26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2\)的图象和性质，系统梳理抛物线特征、\(a\)的符号与大小对开口方向、宽窄及增减性的影响等核心知识点。课堂导入从特殊到一般，通过描点法绘制\(y=x^2\)等具体函数图象，结合问题链引导探究自变量取值、对称性等，为后续学习复杂二次函数搭建认知支架。 其亮点是以探究活动为主线，通过合作讨论、列表描点培养几何直观（数学眼光），对比\(a>0\)与\(a<0\)的性质形成推理意识（数学思维），用表格归纳性质强化模型意识（数学语言）。包含易错点总结和中考链接，助力学生夯实基础，教师可直接用于分层教学，提升课堂效率。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月13日 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 函数基本特征 $$y=ax^2(a eq0)$$是最简二次函数，无一次项和常数项，图像是抛物线，且抛物线始终经过坐标原点$$(0,0)$$，对称轴为y轴（直线x=0），顶点为坐标原点，是抛物线的最高点或最低点。 2. a的符号决定开口方向与最值 当$$a>0$$时，抛物线开口向上，顶点是最低点，当$$x=0$$时，函数有最小值$$y=0$$；在对称轴左侧（$$x<0$$）y随x增大而减小，右侧（$$x>0$$）y随x增大而增大。 当$$a<0$$时，抛物线开口向下，顶点是最高点，当$$x=0$$时，函数有最大值$$y=0$$；在对称轴左侧（$$x<0$$）y随x增大而增大，右侧（$$x>0$$）y随x增大而减小。 3. a的大小决定开口宽窄 $$|a|$$越大，抛物线开口越窄、图像越陡；$$|a|$$越小，抛物线开口越宽、图像越平缓，与a的正负无关。 4. 奇偶性特征 函数$$y=ax^2$$是偶函数，满足$$x$$与$$-x$$对应的函数值相等，图像关于y轴对称。 二、基础巩固习题 （一）选择题 1. 对于二次函数$$y=3x^2$$，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是x轴 C. 当x=0时，y有最小值0 D. y随x增大而增大 2. 下列抛物线中，开口最宽的是（ ） A. $$y=5x^2$$ B. $$y=\frac{1}{2}x^2$$ C. $$y=-4x^2$$ D. $$y=-x^2$$ （二）填空题 3. 二次函数$$y=-2x^2$$的开口方向是________，顶点坐标是________，对称轴是________。 4. 已知函数$$y=ax^2$$的图像开口向上，则a的取值范围是________。 三、综合提升习题 （三）解答题 5. 已知二次函数$$y=ax^2$$经过点$$(2, -8)$$。 （1）求该函数的解析式；（2）判断函数的开口方向、最值及增减性。 6. 已知点$$A(-3,y_1)$$、$$B(2,y_2)$$都在抛物线$$y=4x^2$$上，比较$$y_1、y_2$$的大小。 四、参考答案与详细解析 1. C 解析：$$a=3>0$$，开口向上，对称轴为y轴，顶点为最低点，最小值为0；增减性分左右两侧，并非全程递增。 2. B 解析：开口宽窄由$$|a|$$决定，$$|\frac{1}{2}|$$最小，因此开口最宽。 3. 向下；$$(0,0)$$；y轴（直线x=0） 解析：$$a=-2<0$$开口向下，$$y=ax^2$$型函数顶点、对称轴为固定特征。 4. $$a>0$$ 解析：a大于0，抛物线开口向上；a小于0，开口向下。 5. 解：（1）将$$x=2，y=-8$$代入$$y=ax^2$$，得$$4a=-8$$，解得$$a=-2$$，解析式为$$y=-2x^2$$；（2）$$a=-2<0$$，开口向下，顶点$$(0,0)$$为最高点，最大值为0；$$x<0$$时y随x增大而增大，$$x>0$$时y随x增大而减小。 6. 解：将两点代入解析式，$$y_1=4\times(-3)^2=36$$，$$y_2=4\times2^2=16$$，因此$$y_1>y_2$$。也可利用对称性：$$|-3|>|2|$$，开口向上，横坐标绝对值越大，函数值越大。 五、本节易错点总结 1. 混淆增减性：$$y=ax^2$$的增减性必须分对称轴左右两侧讨论，不能笼统说递增或递减； 2. 开口宽窄只看$$|a|$$，与a的正负无关，正负仅决定开口方向； 3. 函数最值仅在x=0处取得，开口向上有最小值，开口向下有最大值，无自变量范围限制时无其他最值。 学习目标 1.正确理解抛物线的有关概念；（重点） 2.会用描点法画出二次函数 y = ax² 的图象，概括图象的特点；（难点） 3.掌握二次函数 y = ax² 的图象和性质，并会应用. （难点） 学习目标 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 问题1：二次函数 y = ax² + bx + c 定义中系数 a≠0， b、c 呢？ 都可以为 0 最特殊： y = ax² (a≠0) 从特殊到一般 y = ax² + bx + c (a≠0) 问题2：怎么研究 y = ax² (a≠0) 的图象和性质？ a 的具体数值 从特殊到一般 y = ax² (a≠0) 操作与思考：画出 y = x2 的图象，并观察图象的特征. 探究1：从函数解析式研究图象和性质. (1) 自变量 x 的取值范围是什么？ (2) 函数值 y 的取值范围是什么？ (3) 根据 x 取一对相反数时，函数值相等吗？ 可以猜测图象的对称性吗？ 全体实数 ( y≥0 ) 相等. 如： x =±2 时， y = 4. 猜想：关于 y 轴对称. 如： (2，4) 与 (-2，4) 等. 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 探究2：用“描点法”法作图 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以取任意实数. 列表表示几组对应值： 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 2 4 -2 -4 O 2 4 6 x y 2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y). 3. 连线：如图，再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．(能用直线连接吗？) 同学们展示下自己的结果，并交流下做法？ 8 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 思考：二次函数 y = x2 的图象有什么特征？ (可以从以下几个方面考虑) (1) 你能描述图象的形状吗？ (2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 请你找出几对对称点，并与同伴进行交流. (3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？ 当 x＞0 时呢？ (4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？ 你是如何知道的？ 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 (1) 你能描述图象的形状吗？ 类似 抛物线 y = x2 2 4 -2 -4 O 2 4 6 x y 8 二次函数 y =x2 的图象是一条曲线，形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫作抛物线 y = x2. 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 2 4 -2 -4 O 2 4 6 x y 8 (2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 请你找出几对对称点，并与同伴进行交流. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是它的对称轴. 图象是轴对称图形 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 (3) 当 x＜0 时，随着 x 值的增大，y 的值如何变化？ 当 x＞0 时呢？ 观察图象可以发现： 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大. 1 2 -2 O -1 1 4 x y (-2，4) (-1，1) (2，4) (1，1) 3 2 y = x2 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 (4) 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？ 你是如何知道的？ 对称轴与抛物线的交点叫作抛物线的顶点，它是抛物线的最低点，为 (0，0). 1 2 -2 O -1 1 4 x y 3 2 顶点 y = x2 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 解：列表如下： x ··· −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 y = ，y = 2x2 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 O -2 2 2 4 6 4 -4 8 描点、连线，如图所示： x y y = 2x2 思考：(1) 函数 ，y = 2x2 的图象与函数 y = x2 的图象相 比，有什么共同点和不同点？ 【想一想】 y = 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 点击视频开始播放 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 共同点：是开口向上，对称轴是 y 轴， 顶点是原点，也是抛物线的最低点； 不同点：是开口大小不同. (2) 当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？ 当 a＞0 时，a 越大，开口越小. O -2 2 2 4 6 4 -4 8 x y y = 2x2 y = x2 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 y＝ax2 a > 0 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 开口向上 a 越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0 顶点坐标是原点(0，0) 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x < 0 时，y 随 x 增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 增大而增大. 【归纳总结】 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 【练一练】 1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点； 在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ， 在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 ； 点 A(2，y1) 在抛物线上，则 y1 = ________. 点 B(3，36) 关于对称轴的对称点的坐标是_________. 向上 y 轴 (0，0) 低 减小 增大 (−3，36) 16 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 【链接中考】 1.已知抛物线 y = ax2 (a＞0) 过点 A(-2，y1)，B(1，y2) 两点，则下列关系式一定正确的是 ( ) A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1 C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0 C 探究点1： 二次函数 y = ax2 (a>0) 的图象与性质 y＝ax2 a ＜ 0 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 小组讨论，如何归纳总结出下表？ 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 【合作探究】 (1) 在同一直角坐标系中，画出函数 y= -2x2 观察图象，思考这些抛物线有什么相同点和不同点？ 【想一想】 y = -x2， y = ， 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 当 a＜0 时，a 越小，抛物线的开口越小. 共同点是开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点； 不同点是开口大小不同. (2) 当 a＜0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？ −2 2 -2 -4 -6 4 −4 -8 x y y = -2x2 O y = -x2 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 问题：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？ y 2 4 -2 -4 O -2 -4 -6 x (2，−4) (−2，−4) (3，−9) (−3，−9) y = -x2 -8 观察图象可以发现： 当 x＜0 时， y 随 x 的增大而增大； 当 x＞0 时， y 随 x 的增大而减小. 顶点是抛物线的最高点，为 (0，0). 顶点 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 【归纳总结】 y＝ax2 a＜0 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 开口向下 当 x = 0 时，y最大值 = 0 a 越小，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0 顶点坐标是原点(0，0) 当 x < 0 时，y 随 x 增大而增大；当 x > 0 时，y 随 x 增大而减小. 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 观察下列图象，抛物线 y = ax2 与 y = −ax2 (a＞0) 的关系是什么？ 二次项系数互为相反数时， 开口方向相反，开口大小相同，它们关于 x 轴对称. x y O y = ax2 y = −ax2 【想一想】 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 分析：(1)将 x = -2，3 分别代入 y = 2x2，得出 y1，y2 的值，再比较大小. 例2 已知二次函数 y＝ax2. (1) 若 a = 2，点(−2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)； ＜ (2) 若 a＞0，点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2 (填“> ”“＝”或“< ”)； ＜ (2)根据 a＞0，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大得出结论. 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 (3) 若 a＜0，点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________. y1＞y2＞y3 (3)画出草图，在图象上标出 y1，y2，y3，直观得出结论. 探究点2： 二次函数 y = ax2 (a＜0) 的图象与性质 知识点1 二次函数 的图象 1. 关于二次函数 的图象，下列说法错 误的是( ) C A. 它是一条抛物线 B. 它的开口向上，且关于 轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它与的图象关于 轴对称 中考考法 27 【点拨】的图象是一条抛物线，开口向上，关于 轴 对称，顶点是抛物线的最低点，它与的图象关于 轴对称，故C错误，符合题意. 中考考法 28 2. 二次函数与一次函数 在同一坐标系中 的大致图象可能是( ) D A. B. C. D. 中考考法 29 （第3题） 3. 如图所示，三个二次函数的图象分 别对应的是； ； ,则，， 的大小关系是 _____________. 中考考法 30 知识点2 二次函数 的性质 4. 若点,都在二次函数 的图象上， 则( ) C A. B. C. D. 中考考法 31 （第5题） 5. 如图，正方形的边长为4,以正方形的中 心为原点建立平面直角坐标系，作出二次 函数与 的图象，则阴影 部分的面积是( ) C A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 中考考法 32 6. 已知二次函数，当时， 随的增大而减小，则实数 的值可能是_________________. （写出一个即可） 0（答案不唯一） 7.[2026合肥模拟] 已知抛物线，当时， 的 取值范围是__________. 中考考法 33 8.已知是二次函数，且当时，随 的增大而增大. （1）求 的值，并画出它的图象； 【解】根据题意，得 解得或 （舍去）. 中考考法 34 二次函数的解析式为 ，其图象如图所示. 中考考法 35 （2）写出该函数图象的对称轴和顶点坐标； 该函数图象的对称轴为轴，顶点坐标为 . （3）如果点 是此二次函数图象上的一点，若 ，求 的取值范围. 点是此二次函数图象上的一点，且 ， 当时， ; 当时， . 当时，或 . 中考考法 36 二次函数 y = ax2 的图象及性质 画法 描点法 在对称轴两侧对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4 个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂小结 $