专题五 一元函数的导数及其应用03导数与函数的极值 课时作业-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 高考一轮总复习导数与函数极值同步练，分层覆盖基础概念辨析、参数计算到综合证明，梯度衔接紧密，助力知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（极值概念、导数与极值关系）|以图像辨析（第1题）和简单计算（第3题）为主，培养抽象能力与几何直观| |中档层|综合应用（含参数极值计算）|通过参数讨论（第8题）提升运算能力，强化推理意识| |拔高层|复杂情境（多极值点分析与证明）|结合证明（第18题）培养逻辑推理与数学思维，发展创新意识|

高考一轮总复习课时作业 专题五 一元函数的导数 03导数与函数的极值 一、单选题 1．定义在上的函数的图象如图所示，则在上的极值点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系 【详解】由图知，的图象在区间上依次单调递减，单调递增，单调递减，单调递增，单调递减， 结合极值点的定义知，共有4个极值点. 2．若函数可导，则“有零点”是“有极值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】求函数的零点、函数极值的辨析、既不充分也不必要条件 【分析】通过举特例可判断选项正误. 【详解】对于，有零点1，在R上单调递增，无极值， 则由“有零点”，不能得到“有极值”； 对于，有极小值，，则无零点，则由“有极值”，不能得到“有零点”． 从而“有零点”是“有极值”的既不充分也不必要条件． 3．函数的极小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】求已知函数的极值 【详解】，当或时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为． 4．若函数在处取得极值，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据极值求参数 【分析】结合结论函数在点处可导且取得极值，则求，再验证结论. 【详解】由题意知函数的定义域为， 由可得， 函数在处取得极值，， ，此时， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 经检验时函数在处取得极值. 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ）    A．有2个极值点 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．有极小值，没有极大值 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数极值的辨析 【分析】利用导函数图象确定函数的单调性，再逐项判断即可. 【详解】由图象得，当时，，当且仅当时取等号；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确. 故选：D 6.设函数有极值，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据极值求参数 【分析】先对求导得，函数有极值只需导函数有变号零点，时导函数为一次函数存在变号零点、有极值，时导函数为二次函数，令判别式解得且，合并得取值范围是. 【详解】函数有极值，首先求导得. 函数有极值的充要条件：导函数有至少一个变号零点. 当时，，是一次函数，有一个变号零点，函数有极值. 当时，是二次函数，需满足判别式，即，化简得，解得. 综上，的取值范围是. 7．已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】先求出导函数，再根据极值点导函数为0求参数，最后代入检验即可. 【详解】因为函数，所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 当时，，所以单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，，所以单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； 则. 故选：B. 8.若函数在区间有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值点求参数 【分析】对函数求导后，由题意可知导函数在有2个不同的零点，从而可得方程有两个不同的实根，再结合二次函数的性质可求得结果. 【详解】函数的定义域为， ，在有两个不同极值点. 分母恒成立，令在上有两个不同的正实根. 函数，两个不同根都在需满足： ①判别式，结合得； ②对称轴，解得. ③区间端点，解得；恒成立. 综上，. 二、填空题 9．函数的极值点为__________. 【答案】1 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】求导，令导函数为0，可得极值点，分析单调性，即可得答案. 【详解】由题意得， 令，得或（舍）， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以为的极小值点，无极大值点. 10．若函数的极大值为1，则函数的极小值为________， 【答案】 【知识点】求已知函数的极值、根据极值求参数 【详解】因为，由得， 且当时，，当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处取得极大值，且，即， 函数在处取得极小值，且. 11．已知函数在处取得极大值0，则________. 【答案】/ 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】由和得或，分两种情况，检验后得到答案 【详解】，由题意得，即，故， 且，解得或， 当时，，则， 令得，令得，故为极大值点，满足要求， 所以， 当时，，则， 令得，令得，故为极小值点，不满足要求， 综上，. 12．函数在上的极大值点为__________. 【答案】 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】求导，利用导数分析函数的单调性并确定极值点即可. 【详解】由， 时，， 令，解得， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则函数在上的极大值点为. 故答案为：. 13.已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 【答案】2 【知识点】已知切线（斜率）求参数、根据极值点求参数 【分析】根据导数的几何意义以及极值点的性质求，并结合单调性检验即可. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得， 则函数，， 令，解得或；令，解得， 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取到极大值，即，符合题意， 所以. 三、解答题 14．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）先求导，再求，利用点斜式即可求切线方程； （2）利用导数研究单调性，进而得函数的极值. 【详解】（1）由题意有，所以， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令有或，由有，即，由有，即或， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数在处取得极小值，在处取得极大值. 15．已知函数在点处的切线方程是， (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间与极值. 【答案】(1) (2)和为单调递增区间，为单调递减区间，极大值为，极小值为 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）先求导，由已知列方程组，即可求解； （2）令和，分别求解即可得函数的单调区间；根据函数的单调性可得函数的极值点，即可求解极值. 【详解】（1）， ，即，， ； （2）由（1）知， ， 由或；由， 在和上单调递增，在上单调递减， 为函数的极大值点，且极大值为， 为函数的极小值点，极小值为. 16．已知函数． (1)求曲线在处与直线垂直的切线方程； (2)设，求函数的极值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、求已知函数的极值、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先对函数求导，根据导数几何意义得到曲线在点处的切线斜率，再结合切线与直线垂直的条件，求出的值，进而得到切线方程； （2）先对函数求导，然后根据导数的正负性判断函数的单调性，最后根据单调性求出函数的极值. 【详解】（1）由已知，，定义域为， 则， 因为曲线在处与直线垂直， 所以切线的斜率为1，即， 所以，解得，此时， 故所求的切线方程为． （2）由（1）得，， ①当时，若，则，函数单调递增； 若，则，函数单调递减； 若，，函数单调递增； 此时是的极大值点，是的极小值点， 函数的极大值是，极小值是． ②当时，则， 所以函数在定义域上单调递增，此时没有极值点，故无极值． ③当时，若，则，函数单调递增； 若，则，函数单调递减； 若，则，函数单调递增． 此时是的极大值点，是的极小值点， 函数的极大值是，极小值是． 综上，当时，的极大值是，极小值是； 当时，没有极值； 当时，的极大值是，极小值是． 17.已知函数 若有两个极值点，求实数a的取值范围； 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求出导数，将问题转化为导函数有两个变号零点即可求解； 【详解】由题意可知：，令， 的解为， 时，，单调递减， 时，，单调递增， ， 有两个极值，且，，，， ，，经检验符合题意； 18．已知函数 (1)求曲线在处的切线斜率； (2)当时，求证：； (3)设存在两个极值点且，若，求证： 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)证明见详解 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线斜率； （2）分析可知原题意等价于，构建函数，利用导数证明不等式即可； （3）分析可知在内有2个零点，利用韦达定理可得，构建函数，利用导数证明不等式即可. 【详解】（1）因为，则， 可得，所以曲线在处的切线斜率. （2）若，且，等价于， 构建，则， 构建，则， 可知在内单调递增，则，即， 可知在内单调递增，则， 所以. （3）由题意可知：的定义域为，且， 设， 若存在两个极值点，则在内有2个零点， 可得，解得， 此时的对称轴， 可知在内单调递减，且，则，可得， 且，则，可得， 因为 ， 即，且， 构建， 则， 可知在上单调递减，则， 所以. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习课时作业 专题五 一元函数的导数 03导数与函数的极值 一、单选题 1．定义在上的函数的图象如图所示，则在上的极值点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若函数可导，则“有零点”是“有极值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的极小值为（   ） A． B． C．1 D．2 4．若函数在处取得极值，则实数（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ）    A．有2个极值点 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．有极小值，没有极大值 6.设函数有极值，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D． 7．已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 8.若函数在区间有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．函数的极值点为__________. 10．若函数的极大值为1，则函数的极小值为________， 11．已知函数在处取得极大值0，则________. 12．函数在上的极大值点为__________. 13.已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 三、解答题 14．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 15．已知函数在点处的切线方程是， (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间与极值. 16．已知函数． (1)求曲线在处与直线垂直的切线方程； (2)设，求函数的极值． 17.已知函数 若有两个极值点，求实数a的取值范围； 18．已知函数 (1)求曲线在处的切线斜率； (2)当时，求证：； (3)设存在两个极值点且，若，求证： 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $