上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

华东师大二附中2024学年第二学期期末考试卷高一数学

（考试时间：120分钟  卷面满分：150分）

一、填空题（共54分，1-6题每题4分，7-12每题5分）

1. 已知是第四象限的角，则点在第______象限．

2. 若复数z满足，则z的虚部为______．

3. 已知，则______．（数字作答）

4. 记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了______项.

5. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量为______．

6. 已知等比数列中，，则等比数列的公比______．

7. 已知向量，，若，则实数的取值范围是_____．

8. 已知方程的两个虚根为、，且，则实数_____．

9. 已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则______．

10. 正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点．点为平面上一点，满足，则的最小值为__________．

11. 如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是________．

12. 已知正项数列的前项和为，满足，则数列的通项公式为______．

二、选择题（共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）

13. 已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（   ）

A.  B.  C.  D.

14. 下列说法错误的是（   ）

A. 已知复数，若，则 B. 已知复数，若，则

C. 若，则与共线 D. 若，则

15. 设均是非零向量，且，若关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围为（　　）

A.  B.  C.  D.

16. 设函数，其中、、、为已知实常数，，有下列四个命题：（1）若，则对任意实数恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则（）；则上述命题中，正确的个数是（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

三、解答题（共78分）

17. 已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数．

（1）求实数m；

（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值．

18. 已知函数的最小正周期为．

（1）求的值；

（2）求函数的单调递减区间．

19. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上.

（1）求和的通项公式；

（2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和.

20. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点．

（1）延长交于点Q（图1），求的值；

（2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，．

（i）求证为定值；

（ii）设的面积为，的面积为，求的最小值．

21. 若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为