.已知二次函数y=(x-2)2+1，若点A(0，y1)和B(1，y2)在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是y1　　　　y2.(填“>”“<”或“=”)  随堂演练 > 解析　∵点A(0，y1)，B(1，y2)是二次函数y=(x-2)2+1图象上的两点， ∴y1=5，y2=2. ∴y1>y2. 谢谢观看 $