期末复习卷2025-2026学年数学七年级下册人教版

**基本信息** 本试卷以传统文化、科技生活为情境载体，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，考查实数、几何、方程不等式等核心知识，培养数学抽象与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|无理数判断、平行线性质、坐标系象限等|融入《数书九章》抽样问题（第4题），考查数据分析观念| |填空题|6题|不等式组解集、角度计算、规律探究等|设计机器人移动坐标规律（第16题），培养空间观念| |解答题|10题|方程组求解、统计分析、新定义应用等|综合新能源汽车销售方案（第22题）与“梦想解”新定义（第26题），提升运算能力与创新意识|

期末复习卷-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．下列各数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，可以判断（     ） A． B． C． D．与相交 3．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作．书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为（     ） A．150石 B．200石 C．240石 D．270石 5．“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自于太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．某一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使得此时接收的光能最多，那么太阳光板绕支点逆时针旋转的最小角度为（     ） A． B． C． D． 6．已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 7．已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．下列命题是真命题的是（     ） A．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到直线的距离 B．已知、是两个数，如果，那么 C．已知、、是同一平面内三条直线，如果、，那么 D．两条直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直 9．《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可以列出方程组为（     ） A． B． C． D． 10．对于任意实数a，b，定义新运算：，给出下列结论： ①； ②若，则； ③； ④若，则x的取值范围为．其中正确结论是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 二、填空题 11．已知关于x的不等式组的解集为，则的值是________． 12．如图，直线a、b被直线c所截，且，若，则的度数为__________． 13．如图，已知长方形，，，在其内部有三个小长方形，则这三个小长方形周长的和为_______． 14．已知两个形状完全相同的直角、，如图放置，点B、D重合，点F在上，与交于点G，，，现将图中的绕点G按每秒的速度沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为_____秒． 15．对于实数x，用表示不超过x的最大整数，如，，，． （1）________； （2）若，则满足条件的实数t的值是________． 16．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右→向下→向右→向上→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点，第次移动到点，则点的坐标是_____________． 三、解答题 17．计算：． 18．解下列二元一次方程组 (1)； (2)． 19．解不等式(组)，并将解集在数轴上作图表示 (1) (2) 20．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为． (1)求正数和的值； (2)求的平方根． 21．如图，，，求的度数，请把下列推理的过程和推理的依据补充完整． 解：∵_____（     ）， _____， 且（     ）， ∴_____， ∴（     ）， ∴（     ）， ∵， ∴_____． 22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，经了解，2辆A型汽车、3辆型汽车的进价共计60万元；4辆型汽车、1辆型汽车的进价共计70万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别是多少万元？ (2)公司计划用100万元购进以上两种型号的新能源汽车，两种型号的汽车都要购买．求该公司共有哪几种购买方案？ (3)销售一辆A型汽车可获利5500元，销售一辆B型汽车可获利4000元．在（2）中购买的新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 23．新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值均为16，则点是“优美点”． (1)判断点是否是“优美点”?说明理由； (2)若点是“优美点”，求的值； (3)已知点是“优美点”，过点作轴于点，点在线段上，且，求点的坐标． 24．某校为了解九年级学生每天参加体育锻炼的时间情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果分为、、、四个等级，并绘制了如下不完整的统计图表： 等级 每天锻炼时间（小时） 人数（人） A 30 B a C 36 D 6 根据图表信息，解答下列问题： (1)本次共调查了 名学生， ； (2)求出B等级所占的圆心角度数； (3)若该校九年级共有600名学生，请估计每天参加体育锻炼时间不低于小时的学生人数． 25．如图，点是直线上的一点，点是直线上的一点，点是直线之间的一点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点是直线、之间的另一点，连接、，若平分平分，．求的度数． 26．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式 ，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式 的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式_____的“梦想解”；（填序号） ①，②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为 ，试求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末复习卷-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A C A D C B B D 1．A 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，逐一判断各选项即可得到答案. 【详解】解：∵无理数的定义为无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，即有限小数和无限循环小数都属于有理数， 对各选项分析如下： 选项A：是无限不循环小数，属于无理数； 选项B： 是分数，属于有理数； 选项C： 是无限循环小数，属于有理数； 选项D： ， 是整数，属于有理数. 2．A 【分析】结合内错角相等，两直线平行进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行） 3．A 【分析】四个象限坐标符号特点为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，先根据点的位置判断的符号，再推导点横纵坐标的符号，即可判断所在象限． 【详解】解：∵ 点在第二象限 ∴， ∴ ∴点的横纵坐标符号为，符合第一象限点的坐标特征 ∴点在第一象限． 4．C 【分析】利用样本中谷的频率等于总体中谷的占比，列比例方程即可求解． 【详解】解：设这批米内夹谷约为石， ∵ 样本中谷的频率等于总体中谷的占比， ∴ ， 解得 ， ∴ 这批米内夹谷约为240石， 5．A 【分析】根据垂直的定义可知，当光线与太阳光板的夹角为时接收光能最多，结合图形中给出的角度，利用角的和差关系计算旋转角度即可． 【详解】解：∵要使接收的光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上， ∴光线与太阳光板的夹角应为， ∵由图可知，此时太阳光与太阳光板的夹角为， ∴太阳光板绕支点逆时针旋转的最小角度为：． 6．D 【分析】根据平方根、绝对值、立方根的定义分别求出，和的值，比较大小得到最大数和最小数，计算两者的差即可． 【详解】解：是的负平方根， ． ，， ，即 最大的实数是，最小的实数是， ． 7．C 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据解集中整数的个数确定整数解，进而推导参数a的取值范围． 【详解】解：解不等式得 ， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为： ， ∵解集中有且仅有3个整数， ∴满足条件的3个整数为， 由此可得的取值范围是：． 8．B 【分析】结合初中数学基础概念和性质，逐一分析每个选项即可． 【详解】解：对于选项A，∵点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，∴A是假命题； 对于选项B，∵，对等式两边平方得，即，∴B是真命题； 对于选项C，∵同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，∴若、，则，∴C是假命题； 对于选项D，∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角互补，此时同旁内角的平分线才互相垂直，任意两条直线被截时结论不成立，∴D是假命题． 9．B 【分析】根据题意可知每枚黄金重两，每枚白银重两，根据“甲袋原有9枚黄金，乙袋原有11枚白银，两袋重量相等”，得出第一个方程 ，交换1枚后，甲袋变为8枚黄金加1枚白银，总重量为，乙袋变为10枚白银加1枚黄金，总重量为，根据交换后甲袋比乙袋轻13两，即乙袋重量减去甲袋重量等于13，即可得第二个方程，据此即可建立方程组． 【详解】解：根据题意可得方程组． 10．D 【分析】根据新定义的分段运算规则分类讨论，逐一判断每个结论是否正确即可解答． 【详解】解：①，根据新定义可得，故①正确； ②若，分两种情况讨论： 当时，，符合条件； 当时，，解得，符合条件； 因此或，故②错误； ③当时，，，，故③错误； ④解不等式，分两种情况讨论： 当，即时， 不等式化为，解得， 结合，得此时解集为； 当，即时， 不等式化为，解得， 结合，得此时解集为； 综上，不等式的解集为，故④正确； 因此正确结论为①④． 11．1 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及代数式求值，先分别求解每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集得到关于、的方程，求出、的值后，代入计算即可得到结果． 【详解】解：解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ， ， ， 解得：， ． 12． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∴． 13．24 【详解】解：∵长方形，，，在其内部有三个小长方形， ∴这三个小长方形周长的和为． 14．或或 【分析】分三种情形讨论：当时，当时，当时，分别求出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 如图1，当时， ∵， ∴，此时旋转了， ∴； 如图2，当时， ∵当与重合时，， ∴，此时旋转了， ∴； 如图3，当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴旋转了， ∴； 综上所述，旋转时间为或或时，恰有一边与平行． 15． 1 /0.75 【分析】首先估算出的取值范围，根据新定义即可求解；根据的定义列出不等式组，结合为整数的性质即可求出的值． 【详解】解: （1）， ， 不超过的最大整数为，即； （2）根据的定义，可得对于任意实数，满足 ， 将，代入，得 解得不等式组的解集为 ． 是整数， 是整数． 设，其中为整数，则， 代入不等式，得 ， 解得 ． 为整数， ， ． 16． 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，先确定一个完整循环包含的移动次数以及每个循环结束后坐标的变化量，最后利用除法运算确定第2026次移动在循环中的位置，从而计算坐标． 【详解】解：第1次移动（向上）：， 第2次移动（向右）：， 第3次移动（向下）：， 第4次移动（向右）：， 第5次移动（向下）：， 第6次移动（向右）：， 第7次移动（向上）：， 第8次移动（向右）：， 观察发现，第8次移动后，机器人回到了轴上，且横坐标增加了， 接下来的第9次移动指令又是“向上”，与第1次相同， 因此，机器人的移动路线是以8次移动为一个循环周期， 在一个周期内，横坐标增加4，纵坐标最终回到0， 那么2026次移动后的坐标为：， 即机器人完成了253个完整的循环，又进行了2次移动， 个循环后，此时相当于点，此时的横坐标：，纵坐标为0， 从开始，按照前面循环移动的指令：向上→向右， 即，向上：， 向右：， 综上所述，的坐标为． 17． 【详解】解：原式 ． 18．(1) (2) 【详解】（1）解：， 将①代入②，得， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 19．(1) ，数轴表示如图 (2) 无解，数轴表示如图 【分析】（1）按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，再将解集表示在数轴上； （2）先分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，再表示在数轴上； 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 将解集表示在数轴上见答案； （2）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组无解， 将解集表示在数轴上见答案． 20．(1)， (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程，求出的值，再求出正数即可； （2）根据立方根的定义求出值，再代入代数式求平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的立方根为 ∴， 解得：， ∴，16的平方根为， ∴的平方根为． 21．解：∵（对顶角相等）， ， 且（已知）， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴． 【分析】根据平行线的判定与性质，以及对顶角相等补全过程即可． 【详解】略 22．(1)A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为10万元 (2)该公司有3种购买方案，分别是：A型汽车2辆，B型汽车7辆；A型汽车4辆，B型汽车4辆；A型汽车6辆，B型汽车1辆 (3)最大利润是39000元 【分析】（）设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解方程即可求解； （）设购买A型汽车辆，B型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （）利用总利润单辆利润销售车辆数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论； 【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元 由题意，得 ， 解得， 答：A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为10万元． （2）解：设购买A型汽车辆，B型汽车辆． 由题意，得， ， 为正整数， 或或． ∴该公司有3种购买方案，分别是： A型汽车2辆，B型汽车7辆； A型汽车4辆，B型汽车4辆； A型汽车6辆，B型汽车1辆． （3）解：当购买A型汽车2辆，B型汽车7辆时，获得的利润为： （元）； 当购买型汽车4辆，型汽车4辆时，获得的利润为： （元）． 当购买型汽车6辆，型汽车1辆时，获得的利润为： （元）． 答：最大利润是39000元． 23．(1)点不是“优美点”，理由： 过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长为，面积为， ∵， ∴点不是“优美点”； (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求出过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长和面积，比较即可得出结果； （2）根据“优美点”的定义可得，求解即可； （3）根据“优美点”的定义求出或，再分两种情况，结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵点是“优美点”， ∴， 整理可得， 解得或； （3）解：∵点是“优美点”， ∴， 解得或， ∴或， 当时，此时，设， ∴，，， ∵， ∴， 解得，此时； 当时，此时，设， ∴，，， ∵， ∴， 解得，此时， 综上所述，点的坐标为或． 24．(1)120，48 (2) (3)人 【分析】（1）运用D等级的人数除以百分比，得出调查的总人数，再列式计算求出B等级的人数，即可作答． （2）根据调查的总人数为人，B等级的人数为人，进行列式计算，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（人）， （人）， （2）解：依题意，B等级所占圆心角为． （3）解：依题意，每天锻炼时间不低于小时的学生人数为（人）， 故估计全校为（人）． 25．(1)证明：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）过点作，然后根据平行线的性质与判定可进行求解； （2）分别过点H、G作，则有，由角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分平分， ∴， 分别过点H、G作，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴． 26．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将方程的解直接代入各不等式验证，选出成立的序号即可； （2）先解方程组用含的式子表示，，再代入不等式组，解出的范围后取整数解； （3）先求出方程的解与不等式组的解集，再根据整数解的和确定整数解的范围，最后联立不等式求的取值范围． 【详解】（1）解：，解得，符合条件， 把代入①，可得左边，不成立； 把代入②，可得左边，左右两边相等，不成立； 把代入③，可得左边，成立， 故是方程和的“梦想解”． （2）解：已知， ，可得， 代入可得， 即二元一次方程组的解为， 二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 将代入， 可得， 解得， 为整数， 为或． （3）解： ，可得， 解不等式组，可得， 据题意可知，所有整数“梦想解”的和为， 整数“梦想解”为，，，，或，，，， 且，解得且， 综上的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $