精品解析：山东济南西城实验中学2025-2026学年高一下学期6月阶段性学情质量监测数学试题

济南西城实验中学 高一阶段性学情质量监测数学试题 2026.6 注意事项： 1.答卷前，考生务必将二维码贴在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1. 若（i为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 一组数据的上四分位数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数据，，，的方差为25，则数据，，，的标准差为（ ） A. 25 B. 75 C. 15 D. 4. 某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（ ） A. 恰有1名同学是女生 B. 恰有两名同学是女生 C. 至少有1名同学是男生 D. 至少有1名同学是女生 5. 已知 ，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若 ， ， ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ，则 6. 在平行四边形ABCD中，和DF交于点 ，若，则（    ） A. B. C. D. 7. 已知 的内角 、 、 的对边分别为、 、 ，若面积，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱台的上､下底面积分别为3，12，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. 18 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则关于事件 与事件 ，下列说法正确的有（ ） A. 事件 与 可能相互独立 B. 事件 与 一定不互斥 C. D. 10. 对于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 若．则 B. 若，则与的夹角为钝角 C. ，则与可能垂直 D. 若，则 11. 如图，在长方体中，， ， ， 分别为棱，的中点，则（ ） A. ， ， ， 四点共面 B. 平面平面 C. 直线与 所成的角为 D. 平面 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 书架上有6本不同的教辅书，其中有2本是数学教辅书，从中任取2本，则没有取到数学教辅书的概率是______． 13. 设球在圆柱内，且圆柱的底面直径和高都等于该球的直径，则球与圆柱的体积之比是______. 14. 在锐角 中，角 的对边为，为 的面积，且，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求 ； （2）根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩； （3）用分层抽样的方法在这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在的概率． 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为， ， ，，且， （1）求的长度； （2）求 的面积； 17. 如图，已知平面，，， ，点E，F，G分别为棱 ，，的中点，点 是线段 上的一点. （1）求证：； （2）求证：平面； 18. 每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮胜出的概率； （2）若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 19. 如图①，在等腰直角 中，，， ， 分别是边， 上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面平面． （1）当 ， 分别是边， 的中点时； ①求证：平面平面 ②求二面角的正切值 （2）若点 与点 重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南西城实验中学 高一阶段性学情质量监测数学试题 2026.6 注意事项： 1.答卷前，考生务必将二维码贴在答题卡指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1. 若（i为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】化简求出复数 ，即可判断复数 在复平面内对应的点所在象限. 【详解】由可得：， 所以 对应的点在第一象限. 故选：A. 2. 一组数据的上四分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将数据按从小到大排列，然后根据百分位数相关知识求解出答案. 【详解】将数据按从小到大排列得10，12，14，15，17，19，23，27，31，35，共10个数据； ，根据百分位数定义，所以上四分位数是第8个数字，即27. 故选：C. 3. 已知数据，，，的方差为25，则数据，，，的标准差为（ ） A. 25 B. 75 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可. 【详解】因为数据，，，的方差为25， 所以另一组数据，，，的方差为， 故所求的标准差为. 故选：C 4. 某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（ ） A. 恰有1名同学是女生 B. 恰有两名同学是女生 C. 至少有1名同学是男生 D. 至少有1名同学是女生 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，结合对立事件的定义写出已知事件的对立事件，即可得. 【详解】由对立事件的定义知，与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是事件“3名同学全至少有1名男生”. 故选：C 5. 已知 ，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若 ， ， ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线面、面面平行与垂直的判定定理及性质，逐一判断即可． 【详解】对于A，若 ， ， ， ，若 与相交，则 ；若 ，则 ，或与相交，故A错误； 对于B，若 ， ，若 ，则 ；若 ，则与不平行，故B错误； 对于C，若 ， ， ，则与可能垂直、斜交或平行，故C错误； 对于D，若 ， ，则 ，故D正确． 6. 在平行四边形ABCD中，和DF交于点 ，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，结合平面向量的线性运算性质、平面向量基本定理进行求解即可. 【详解】设的中点为 ，连接 ， 因为，所以是 的中点，所以，且， 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以，且， 所以 又因为， 所以，因为， 所以，所以， 因为， 所以， 所以 . 故选：B 7. 已知 的内角 、 、 的对边分别为、 、 ，若面积，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角形面积公式与余弦定理建立关于角C的三角函数关系，再利用同角三角函数基本关系求解 . 【详解】根据三角形面积公式， 的面积 ， 由余弦定理得 . 由可得， 化简得  ， 两边平方得 ， 即 ， 整理得 ， 因为C为三角形内角，即，故 ，解得. 8. 已知正四棱台的上､下底面积分别为3，12，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. 18 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正四棱台的外接球球心必在上、下底面中心的连线上，由上、下底面边长确定，先分析正四棱台的外接球半径最小值就是下底面外接圆半径，从而可求棱台的高和侧面积. 【详解】因为正四棱台上下底均为正方形， 由上､下底面积分别为3，12，可得上､下底面正方形的边分别为， 上､下底面正方形的外接圆半径分别为和， 因为正四棱台的外接球半径一定大于或等于下底面正方形的外接圆半径， 所以正四棱台的外接球的半径最小值为，此时下底面中心即为外接球的球心. 则棱台的高， 再由勾股定理计算可得：， 所以再由勾股定理可得侧面梯形的斜高为：， 即一个侧面的梯形面积为， 则该四棱台的侧面积为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则关于事件 与事件 ，下列说法正确的有（ ） A. 事件 与 可能相互独立 B. 事件 与 一定不互斥 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据独立事件概率乘积公式判断A选项，根据互斥事件定义判断B选项，根据和的概率公式求解即可判断C选项，应用对立事件概率和为1判断D选项. 【详解】由，可知事件 与 不是相互独立事件，故A不正确； 由，可知事件 与 一定不互斥，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：BCD. 10. 对于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 若．则 B. 若，则与的夹角为钝角 C. ，则与可能垂直 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，利用等价于判断；对于B，利用向量数量积的定义判断；对于C，利用向量垂直的坐标计算，结合三角函数的性质判断；对于D，由向量数量积的运算律计算即可判断. 【详解】对于A，因等价于，由显然得不到，故A错误； 对于B，由可得与的夹角为钝角或平角，故B错误； 对于C，由可得，当时成立，此时与垂直，故C正确； 对于D，由，可得，即得，故D正确. 故选：CD. 11. 如图，在长方体中，， ， ， 分别为棱，的中点，则（ ） A. ， ， ， 四点共面 B. 平面平面 C. 直线与 所成的角为 D. 平面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线，是异面直线可判断A；根据面面垂直的判定定理可判断B；取的中点 ，可得三角形为等边三角形可判断C；取的中点 ，根据可判断D． 【详解】对于A中，直线，是异面直线，故 ， ， ， 四点不共面，故A错误； 对于B中，在长方体中，可得平面， 平面，所以平面平面，故B正确； 对于C中，取的中点 ，连接，，则， 所以直线与 所成的角为．， ， ，所以三角形为等边三角形， 所以，故C正确； 对于D中，取的中点 ，连接 ，则易得，因为平面， 显然与平面不平行，故D错误． 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 书架上有6本不同的教辅书，其中有2本是数学教辅书，从中任取2本，则没有取到数学教辅书的概率是______． 【答案】## 【解析】 【详解】记6本不同的教辅书为，其中代表2本数学教辅书， 则从中任取2本的情况为：， 共15种， 其中没有取到数学教辅书的情况为：共6种， 所以没有取到数学教辅书的概率为：. 13. 设球在圆柱内，且圆柱的底面直径和高都等于该球的直径，则球与圆柱的体积之比是______. 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为，则由题意可表示出圆柱的底面半径和高，从而利用球与圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设球的半径为，则由题意可得圆柱的底面半径为和高为， 所以球与圆柱的体积之比为. 故答案为：. 14. 在锐角 中，角 的对边为，为 的面积，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式得到，再通过正弦定理以及三角函数的转化得到，由三角函数性质可得结果. 【详解】由，则， 所以，即， 即，解得或（舍去），可得， ， 因为 是锐角三角形，则有，所以， ，，则，有， 由于, 所以，可得的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由 是锐角三角形，确定，由，得，从而可求的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 舟山某校组织全体学生参加了海洋文化知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，将数据按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求 ； （2）根据频率分布直方图，估计样本的平均成绩； （3）用分层抽样的方法在这两组学生内抽取5人，再从这5人中选2人进行问卷调查，求所选的两人恰好都在的概率． 【答案】（1）0.03 （2）84 （3） 【解析】 【分析】（1）由直方图矩形面积和为1可得 值； （2）由每组数据中点值乘以相应频率再相加可得； （3）确定5人中分别在两个区间的人数并编号，用列举法写出样本空间，然后由概率公式计算概率． 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知； 【小问2详解】 平均成绩为； 【小问3详解】 由题意得，两组人数比例为，所以组应抽取2人，记为，组应抽取3人，记为甲，乙，丙 对应的样本空间为：,( ,甲),( ,乙),( ,丙),( ,甲),( ,乙),( ,丙), (甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)，共10个样本点． 设事件“两人来于”， 则(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)，共有3个样本点． 所以． 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为， ， ，，且， （1）求的长度； （2）求 的面积； 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理得到，再联立，即可求解； （2）先由余弦定理求出，进而得到，再根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又因为，，解得，，， 所以的长度为4. 【小问2详解】 由（1）知，，， 在 中，由余弦定理得， 所以， 所以， 故 的面积为. 17. 如图，已知平面，，， ，点E，F，G分别为棱 ，，的中点，点 是线段 上的一点. （1）求证：； （2）求证：平面； 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由中位线、线面垂直的性质得 、，进而有，再应用线面垂直的判定和性质即可证结论； （2）根据已知点，再由线面、面面平行的判定定理证平面平面，最后由面面平行的性质即可证结论. 【小问1详解】 由 ，点E为棱 的中点，则 ， 由平面，平面，则， 而，则，且都在平面内， 所以平面，平面，则； 【小问2详解】 由点E，F，G分别为棱 ，，的中点，则， 由 平面， 平面，则平面， 同理可得平面，且都在平面内， 则平面平面，而平面，则平面. 18. 每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮胜出的概率； （2）若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【答案】（1） （2）① ，；② 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可； （2）①根据对立事件和独立事件的概率公式列方程，即可求解；②先根据独立事件的概率公式求“甲两轮都胜出”和“乙两轮都胜出”的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得，，，相互独立，且，，，． 记事件 “乙恰好有一轮胜出”，则，又互斥， 所以，当时， . 因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为. 【小问2详解】 ①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 则，解得，． ②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”， 事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ，， 19. 如图①，在等腰直角 中，，， ， 分别是边， 上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面平面． （1）当 ， 分别是边， 的中点时； ①求证：平面平面 ②求二面角的正切值 （2）若点 与点 重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值； 【答案】（1）①证明见解析 ；②； （2）. 【解析】 【分析】（1）①由已知得再根据面面垂直的性质、判定定理，即可证；②取 的中点 ，连接，根据已知及二面角定义得为二面角的平面角，进而求其正切值； （2）过P点作，垂足为H，应用正弦定理、三角形面积公式、棱锥的体积公式得，令，结合同角三角函数关系及相关函数性质求体积的最大值. 【小问1详解】 ①分别是边的中点，， 在等腰直角，则，即 因平面平面，平面平面，平面， 平面，平面， 平面平面； ②取 的中点 ，连接， 由①可知平面，平面，则， 由 是边的中点，，， ， 为 中点， ，平面， 平面，因平面，， 为二面角的平面角， 平面，平面， 在中， 所以二面角的正切值为. 【小问2详解】 过P点作，垂足为H，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 在中，由正弦定理，，则， ， ， 令， ，，则， ， 令，则函数在单调递增， 当时，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $