上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

华东师大二附中2024学年第二学期期末考试卷高一数学 （考试时间：120分钟 卷面满分：150分） 一、填空题（共54分，1-6题每题4分，7-12每题5分） 1. 已知是第四象限的角，则点在第______象限． 2. 若复数z满足，则z的虚部为______． 3. 已知，则______．（数字作答） 4. 记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了______项. 5. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量为______． 6. 已知等比数列中，，则等比数列的公比______． 7. 已知向量，，若，则实数的取值范围是_____． 8. 已知方程的两个虚根为、，且，则实数_____． 9. 已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则______． 10. 正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为__________． 11. 如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是________． 12. 已知正项数列的前项和为，满足，则数列的通项公式为______． 二、选择题（共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分） 13. 已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 14. 下列说法错误的是（ ） A. 已知复数，若，则 B. 已知复数，若，则 C. 若，则与共线 D. 若，则 15. 设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（　　） A. B. C. D. 16. 设函数，其中、、、为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（共78分） 17. 已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． （1）求实数m； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间． 19. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 20. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． （1）延长交于点Q（图1），求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 21. 若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为． （1）若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列； （2）若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比； （3）若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由． 华东师大二附中2024学年第二学期期末考试卷高一数学 （考试时间：120分钟 卷面满分：150分） 一、填空题（共54分，1-6题每题4分，7-12每题5分） 【1题答案】 【答案】二 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】3 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】2或 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】2025 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（共78分） 【17题答案】 【答案】（1） （2）． 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）， （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） （i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （ii）. 【21题答案】 【答案】（1）有且只有一个常值“配对和”数列：； （2）1 （3） 由题意，此时，由于改变各项顺序不影响“配对和”数列的存在与否， 故不妨设的各项按照从小到大顺序依次为：． 注意到数列的任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和． 因此，若假设存在两个“配对和”数列和， 使得和分别是数列的前3项和后3项， 那么数列的各项之和为0，又数列的各项均非零，故． 由于数列和构成数列，所以存在． 因为此时是数列中最小的项，故且； 同理，存在，其中且． 由此可知，数列的大小排序为： 因为数列和的各项之和均为0，则有下面几种可能情况： 1．一组：由于，故只能写成中的某两个和， 则中的某一个，剩余两个和这与矛盾！ 2．一组：矛盾理由与情况1同理！ 3．一组：则只能， 由于可得， 而，故，故，矛盾； 同理：不能一组，故可得不能一组！ 同理：不能一组！ 而显然不能一组：如不然，则这与矛盾！ 同理：也显然不能一组！ 则可能情况只能还有以下两种可能： 4．一组：则，作差得矛盾！ 5．一组：由于，那么要由两两配对相加得到，这是不可能的，矛盾！ 因此各项非零的数列不存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $