湖北武汉市汉铁高级中学2025-2026学年高二下学期五月月考数学试卷

**基本信息** 高二五月月考数学卷聚焦排列组合、概率统计、导数应用等核心知识，融入具身智能、蒙提霍尔问题等真实情境，通过分层设计考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|排列组合（2题）、概率（3题）、导数（4题）|蒙提霍尔问题（逻辑推理）、函数与导函数图象（抽象能力）| |填空题|3题15分|随机变量（12题）、计数原理（13题）、导数应用（14题）|“安康数”定义（创新意识）| |解答题|5题77分|导数单调性（15题）、独立事件（17题）、统计（18题）|导弹命中率分析（数据意识）、正三棱柱体积最值（空间观念）|

2025～2026学年下学期高二五月月考 数 学 试 卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．已知，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．将英文单词“success”的字母重新组合排列，能得到（   ）个不同的字母排法. A．240 B．210 C．420 D．360 3．某年级7个班级中有3个是先进班级，现从中任意选3个班级，则下列事件中概率等于的是（    ） A．至少有1个先进班级 B．有1个或2个先进班级 C．有2个或3个先进班级 D．至多有2个先进班级 4．设，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（   ） -1 1 A．当增大时，减小，增大 B．当增大时，减小，减小 C．当增大时，减小，先增大后减小 D．当增大时，减小，先减小后增大 5．某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.34 B．1.33 C．1.32 D．1.31 6．已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则错误的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种 8．图1是一个边长为2的正三角形纸片，沿虚线剪掉三个角处的四边形，剩余部分沿的三条边折叠成一个正三棱柱（无盖），如图2，当正三棱柱的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（   ） A．  B．  C．  D．   10．用数中0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（    ） A．可以组成300个四位数 B．可以组成180个四位偶数 C．可以组成96个能被3整除的四位数 D．将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2310 11．1990年9月，美国《Parade》杂志首次公开讨论了源自美国电视节目《Let’s Make a Deal》的蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）：主持人事先在编号为1，2，3的三个外观相同的三扇门后随机选择一个放入豪车，其余两扇门后放入山羊，再将三个门关闭．当游戏参与者在三扇门中选择一个门后，在门打开之前主持人先打开了另外两个门中的一个门，按游戏规定，主持人只打开游戏参与者的选择之外的门后是山羊的门，当两个都是山羊时，他随机选择其中一个打开，并问参与者是否愿意更改选择以便更大概率获得豪车．用表示号门后有豪车，用表示主持人打开号门，已知甲选择了1号门，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该坚持选择1号门 D．主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该改选3号门 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.已知随机变量，则 __________. 13．我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有__________. 14．已知定义在上的函数，其导函数为，不等式恒成立．若对，不等式恒成立，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 16．在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立． (1)若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； (2)若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使取最大值时k的值； 17．2024年被业界公认为“具身智能元年”得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活.某中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率依次为、、，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至少有2人通过第一轮的概率； (2)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 18．某校举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如图： 专家 A B C D E 评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7 (1)求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率； (2)从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；求X的分布列及与的值； (3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系. 19．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知存在两个极值点，若，且，求的最小值． 数 学 试 卷 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D B B C A C D A ABC AC ABD 24 28 【7】由题意可知，要使得次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中， 所以，，即， 因为，则，所以，， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确； 则，即， 对于A，，故A正确； 对于C，由，可得，故C错误； 对于D，若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，设甲，乙，丙对应于， 则不同的传球方式有：①，②， ③，④，⑤， ⑥，故共有6种情况，故D正确. 【8】设正三棱柱的底面边长为，高为， 则，所以，其中，解得， 所以正三棱柱的体积为： ， 可得 令，即，解得或， 因为，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，此时， 在直角中，可得， 连接，可得， 在正三棱柱中，可得，所以异面直线与所成角，即为直线与所成的角，在中，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【14】令，依题意，． 函数在上单调递增．对，不等式恒成立， ,即，． 当时，，则， 则；；故在单调递减，在单调递增； 可得时，函数取得极小值即最小值，． 当时，，此时，在上单调递减， 又时，，且，则 则的取值范围是. 【15】（1）函数的定义域为，又， 所以当时，当或时， 的单调递增区间为，单调递减区间为，. （2）令，即，依题意可得与有且仅有一个交点， 因为当时，当时，，此时， 当时，，所以； 当时，又， 当时，，此时， 当时，，所以； 所以或，解得或； 所以实数的取值范围为. 【16】（1）由题意得， 因为，， 所以，所以与不相互独立． （2）由题意可得，，所以， 令， 即，解得， 所以， 又因为且 所以当时，有最大值． 【17】（1）解：因为小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率依次为， 若恰有两人通过的概率为， 若三人都通过的概率为， 所以求这3人中至少有2人通过第一轮的概率. （2）解：根据题意，小明通过第二轮的概率为， 小华通过第二轮的概率为，小方通过第二轮的概率为， 则这3人中通过第二轮的人数为的可能取值为， 当时，即3人都未通过第二轮，其概率为， 当时，即3人仅有1人通过第二轮， 其概率为 ， 当时，即3人仅有2人通过第二轮， 其概率为 ， 当时，即3人都通过第二轮，其概率为， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以期望为. 【18】（1）由频率分布直方图的性质，所有组频率和为1，组距为1，因此： 解得； 观众评分不小于9的频率为，用频率估计概率，得评分不小于9的概率为. （2）5名专家中，评分不小于9分的共有4人，小于9分的共1人。 从5名专家中选3人，（评分不小于9分的人数）的可能取值为： 因此的分布列为： 2 3 期望计算： ； 对于：观众评分不小于9的概率为，，因此： （3） （专家评分平均数； 观众评分平均数 . 方案一：（N 为观众人数，N 很大），近似为 =8.8；方案二：） 【19】（1）由函数的解析式可知，， ①若，则恒成立，在上单调递增， ②若，则由，得或； 由，得． 在上单调递减，在和上单调递增， ③若，则由，得；由，得． 在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在和上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）是方程的两个根，， ，且，所以， ， 令，则．在上单调递减， ，的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $