湖北武汉市第十一中学2025-2026学年高二下学期3月评价数学试题

武汉市第十一中学2027届高二3月评价 高二数学 时间：2026年3月21日上午7：50—9：50 总值：150 一、单选题 1.已知函数y=∫(x)的导函数y='(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是() y=f(x) 2.已知f-o()-5ae(3 (22 ,则角等于() A.5元 7n B. C.2n 4π D. 6 6 3 3 3.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则() 5 3 A.f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) 2 012345x C.f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.f(3)-f(2)<f'(2)<'(3) 4.已知函数f(x)=ae1+lnx的图象在点(1，f(1)处的切线与直线x-2y-3=0垂直， 则实数a的值为() 3 A.-2 B.-1 C.-3 D.-2 5.下列结论正确的是() A.若f(x)在[a,b]上有极大值，则极大值一定是[a,b]上的最大值 B.若f(x)在[a,b]上有极小值，则极小值一定是[a,b]上的最小值 C.若f(x)在[a,]上有极大值，则极大值一定是x=a和x=b时取得 试卷第1页，共4页 D.若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值 6.若函数f(x)=x3+ar2+3x-5是R上的增函数，则a的取值范围是() A.(0,3] B.[-3,3] C.[3,+oo) D.(-o0,-3]小U[3,+0) 7.已知P(xy)是曲线y=-snx(x∈[0，元])上的动点，点Q(x,y)在直线 x-2y-6=0上运动，则当(x-x)+(-y2)取最小值时，点P的横坐标为() B. C.2x D.π 2 3 8.若方程n=c的三个根x,x,x(x<x<x)成等比数列，则公比为() A.√2+1B.V5+1 C.√e+1 D.3 二、多选题 9.下列求导运算错误的是() A.(log;)=1 xln3 B.e*y-1+安 C.(3y=x.3-1 D.(xcos 2x)=cos 2x-2xsin2x 10.若函数f(x)=x3-12x+3在区间(k-1,k+1)上不单调，则实数k的可能取值是() A.3 B.-3 C.2 D.-2 l1.对于函数∫(x)=e+a+sinx+cosx,下列说法正确的是() A.若a=0,则函数f(x)在(0，+o)上单调递增 B.若a=-兀，则函数f(x)在(0，+o)上有2个极值点 C.3a∈R,x。>0,使得函数f(x)在(0，x)上单调递增，在(x,+o)上单调递减 D.若函数f(x)在(O,+o)上单调递增，则a的最小值为-元 三、填空题 12.设函数f(x)=nx,则fI)+f(1)= 试卷第2页，共4页 13.已知正四棱柱ABCD-ABCD的表面积为16，底面边长为x,体积为V,则当x=2 时，V关于x的瞬时变化率为 l4.函数f(x)=e-an(ar-a)+a(a>0),若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围 是一 四、解答题 15.以初速度10/s向上抛出一个物体，其上升的高度h(单位：m)与时间t(单位：s) 的函数关系为h=10t-5t2,求： (1)物体被抛出时的速度； (2)物体在t=2s时的速度. 16.已知函数f(x)=(x-1)e-x2. (1)求函数的单调区间： (2)求f(x)的零点个数. 17.已知函数f()=r+a+bx-1在x=一2和x=2处取极值。 3 (1)求a,b: (2)x,x∈[-3,2]，求f(x)-f(x)的最大值. 试卷第3页，共4页 a 18.已知函数f(x)=ax-nx- (1)若a=2,求f(x)在(1，f(1)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性： 3)若f(x)在区间 3 上存在极值，且此极值小于na,求a的取值范围. 19.已知函数f)=2r+,8(w=。-sir. (1)求f(x)的单调区间； (2)当x>0时，g(x)<e2x+ax,求a的取值范围： )设te(0,D,且f1-)=8血)，证明：f0-f'0>8+8(. 试卷第4页，共4页 《20260321高二数学3月评价》参考答案 题号 2 3 4 6 7 P 9 10 答案 B B & C 0 B BC CD 题号 11 答案 ABD 1.B 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解 【详解】由y=f'(x)的图象可知：当x<-2和-1<x<1时，f'(x)<0,故f(x) 在(-o0,-2),（-1,1)单调递减， 当-2<x<-1和x>1时，f'(x)>0,故f(x)在(-2，-1)，(1，+0)单调递增， 故B正确， 故选：B 2.B 【分析】求出∫'(x),再由f'(a)=二及的范围可得答案 【详解】由题意得f'(x)=-sinx, 因为了@)}所以a-分 π3π 7元 又o∈ 22故a- 6 故选：B 3.B 【分析】由导数的几何意义即函数图象增长速度越快，其导数值越大，结合图象 即可求解 【详解】由∫(x)的图象可知，∫(x)在(0，+o)上单调递增且增长得越来越慢， 所以3)f3）巴(2.即f3)f3)2<f2) 3-2 故选：B 4.C 答案第1页，共14页 【分析】利用导数的几何意义，求得f'(1)=a+1,结合题意建立方程求解即得 【详解】由f)=ae1+lnx求导得：f(=ae1+ 依题意f'1)=a+1=-2,解得a=-3 故选：C 5.D 【分析】结合极值，最值的概念判断即可· 【详解】因为函数f(x)在[，b]上的极值不一定是最值， 最值也不一定是极值；最值可能在端点处取得，此时不一定是极值， 而在[a,b]上的连续函数f(x)一定存在最大值和最小值. 故选：D 6.B 【分析】由函数单增得f'(x)≥0在R上恒成立，即3x2+2ax+3≥0，所以有 △≤0，从而得解。 【详解】由题意可得f(x)=3x2+2ar+3.因为f(x)是R上的增函数， 所以3x2+2ax+3≥0在R上恒成立， 所以△=4a2-4×3×3≤0，解得-3≤a≤3 故选：B 7.C 【分析】当y=-sinx(x∈[0，π])上的点P处的切线斜率与直线x-2y-6=0斜 率相等时，点P即为所求，利用导数求解 【详解】当(x-x)+(y-y)取最小值时，即PQ取得最小值，此时点P处 的切线 斜率与直线x-2y-6=0斜率相等.因为直线x-2y-6=0的斜率为？， 1 厅以令曲线y一smx的导函数y=一cos龙三，x∈0元，解得x玩 3 答案第2页，共14页 8.A 【分析】分离参数，转化问题为直线y=飞与f(x)= 血图象的交点问题，结 合导数作出函数图象，进而求解即可！ 【详解】由lnx=ac,得x>0,所以k= Inx Inx 设f(x)= inx ,0<x<1 Inx ,x≥1 方程nd=a:的根等价于直线y=k与f(x)图象的交点的横坐标。 因为函数y=血(x>0)的导数为y=1-1血x x r? 当0<x<e时，y>0,y=血(x>0)单调递增， 当x≥e时，y≤0，y血(x>0)单调递减， 又x=1时， nx=0,x>1时， h>0, 作出f(x)的大致图象，如下图： y=fx) y=k OXil x2 则、 n_血=血(*)， 因为x,x,x(0<<x<x3)成等比数列，设公比为q(9>1), 所以55 ,x=9, 答案第3页，共14页 代入(*)式得-9-血出=n(g) 2 92 q $ 9 由9-血3，得9h9-血起，即9h是=n, 2 2 9 所以g(ng-血x)=血x,解得血x,-g血 1+9 f代入血5_血(g qlng lng+ging 2,可得1+9 1+9, 92 x2 9x2 整理得g-2q-1=0,解得g=V2+1或q=1-√2（舍去），则公比为√2+1， 9.BC 【分析】利用导数运算法则及基本函数的导数公式逐项求导判断 【详解】对于A,A0g:y=1 n3 ,A正确： 对于B,(x+y=1-,B错误 1 对于C,(3)'=3ln3,C错误； 对于D,(cos2xy=(x)cos2x+x(cos2xy=cos2x-2xsin2x,D正确. 故选：BC 10.CD 【分析】求出函数f(x)的极值点，分析可知，函数f(x)在区间(k-1,k+1)内 存在极值点，可得出关于实数飞的不等式组，由此可求得实数k的取值范围 【详解】因为f(x)=x3-12x+3,则f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2), 由f'(x)<0可得-2<x<2,由f'(x)>0可得x<-2或x>2, 所以，函数f(x)的增区间为(-o,-2),(2,+∞)，减区间为(-2,2)， 答案第4页，共14页 所以，函数∫(x)的极大值点为-2，极小值点为2， 因为函数f(x)=x-12x+3在区间(k-1,k+1)上不是单调函数， 则该函数在区间(k-1,飞+1)内存在极值点，即飞-1<-2<飞+1或 k-1<2<k+1, 解得-3<k<-1或1<k<3, 所以，实数k的取值范围是(-3，-1)(1,3). 故选：CD 11.ABD 【分析】利用导数研究函数单调性，可以依据导函数的正负情况判断：函数的极 值，即判断导函数是否有变号的零点 【详解】对于选项A,当a=0时，f(x)=e+sinx+cosx, 则f)-e+o8xsmx=e-Vax开 当0<x<5时，f'(x)=e+cosx-sine>e+0-1-0, 当x号时，则f-e-nx别e50, 故当x>0时，f(x)>0,故函数f(x)在(0，+o)上单调递增.故A正确： 对于选项B,当a=-兀时，f(x)=er+sinx+cosx,令 f(x)=e*m+cosx-sinx-0, *-sinx-cosx-sin 考虑两函数的交点情况如图： 4 答案第5页，共14页 x-) 可知a=-元，则函数f(x)在(0，+∞)上有2个极值点.故B正确： 对于选项C,a∈R,x。>0,使得函数f(x)在(0，x)上递增，在(x,+o)上 递减， 则函数在x=x,取最大值， 由y=e+a为指数型函数在(O,+o)上不存在最大值，y=sinx+cosx为有界函 数， 故f(x)=e+a+sinr+cosx没有最大值.故C错误； 对于选项D,函数f(x)=e+“+sinx+cosx在(0，+o)上单调递增， 则f'(x)=e+a+cosx-sinx≥0恒成立， 则a≥n(sinx-cosx)-x,(sinx-cosx>0)在(0，+o)上单调递增， h()=ln(sinx-cos)()=sinx+cosx1 2cosx sinx-cosx sinx-cosx 令H(x)=0,则cosx=0,得x=元+，k∈N, 因y=n(sinx-cosx)为周期函数，y=-x在(0，+o)上单调递减， 故h(x)=n(sinx-cosx)-x的最大值在(0,2元)中取得， 当x=0日-2x时，如xsx<0,P=e-sx-mr之0 答案第6页，共14页 恒成立： 当x∈ 4’2 单调递增： 5π 当x∈ 24 时，h(x)<0, h(x)在 元5元 24 单调递减： 故h(x)的最大值为h =In sin 2 2 2 从而a≥-元，即a的最小值为-无故D正确， 12.1 【详解】由题知f(x)=1,所以f0)=lh1=0,f'()=1, 所以f(1)+f'(1)=0+1=1 13.-2 【分析】先根据表面积和体积公式计算，再应用瞬时变化率定义及导数运算法则 计算求解。 【详解】因为正四棱柱ABCD-AB,C,D的底面边长为x,设正四棱柱的高为h, 所以正四棱柱ABCD-4BCD,的表面积为4h+2x2=16,所以h-16-2x 4x 所以体积为r=xh=心×16-2x=4x x3 4x 2 所以”=4-3x ,则x=2时，V关于x的瞬时变化率为4- 3 ×22=-2 2 14.(0,e2） 【分析】先根据f(2)>0成立得出0<a<e2，再计算当0<a<e2时，应用导 数正负得出函数单调性结合隐零点得出f(x)>0恒成立即可求解 【详解】若f(x)>0恒成立，则f(2)>0恒成立， 答案第7页，共14页 当x=2时，p(a)=e2-alna+a,p'(a)=-lna,p(a)在(0，l)上单调递增，在 (1,+∞)上单调递减， 当a→0*时，且p(a)→e2,且p(e2)=0, 于是f(2)>0→0<a<e2. 当0<a<e时，()=。-a=M,H(=。+,a x-1 (-1>0, →f'(x)在(1，+o)上单调递增，且x→1时，f(x)→-o,f'(2)=e-a>0, 从而存在，∈(1,2)满足f'(x)=0→e9=a 6-1,所以6=na-n(6-l), 此时f(x)在(1，x)上单调递减，在(x,+o)上单调递增， f(x)an-f(x)-c-aln(ax,-a)+a=-a-aln(ax-a)+a -a1-la(61)1 -1 因为 1 ++l-21ma=1 1+6-1+2-2na≥2 6-)+2-2a, 1 x。-1 1 又因为∈(1,2)，所以 o-1 +x-1+2-2lna>4-2lna, f(x)m=f(6)>a(4-2lna>0,满足题意. 综上，实数a的取值范围是(0，e2) 故答案为（0，e2). 15.(1)(10-10t)m/s (2)-10m/s 【分析】(1)求导即可求解， (2)代入t=2到导函数中即可求解. 答案第8页，共14页 【详解】(1)由h=10t-5fP得h=10-10t,所以物体被抛出s时的速度为 h=(10-10t)m/s (2)当t=2时，h-2=10-10t=10-20=-10m/s 16.(1)f(x)的单调递减区间为(0，n2):单调递增区间为(-o,0),(n2,+o): (2)1个. 【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，掌握通过导数符号 判断单调性，结合单调性与函数值符号分析零点个数的方法是解题的关键 (1)对函数求导，令导数为零求出极值点，根据导数符号判断单调区间； (2)结合单调区间，分析各区间端点函数值符号，判断零点个数. 【详解】(1)解：由题可得f(x)=xe-2x=x(e-2), 令f'(x)=0,解得x=0或x=ln2, 令f'(x)<0,解得0<x<n2:令f'(x)>0,解得x<0或>n2, 所以f(x)的单调递减区间为(0，n2);单调递增区间为(-o,0),(n2,+o). (2)解：由(1)知，f(x)在(-o,0)上单调递增，在(0,1n2)上单调递减， 故f(x)在(-o,1n2)上的最大值为f(0)=-1<0, 因此f(x)在(-oo,1n2)上无零点 在区间n2,+o)上，f(x)单调递增，且f(n2)=2(n2-1)-(n2)<0, f(2)=e2-4>0, 故f(x)在n2,+o)上存在唯一零点 综上，函数f(x)仅有1个零点. 17.(1)a=2,b=-4 256 021 【分析】(1)求出f'(x),利用f(x)取极值得到f'(x)=0的两根为x=-2和 答案第9页，共14页 ,列方程组求解即可 (2)先判断函数的单调性，求出f(x)在[-3,2]上的最值，再根据 f(x)-f(x)≤f(x)ms-f(x)n求解即可. 【详解】(1)f'(x)=3x°+2ax+b. 因为了(9在x=-2和=2处取极值， 3 f'(-2)=0 3x(-2)}+2ax(-2)+b=0 a=2 得-。 +2a×2+6=0 ，解得 b=-4 所以f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2) 当x∈(-o,-2)时，f'(x)>0,f(x)在(-o,-2)上单调递增， 当x(2号时.f0,f-2号到 上单调递减， 当xe后-时，f)>0,f在（后+ 上单调递增， 所以f(x)在x=-2处取得极大值，在x= 处取得极小值 因此a=2,b=-4. (2)由(1)知函数f(x)=x3+2x2-4x-1在[-3，-2)， ,2 上单调递增， 在 单调递减， f)布x-2处取得极大值，极大值为f(2）)-7:：了（✉）布x-子处取得极 67 小值，极小值 27 答案第10页，共14页 又f2-7,f(3到=2，所以xe32时，)-7，f- 67 以当x3时.))s7-(, 27 18.(1)y=x (2)答案见解析 (3)(2,3) 【分析】(1)根据导数的几何意义求函数在点(1，f(1)处的切线。 (2)求导，分a≤0，a>0讨论导函数的单调性， (3)结合(2)的结论，确定函数的极小值，在根据极小值的取值范围求α的取 值范围 【详解】(1)当a=2时，f()=2x-nx-1,f()=2-1, 所以f(1)=2-nl-1=1,f'(1)=2-1=1. 所以f(x)在(1，f(1)处的切线方程为：y-1=1×(x-1),即y=x. (2)因为f(x)=ax-nr- 4’x>0 所以f(x)=a- x 若a≤0，则f"(x)<0在(0，+o)上恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上为减函数： 若a0,由r-a}0>。由fe)a0→0<xc a 防以)上为通，在口 上为增函数， 综上，a≤0时，f(x)在(0，+∞)上为减函数： 上为减函数，在 上为增函数 答案第11页，共14页 (3)由(2)知： 】<上<1，即1<a<3,此时函数f()在x=】处取得极小 值 1-n2年1b a 4 由1+lna- <na→a>4, 4 结合1<a<3,得2<a<3. 故a的取值范围为(2,3) 19.(1)f(x)的单调递减区间是(0,1)；单调递增区间是(1，+o); (2)[-2,+0) (3)证明见解析 【分析】(1)先求出导函数，再根据导函数正负得出单调区间即可： (2)先构造函数h(x)=e-e2x-sinx-ax,再求出导函数分a<-2和a≥-2时， 讨论函数单调性计算求解参数； (3)先由(2)g(x)=e-sinx<e2x-2x=f(ex),再构造 F(x)=21nx+ 1_2+2 +,再构造H四=F)G0-)结合导数求出单调性 即可证明；· 【详解】(1)函数f(田)=2r+】的定义域为(0，+o）),所以 f=22=22-2 XX- (x>0), 因为x>0,所以x+1>0. 所以当0<x<1时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x>1时，f(x)>0,f(x)单 调递增， 所以f(x)的单调递减区间是(0,1)；单调递增区间是(1，+0)： 答案第12页，共14页 (2)当x>0时，g(x)<e2x+ax,即g(x)-e2x-ax<0, h(x)=g(x)-e2x-ax e*-ex-sinc-ax, 则h(0)=0,h'(x)=e-2ex-cosx-a,H(0)=-2-a, 令h(0)=0,则a=-2. 当a<-2时，h'(0)>0,所以存在6>0，使得当x(0,时，h'(x)>0,h(x) 单调递增， 故当x∈(0，)时，h(x)>h(0)=0,即g(x)>e2x+ax,不符合题意： 当a≥-2时，h(x)≤e-2e2x-cosx+2,且当x>0时， e*-2e2x-cosx+2<-e2x-cosx+2. 令k(x)=-e2x-cosx+2, 则当x>0时，因为-2e2x<-2,所以k'(x)=-2e2x+sinx<0, 故当x>0时，k(x)单调递减，此时k(x)<k(O)=0, 所以当x>0时，h(x)<0,h(x)单调递减，即当x>0时，h(x)<h(O)=0,即 g(x)<e2x+ax 综上，a的取值范围是[-2，+o): (3)由(2)gx)=e-sir<e2x-2x=f(ex）, 又S,t∈(0,1)，可知1-s,t∈(0,1)， 因为函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，故1-s>t, ()=2e-(sin+co), 122 令F(x)=2lnx+ x∈(0,1)，F'(w=22+2_6 3x2x、C 答案第13页，共14页 G'(x)=2e*-(cosx-sinx)=2e*+sinx-cosx>0, 所以F(x)在(0,1)上单调递减，G(x)在(0,1)上单调递增， 所以F(t)>F(1-s), 令H(x)=F(x)-G1-x), we0=号号+是26-e0--,03, 竖)=w(s22-专+专-&+2ecos19+sim1-） w四头号+-w m19e0兰是980 故H'(x)单调递增，H'(x)<H'(1)=-3, 即H(x)单调递减，H(1-s)>H(I)=0,即F(1-S)>G(s), 所以F(t)>F(1-s)>G(s)得证： 综上，f()-f'()>g(s)+8'(S). 答案第14页，共14页