期末考试能力提优卷2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 北师大版七年级下册数学期末提优卷，以历史情境（如唐朝事件不可能事件判断）、生活应用（如电费分档计费）、几何模型（如“猪蹄模型”角关系探究）为载体，融合代数运算、空间观念与推理能力，实现基础巩固与创新应用的梯度提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|整式运算、概率、几何图形判断|第3题结合容器注水折线图分析形状，考查空间观念| |填空题|8题|折叠角度计算、杨辉三角系数|第15题依据杨辉三角规律求二项式展开系数，体现抽象能力| |解答题|8题|全等构造、模型应用、统计概率|25题通过“猪蹄模型”递进探究角关系，26题延长中线构造全等，培养推理意识与创新应用|

2025-2026学年北师大版数学七年级下册期末考试能力提优卷 一、选择题 1．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．中华民族历经浩浩汤汤五千年璀璨历史，其中对民族发展和历史进程做出重要贡献的伟人多如繁星．若你穿越回唐朝，则以下哪一件是不可能事件（     ） A．从岭南为杨贵妃运送荔枝 B．与元稹、白居易参加科举考试，荣登三甲 C．与李太白金龟换酒、舞剑赋诗 D．和王安石共商国是，探讨青苗法、募役法 3．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，定点位于的内部，在射线和上分别确定点，，使最小，则点和点的位置应选在（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 5．如图，图中除外的三角形可以由翻折得到的个数为（     ）    A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，直线，点在上，连接，，且，，则（     ） A． B． C． D． 7．如图是小林同学一次立定跳远的示意图，小林从点起跳，落在点处，经测量，，那么小林实际的跳远成绩可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，小美站在河边的点A处，在河的对面（小美的正北方向）的B处有一电线塔，她想知道电线塔离她有多远，于是向正西方向走了40步到达一棵树C处，接着再向前走了40步到达D处，然后她左转90°直行，当看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，一共走了160步．如果小美一步大约，估计小美在点A处时与电线塔的距离为（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，长方形，，，交于点P，已知长方形的面积等于长方形的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（     ） A．长方形与长方形的面积之差 B．长方形与长方形的面积之差 C．长方形与长方形的面积之和 D．长方形与长方形的面积之和 二、填空题 11．化简：_____________． 12．如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样，假设飞镖击中任何一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次，则飞镖击中白色区域的概率是______． 13．将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数是_____．    14．如图，在中，，且，，点P是线段上一个动点由B向C以2移动，运动至点C停止，则的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为______． 15．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（，，， ，…）的展开式的系数规律（按 的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是_________． 16．一个角的余角比它的补角的还少，则这个角的度数为__________． 17．如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 18．如图，在四边形中，连接，平分，添加一个条件后，能证明的是________． 三、解答题 19．计算： (1)． (2) (3)； 20．解答 (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 21．如图是两个可以自由转动的转盘，其中图被平均分成等份，分别标有到这个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时重转）；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色（当指针恰好指在分界线上时重转），小明转动图的转盘，小亮转动图的转盘． (1)如图1，转到数字是______事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)小颖认为，小明转出来的数字不超过的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 22．为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费方式计算电费，电费按分档累进计算，即用电量在第一档范围内的部分按第一档单价计费，超出第一档但在第二档范围内的部分按第二档单价计费，以此类推．如表是家庭人口不超过5人的用户年用电量及分档计费标准（以年用电量为准计算电费）： 计费档 用户年用电量x（单位：度） 单价（单位：元/度） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某用户一年的电费是1430元，求该用户这一年的用电量． 23．如图，在正方形网格中有一个，且每个小正方形的长为1（其中点A，B，C均在格点上）． (1)作出关于直线l的轴对称图形； (2)在l上确定点P的位置，使得值最小，在图中体现点P的确定方法． 24．如图，直线与线段、直线交于点B、E，，点F为直线上一点（不与点B，E重合），连接，过点F作射线，交于点G（G与D不重合）．       (1)若点F在线段上，且为钝角． ①补全图；②若，求的度数． (2)若点F在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 25．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：； 【方法应用】 (2)如图2，若，，，则________． 【变式探究】 (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由： 【拓展延伸】 (4)如图4，若，的平分线和的平分线交于点，求出的度数． 26．问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A．     B．     C．      D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 参考答案 1．D 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂除法、多项式乘多项式的计算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，因此A错误； B、，因此B错误； C、，因此C错误； D、，故D正确． 2．D 【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，结合历史常识判断各事件能否在唐朝发生即可得到答案． 【详解】解：∵不可能事件是一定不会发生的事件，王安石是北宋时期人物，青苗法、募役法是北宋王安石变法的内容，不可能出现在唐朝， ∴ D选项描述的事件是不可能事件. 其余选项中，杨贵妃、元稹、白居易、李白均为唐代人物，对应的事件都可能在唐朝发生，不符合要求． 3．A 【分析】根据图象越陡峭速度越快进行分析即可． 【详解】解：∵最陡峭，次之，最平缓， ∴该容器顶部水面上升速度最快，中间段水面上升速度最慢， 只有A符合题意． 4．B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决最小值问题． 利用轴对称的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 利用网格找到点关于的对称点，连接，交于点，即为点， 点即为点，此时，，最小， 故选：B． 5．D 【分析】根据折叠的性质，进行判断即可. 【详解】解：以为对称轴，可以由翻折得到； 以为对称轴，可以由翻折得到； 以为对称轴，可以由翻折得到； 以为对称轴，可以由翻折得到； 以为对称轴，可以由翻折得到； 故可以由翻折得到的个数为5.    6．B 【分析】根据平行线的性质，由得出，进而求出的度数，再由利用同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．A 【分析】根据立定跳远成绩的测量规则，成绩应为落地点到起跳线的垂直距离，结合“垂线段最短”的性质进行判断． 【详解】解：∵立定跳远的成绩是测量落地点到起跳线的垂直距离， ∴小林的实际成绩是点到起跳线的垂线段长度． 又∵在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，且为斜线段， ∴实际成绩． ∵， ∴实际成绩小于． 观察选项，只有． 8．B 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据题意求出的步数并转化为长度，利用证明，根据全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】解：由题意可得，步， 的步数为步， 一步大约， ， 在与中， ， ， ， 即小美在点处时与电线塔的距离为． 9．C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 10．B 【分析】设，推出，即可. 【详解】解：由题意，可知，四边形均为长方形， 设， ∴， ∵ ； ∵长方形的面积等于长方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴只要知道长方形与长方形的面积之差，即可求出图中阴影部分的面积. 11． 【分析】先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 12． 【分析】先根据网格结构计算出大正方形的总面积，再计算出白色区域（四个直角三角形）的面积，最后计算白色区域面积与总面积的比值即可． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为， 则大正方形的总面积为 观察图形可知，白色区域分布在四个角，由个全等的直角三角形组成，每个直角三角形的两条直角边长分别为和， 白色区域的面积为 故飞镖击中白色区域的概率为． 13． 【分析】根据折叠的性质确定，根据得到，再根据即可求解． 【详解】解：如下图所示，设该长方形纸片为矩形，四边形沿翻折后得到四边形．    ∵四边形沿翻折后得到四边形， ∴． ∵四边形是长方形， ∴． ∴， ∵，，， ∴． 14． 【分析】因为点速度为，运动时间为秒，所以可得出的长度表达式，再结合三角形面积公式，即可推导出关系式．因为点P从B运动到C停止，所以需要确定x的取值范围，从而完善关系式． 【详解】解：∵点速度为，运动时间为秒， ∴； ∵点从运动到停止，， ∴，即． ∵ ， ∴与的关系式为． 15． 【分析】首先确定含的项是展开式中的第几项，根据杨辉三角解决问题即可． 【详解】解：由，可知，展开式中第二项为， ∴展开式中含项的系数是． 16．/度 【分析】本题考查余角与补角的定义，解题关键是掌握互为余角的两个角和为，互为补角的两个角和为，根据题意设未知数列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为，根据余角和补角的定义可得，它的余角为，它的补角为， 根据题意列方程得： 去括号得： 移项合并同类项得： 解得： 17．①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 18．（答案不唯一，填或亦可） 【分析】根据角平分线的定义可得，结合图形中的公共边，根据全等三角形的判定定理、或添加相应的条件即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵在和中，， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加， ∴． 19．(1)0 (2) (3) 【分析】（1）先利用有理数乘方、零次幂、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）先利用同底数幂乘法、幂的乘方、单项式除法计算，然后再合并同类项即可； （3）先利用积的乘方、幂的乘方计算，然后按照整式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： = ． （3）解： ． 20．(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式变形，将已知条件整体代入计算即可得解； （2）利用完全平方公式变形，将已知条件整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．(1)随机 (2)小颖的看法正确，理由如下： 图1中共有种等可能的结果，其中数字不超过的有，，，，，，共种结果， 小明转出的数字不超过的概率为， 图2中绿色部分扇形圆心角为， 红色部分扇形圆心角为， 小亮转出的颜色是红色的概率为， 小明转出来的数字不超过的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，小颖的看法是对的． 【分析】（1）根据随机事件的定义判断即可； （2） 分别计算小明转出来的数字不超过的概率和小亮转出的颜色是红色的概率，即可判断看法是否正确． 【详解】（1）解：图1中转动转盘，指针可能指向数字，也可能指向其他数字，故转到数字是随机事件； （2）略 22．(1) (2)该用户这一年的用电量为2800度． 【分析】本题考查了列关系式，一元一次方程的应用． （1）根据分档计费规则计算即可； （2）先求出该用户这一年的用电量属于第二档，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时， ， 所以当时，电费y与x之间的关系式为； （2）解：因为， ， 所以该用户用电量属于第二档， 设该用户一年的用电量为x度，则 ， 解得， 该用户这一年的用电量为2800度． 23．(1)解：如图所示： (2)解：点P如图所示： 【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据对称可知，若使值最小，则值最小，只有当点C，点P，点三点共线时，值最小，即值最小，连接与l的交点即为点P． 【详解】（1）略 （2）略 24．(1)①见详解；② (2) 【分析】（1）①依题意补全图形即可． ②作，由平行线的性质得，由垂直的定义得，进而求出，再证，根据平行线的性质可得答案． （2）作，同（1）利用平行线的判定和性质求解． 【详解】（1）解：①补全图形如下： ②作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：． 如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 即． 25．(1)如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ； (2) (3)，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ； (4) 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，可得，再根据平行公理的推论，得到，再次利用平行线的性质及角的和差关系即可解答； （2）根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，，再根据（1）中结论即可解答； （3）过点作，两次利用“两直线平行，内错角相等”即可得到，，之间的数量关系； （4）过点作，过点作，先根据平行线的性质得到，，再由周角性质得到，从而求出，再利用角平分线的定义，可得，最后根据（1）中结论即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， 由（1）知，， ； （3）略 （4）解：如图，过点作，过点作， ， ，， ，， ，， ， , 的平分线和的平分线交于点， ，， ， 由（1）知，， 即的度数为． 26．（1）①A，②；（2）40；（3）见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，三角形的中线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）①先根据三角形的中线定义得到，可根据“”可证明； ②先根据全等三角形的性质得到，利用三角形的三边关系求得，结合即可求解； （2）延长至，使得，可证明，得，，，可得，根据平行线的性质和已知可证明，即可证明，进而有即可求解； （3）延长交于，证明得到，则，结合可证得结论． 【详解】解：（1）①∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：A； ②解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长至，使得， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）延长交于， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $