《直角三角形》复习检测卷-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（湘教版2024）

数理极 因为AF平分∠BAC, 所以∠BAP=子∠BAC=80-∠C 由对顶角相等，得 ∠DEF=∠AEB=180°-∠B-∠BAF =180°-（∠C+20°）-(80°-∠C) =80°. 因为FD⊥BC,所以∠EDF=90°， 所以∠F=180°-∠EDF-∠DEF=10°. 8.C;9.100°；10.A;11.C;12.3; 13.40°或100°. 14.证明：(1)因为AD平分∠BAC, 所以∠CAD=∠EAD 因为DE∥AC, 所以∠ADE=∠CAD, 所以∠ADE=∠EAD, 因为AD⊥BD, 所以∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°， 所以∠EAD+∠ABD=180°-∠ADB=90°， 所以∠BDE=∠ABD, 所以DE=BE,即△BDE是等腰三角形 (2)因为CD∥AB, 所以∠CDA=∠EAD=∠EDA. 「∠CDA=∠EDA, 在△4C和A4D中D0 ∠CAD=∠EAD, 所以△ACD兰△AED(ASA), 所以CD=ED,所以CD=BE. 15.5. 16.证明：因为△ABC为等边三角形， 所以AC=BC,∠B=∠ACB=60° 因为AD∥BC,所以∠DAC=∠ACB=60°=∠B. AD BE, 在△DAC和△EBC中，{∠DAC=∠B, AC BC, 所以△DAC≌△EBC(SAS), 所以DC=EC,∠ACD=∠BCE, 所以∠ECD=∠ACD+∠ACE =∠BCE+∠ACE =∠ACB=60°， 所以△DEC为等边三角形 17.B;18.40° 19.证明：因为∠EBC=∠A+∠ACB=∠BCE, 所以CE=BE.所以点E在BC的垂直平分线上， 20.D;21.A;22.C;23.B. 24.解：△ADE兰△CAB.理由如下： 因为∠DCE=∠CED,所以CD=DE. 因为AB=CD,所以AB=DE. rAE CB, 在△ADE和△CAB中，{DE=AB, AD CA, 所以△ADE≌△CAB(SSS). 《三角形》复习检测卷 一、选择题 题号 2 3 6 8 10 答案 C C B B C D C 二、填空题 11.三角形的稳定性；12.5；13.30°；14.20， 20; 15.10°；16.150°；17.5；18.70. 三、解答题 19.图略. 20.证明：因为∠ACD=120°，∠A=60°， 所以∠B=∠ACD-∠A=60°， ∠ACB=180°-∠ACD=60°， 所以△ABC是等边三角形 参考答案 21.解：因为∠BAC=68°， AE是△ABC的角平分线， 所以∠CME=∠BMC=34 因为∠ACD=116°， 所以∠AEC=∠ACD-∠CAE=82°. 22.解：过点F作FG⊥AB于点G,图略， 所以∠AGF=∠EDC=90°， FG=BE=20米，BG=EF=1米 因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°. 因为∠1+∠ECD=90°， 所以∠2=∠ECD. ∠AGF=∠EDC, 在△AFG和△ECD中，{FG=CD, C∠2=∠ECD, 所以△AFG≌△ECD(ASA), 所以AG=ED=BD-BE=38米， 所以AB=AG+BG=39米 答：单元楼AB的高为39米. 23.证明：(1)因为∠A=∠ADE,所以DE=AE. 因为BE是边AC上的中线，所以AE=CE. 因为BD=CE,所以BD=DE, 所以点D在BE的垂直平分线上 (2)因为BD=DE,所以∠ABE=∠DEB, 所以∠A ∠ADE=∠ABE+∠DEB=2∠ABE, 所以∠BEC=∠A+∠ABE=3∠ABE. 24.解：(1)△BCM≌△ACN.理由如下： 因为CA=CB,BN=AM, 所以CA-AM=CB-BW,即CM=CN. .CM CN, 在△BCM和△ACN中，{∠C= ∠C, CB CA, 所以△BCM≌△ACN(SAS). (2)因为△BCM≌△ACN, 所以∠CBM=∠CAN. 因为AE=DE,所以∠EAD=∠EDA. 因为AG∥BC, 所以∠GAC=∠ACB=aX,∠ADB=∠DBC, 所以∠ADB=∠CAN, 所以∠BDE=∠ADB+∠EDA=∠CAN+∠EAD =180°-∠GAC=180°-a 25.(1)75°. (2)证明：在EB上截取EW=CE,连接CW,图略， 所以∠ECN=∠EWNC. 因为CF⊥AB,所以∠AEC=90°， 所以∠EC=之LAEC=45=∠E, ∠NAC+∠ACE=180°-∠AEC=90, 因为∠ACB=∠ACE+∠FCD=90°， 所以∠NAC=∠FCD. ∠ANC=∠F, 在△ACN和△CDF中，{∠NAC=∠FCD, AC CD. 所以△ACN≌△CDF(AAS), 所以AN=CF, 所以AN-EN=CF-CE,即AE=FE. 26.解：(1)过点P作PF∥AC交BC于点F,图略， 所以∠PFB=∠ACB,∠PFD=∠QCD,∠DPF= ∠Q. 因为点P和点Q同时出发，且速度相同， 所以BP=CQ 因为AB=AC,所以∠B=∠ACB, 所以∠B=∠PFB, 所以BP=PF, 所以PF=CQ ·∠PFD=∠QCD, 在△PFD和△QCD中，{PF=QC, ∠DPF=∠Q, 17 所以△PFD≌△QCD(ASA), 所以DP=D0=2PQ=5 (2)线段DE的长保持不变.理由如下： 当点P在线段AB上时， 由(1)得△PFD≌△QCD,PB=PF, 所以FD=CD. 因为PE上BC,所以EF=】BF, 所以DE=EF+FD=6F CF=1BC =3. 1 2 当点P在BA的延长线上时， 过点P作PG∥AC交BC的延长线于点G,图略， 所以∠G=∠QCD=∠ACB,∠DPG=∠Q. 因为AB=AC,所以∠B=∠ACB, 所以∠B=∠G,所以GP=BP 因为PE⊥BC,所以EG=2BG 因为BP=CQ,所以GP=CQ. ∠DPG=∠Q, 在△PGD和△QCD中，{GP=CQ, L∠G=∠QCD, 所以△PGD≌△QCD(ASA), 所以DG=DC, 所以DE=G-0c=8G-CG=8C=3 综上所述，线段DE的长保持不变 《直角三角形》专项练习 1.D;2.C;3.30°或150°； 4.B:5.A:6.A;7.D. 8.解：(1)当点P是边AC的中点时，△PBC的面积 为△ABC面积的一半.所以t=8. (2)根据题意，得AP=tcm, 则PC=(16-t)cm. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 BC =AB2 -AC2 12 cm. 在Rt△PCB中，由勾股定理，得 PC2+BC2=PB2,即(16-t)2+122=t2, 解得t=12.5. 所以当t的值为12.5时，AP=PB. 9.C;10.B;11.2;12.B:13.13m. 14.解：过点C作CE⊥AB于点E,图略. 因为∠BAC=60°，所以∠ACE=30°， 所以AB=之AC=2米 根据勾股定理，得CE=√AC-AE=25米. 因为∠BCA=75°， 所以∠BCE=∠BCA-∠ACE=45°， 所以∠B=45°，所以BE=CE=23米 根据勾股定理，得BC=√BE+CE=26米， 所以AB+BC=AE+BE+BC=(2+25+26) 米 答：电线杆未折断时的高度为(2+25+26)米 15.①②③：16.A. 17.证明：因为DE⊥AB,DF⊥AC, 所以∠E=∠DFC=90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 因为BD=CD,BE=CF, 所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), 所以DE=DF, 所以AD平分∠BAC. 《直角三角形》复习检测卷 一、选择题 题号 8 9 10 答案 B 18 二、填空题 11.4;12.直角；13.70°；14.45； 15.4;16.4;17.5cm;18.8. 三、解答题 19.解：因为AD是△ABC的中线，BC=20, 所以BD=DC=2BC=10. 因为AB=26,AD=24, 所以AB=AD2+BD2, 所以AD⊥BC, 所以AC=AB=26. 20.解：设AD=x 因为AD+AC=15,BD=10, 所以AC=15-x,AB=AD+BD=x+10. 在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5, 所以AB+BC2=AC2, 即(x+10)2+52=(15-x)2, 解得x=2, 所以AB=x+10=12. 21.证明：过点D作DN⊥BG,DK⊥AC,DM⊥BE, 垂足分别为点N,K,M,图略 因为BD,CD分别平分∠EBA,∠ECA, 所以DM=DN=DK, 所以AD平分∠GAC. 22.证明：因为DE⊥AB,DF⊥BC, 所以∠BED=∠CDF=90°. 在Rt△BED和Rt△CDF中， 因为BD=CF,BE=CD, 所以Rt△BED≌Rt△CDF(HL), 所以∠B=∠C, 所以AB=AC 23.解：(1)11+35,17； (2)如图1，连接AC.△ADC是直角三角形，△ABC 是等腰三角形.理由如下： D B 图1 由勾股定理，得AC=√32+4=5. 因为BC=5,所以△ABC是等腰三角形. 因为AD=√5，CD=25,所以AD2+CD=AC2, 所以△ADC是直角三角形 24.解：如图2. 北 AL东 B 图2 (1)出发3秒钟时，CC1=4×3=12(米)， BB1=3×3=9(米) 因为AC=40米，AB=30米， 所以AC1=AC-CC,=28米， AB1=AB-BB1=21米， 所以B,C1=√/AC+AB=35米>32米 答：出发3秒钟时，遥控信号不会相互干扰 (2)设出发t秒时，两赛车距A点的距离之和为35 米， 根据题意，得40-4t+30-3t=35. 解得t=5, 此时AC1=40-4×5=20(米)， AB,=30-3×5=15(米)， 所以C1B,=√AC+AB=25米<32米. 参考答案 答：当两赛车距A点的距离之和为35米时，遥控信 号将会相互干扰 25.(1)证明：如图3，过点A作 AD⊥BC于点D. 因为AB=AC,AD⊥BC, 所以BD=6C=2 由勾股定理，得AD=B D /AB2-BD2=4, 图3 所以AD=BC, 所以△ABC是“奇妙三角形” (2)解：因为AB边上的中线等于AB的一半， 所以以直角边上的中线情况分类讨论： 当AC边上的中线BD等于AC时， CD=之AC=5, 所以BC=BD-CD2=3. 当BC边上的中线AE等于BC时， AE-CE=AC,即BC2-(3BC=(2万)2， 解得BC=4. 综上所述，BC的长是3或4. 26.解：连接BD,过点C作CF⊥AB交AB的延长线 于点F,图略， 则∠BFC=90° 因为点E为AB的中点，DE⊥AB, 所以BD=AD,AE=BE. 因为∠DAB=30°， 所以∠DBE=∠DAB=30°， BD=AD=2DE=2√3， 所以AE=BE=√AD-DE=3. 因为BC2+BD2=12+(2√5)2=13=CD, 所以∠CBD=90°， 所以∠CBF=180°-∠DBE-∠CBD=60°， 所以∠BCF=30°， 1 所以BF= 所以EF=BE+BF=子 在Rt△BCF中，根据勾股定理，得 cF-/n-P 在Rt△CEF中，由勾股定理，得 CE=√EF+CF=√3. 八年级第一学期期末综合质量检测卷（一） 一、选择题 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 C B B 提示： 8.解：由题意可知：中间小正方形的边长为a-b, 因为海一个直角三角形的面积为b=了×8 =4 所以4×6+(a-6)2=25, 所以(a-b)2=25-16=9, 所以a-b=3. 9.解：在△ABC中，∠ACB=90°， 所以∠B+∠A=90° 因为∠B-∠A=10°， 所以∠A=40°，∠B=50°. 设∠ACD=x°，则∠CDF=(40+x)°， ∠ADC=180°-40°-x°=(140-x)°. 由折叠可知∠ADC=∠CDE,∠E=∠A=40° ①当∠DFE=∠E=40°时， 因为∠FDE+∠DFE+∠E=180°， 所以∠FDE=180°-40°-40°=100°， 数理极 所以140-x=100+40+x, 解得x=0(不存在)； ②当∠FDE=∠E=40°时， 140-x=40+40+x, 解得x=30, : 即∠ACD=30°； 1 ③当∠DFE=∠FDE时， 因为∠FDE+∠DFE+∠E=180°， ∠FDE=180°，40°=70， 2 所以140-x=70+40+x, 解得x=15, 1 即∠ACD=15° 综上，∠ACD的度数是15°或30°. 10.解：如图1，过点E作EN⊥ BM,垂足为点N. B 因为∠AOB=∠ABE=∠BNE =90°， 所以∠ABO+∠BAO=∠ABO +∠NBE=90°， M 图1 所以∠BAO=∠NBE. 因为△ABE,△BFO均为等腰直角三角形， 所以AB=BE,BF=BO. 在△ABO与△BEN中， :| ∠BAO=∠EBN, ∠AOB=∠BNE, AB BE, : 所以△ABO≌△BEN(AAS), 所以BO=NE,BN=AO. 因为BO=BF, 所以BF=NE. 1 ∠FBP=∠ENP, 在△BPF与△NPE中，{∠FPB= ∠EPN, : BF NE. : 1 所以△BPF≌NPE(AAS), 1 所以BP=NP=2BN 而BN=AO, : 所以BP=A0=×4=2 二、填空题 11.真；12.22；13.4；14.8； 15. <; 16.72米；17.110；18. 提示： 16.解：设原计划每天改造管网x米，则实际施工时 每天改造管网(1+20%)x米 由题意得3600 3600 (1+20)% =10, 解得x=60, --- 经检验，x=60是原方程的解，且符合题意. 此时，60×(1+20%)=72（米）. 答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米 : 17.解：因为∠A=∠BCA,∠ABC=100°， 所以∠A=∠BCA=2(180°-100）=40°，4B= BC. 因为D为AC的中点， 所以BD⊥AC,所以∠BDC=90° 1 因为CE=CD,所以∠CDE=∠CED. 又因为∠BCD=∠CDE+∠CED=40°， 所以∠CDE=20°， 所以∠BDE=∠CDE+∠BDC=I10°. 18.解：如图2，过点P作PE⊥AD,垂足为点E. 因为P=DP,所以4E=子10=12(em). 在Rt△APE中，由勾股定理，得PE=AP2-AE =16(cm), 所以点P与点B之间的竖直距离为16+10=《直角三角形》复习检测卷 ◆数理报社试题研究中心 (答题时长120分钟，满分120分) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.若直角三角形的斜边长为12，则斜边上的中线长为( A.6 B.8 C.10 D.12 2.下列各组数中，是勾股数的是 ( A.2,2,2 B.0.3,0.4,0.5 C.5,12,13 D.9,12,13 3.如图1，OC平分∠A0B,D是0C上一点，DE⊥ OB于点E.若DE=7,则点D到OA的距离为 D 初 A.7 B.11 C.14 D.21 图1 学 4.已知一直角三角形，三边的平方和为800，则斜边长为( A.20 B.40 湘 C.400 D.不能确定 5.如图2，是一个外轮廓为矩形的机器零件 60 级 平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm),计算 两圆孔中心A和B的距离为 ( ) 150 60 A.80 mm B.100 mm 180 测 C.120 mm D.150 mm 图2 6.如图3，牧童在A处放牛，牧童家在B处， 河岸 A,B处距河岸DC的距离AC,BD的长分别为5 km和10km,且C,D两点的距离为8km,天黑前 牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧 B 童最少要走的距离为 ( ) 图3 A.15 km B.16 km C.17 km D.18 km 7.如图4，在四边形ABCD中，AB∥CD,BC⊥CD,BC=CD= 4D,则∠ADB的度数为 A.95 B.100° C.105° D.120° D 图4 图5 8.如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,E分别是AB,BC的 中点，延长AC到点F,使得CF=AC,连接EF.若EF=4,则AB的 长为 ( A.8 B.42 C.4 D.2 9.如图6，在△ABC中，BC=22,∠C=45°，若D是AC的三等 分点(AD>CD),且AB=BD,则AB的长为 A.2 B.5 C.3 0.2 图6 图7 10.如图7，在△ABC中，AB=20,AC=16,BC=12,∠BAC和 ∠ABC的平分线交于点D,连接CD,则CD的长为 ( A.42 B.4 C.2√2 D.2 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11.已知直角三角形中30°角所对的直角边为2，则除斜边的长为 12.在△ABC中，∠A=37°，∠B=53°，则△ABC为 角形（填“锐角”“直角”或“钝角”） 13.如图8，∠ACB=90°，∠A=20°，点D是AB的中点，则 ∠DCB的度数是 D 图8 图9 图10 14.如图9，已知∠A=90°，AC=AB=4,CD=2,BD=6,则 ∠ACD= 度 15.如图10，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，D是边AC上一 点，BD=2BC=4,则AD的长为 16.如图11，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB>AC,斜边BC的垂 直平分线交AB边于点E,交BC边于点D.若AC=3,BC=3I0, 则AE的长是 D' E B D B D D 图11 图12 图13 17.如图12，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿 长方体表面爬行到C'处，若长方体的长AB=4cm,宽BC=2cm,高 BB'=1cm,则蚂蚁爬行的最短路径长是 18.如图13，直角△ABC中，∠ACB=90°，从直角三角形两个锐 角顶点所引的中线的长AD=5,BE=√55，则斜边AB的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共66分） 19.(6分)如图14，AD是△ABC的中线，AD=24,AB=26,BC =20,求AC的长 D 图14 初中数学·湘教八年级复习检测 20.(6分)如图15，在Rt△ABC中，∠B=90°.已知BD=10,AD +AC=15且BC=5,求AB的长 D B 图15 ⑨ 21.(8分)如图16，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和 外角∠ECA,BD交AC于点F,连接AD.求证：AD平分∠GAC. D F 图16 初中数学·湘教八年级复习检测卷 22.(8分)如图17，点D在BC上，DE⊥AB于点E,DF⊥BC交 AC于点F,BD=CF,BE=CD.求证：AB=AC D 图17 23.(9分)如图18，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1,四边形ABCD的四个顶点都在格线的交点上.解答下列问题： (1)四边形ABCD的周长是 面积是 (2)连接AC,请判断△ADC和△ABC是什么特殊形状的三角 形？并说明理由. B 图18 24.(9分)小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A,小王的 赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车 从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图19）.已知赛车之 间的距离小于或等于32米时，遥控信号会相互干扰，AC=40米，AB =30米. (1)出发3秒钟时，遥控信号是否会相互干扰？ (2)当两赛车距A点的距离之和为35米时，遥控信号是否会相 互干扰？ 北 +东 图19 25.(10分)如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那 么我们称这个三角形为“奇妙三角形”. (1)如图20，在△ABC中，AB=AC=25,BC=4,求证：△ABC 是“奇妙三角形”； (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2√3，若△ABC是“奇妙三 角形”，求BC的长 图20 初中数学 26.(10分)如图21，在四边形ABCD中，∠DAB=30°，点E为 AB的中点，DE⊥AB,DE=√5，BC=1,CD=√3，求CE的长 D E 图21 ·湘教八年级复习检测卷 (参考答案见17~18版)