精品解析：2026年山东省德州市中考数学试题

**基本信息** 2026年德州市中考数学试卷以现实情境为载体，通过洗衣液销售、交通调查、水果店利润等问题设计，考查学生用数学眼光观察、思维分析、语言表达现实世界的能力，梯度分明且注重应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/40|实数、图形对称、统计量、三角函数等|第4题以商家销售选众数，考查统计应用| |填空题|5/20|整式次数、坐标平移、概率、函数图像等|第14题结合二次函数求最高利润，体现模型意识| |解答题|8/90|统计图表、几何证明、函数应用、综合探究等|第18题日历九宫格探究培养抽象能力，第21题圆切线证明考查推理能力，第23题几何综合体现分层设计|

参照秘密级管理★启用前 2026年德州市初中学业水平考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的县（市、区）、学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上． 3．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、单项选择题：共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列实数中比小的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用实数比较大小的规则：正数大于0，0大于所有负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，即可推得结果． 【详解】解：∵正数和0都大于负数， ∴ ，排除D选项； ∵ ， ∴ ，排除A； ∵ ， ∴ ，排除C； ∵ ， ∴ ，符合要求， 因此比小的数是． 2. 下列标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各个选项进行判断即可． 【详解】解： A、该图形绕中心旋转 后，内部箭头方向发生改变，不能与原图形重合，故不是中心对称图形； B、该图形是轴对称图形，绕中心旋转 后不能与原图形重合，故不是中心对称图形； C、该图形绕中心旋转 后能与原图形重合，故是中心对称图形； D、该图形是轴对称图形，绕中心旋转 后不能与原图形重合，故不是中心对称图形． 3. 483.5万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将483.5万换算为整数，再根据科学记数法的定义写出正确形式，科学记数法的形式为，要求满足，为整数． 【详解】解：∵ 万 ， 将原数整理为满足科学记数法要求的形式，需把小数点左移6位，得到 ， ， ∴． 4. 商家为了更好的销售一种洗衣液的品牌，应该选择调查每种洗衣液销量的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，根据商家的销售需求，结合各统计量的含义判断即可． 【详解】∵ 平均数反映一组数据的平均水平，中位数反映数据的中等水平，方差反映数据的波动程度，众数反映一组数据中出现次数最多的数据，商家为更好销售洗衣液，需要明确最受欢迎，也就是销量最高的洗衣液类型，符合众数的实际意义， ∴ 应该选择调查众数． 5. 如图，在中，，，则 的值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点 作于 ，用等腰三角形三线合一的性质求出的长，再根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，过点 作于 ， ， ， 在中， ． 6. 书店正在销售文学类和科技类的书籍，已知科技类单价是文学类单价的1.5倍，用700元和900元分别购买文学类和科技类，文学类可以比科技类多买5本．设文学类书籍的单价为元，由已知可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据设出的未知数表示出两类书籍的单价与购买数量，再根据两类书籍的数量差关系列出方程． 【详解】解：∵设文学类书籍的单价为元，科技类单价是文学类单价的倍， ∴科技类书籍的单价为 元. 根据数量等于总价除以单价，可得：购买文学类书籍的数量为本，购买科技类书籍的数量为本. ∵文学类比科技类多买本，即文学类数量减去科技类数量等于， ∴列方程得 ． 7. 如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点 为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点 ， ，再分别以 ， 为圆心，大于 的长度为半径画弧，两弧在内部交于点 ，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定 得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（ ） A. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B. 两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D. 三条边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】根据尺规作图的步骤，可以得到 ， ，再加上公共边 ，利用“边边边”判定定理即可证明三角形全等． 【详解】如图： 由作图步骤可知 ， 在 和 中，   使用的全等判定方法是三条边分别相等的两个三角形全等． 8. 在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置与增减性，再求出的值，分点 在第三象限和第一象限两种情况讨论，即可得到的取值范围． 【详解】∵反比例函数中， ， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内， 随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点 在第三象限， ，结合第三象限内 随增大而减小，可得 ； ② 当时，点 在第一象限， ，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是 或． 9. 如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点 到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据等边三角形的性质求出，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长求出圆锥底面半径，再利用勾股定理求出 ，最后比较大小即可． 【详解】解： 扇形圆心角为 ，半径为   是等边三角形， ∴ ， 过点 作 于点 ，   设圆锥底面半径为   扇形弧长等于圆锥底面周长 ， 圆锥如图，取底面圆的中点，连接 ， ∵， ∴ ， ∴由勾股定理得： ． 10. 若 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知得到，然后两式相乘得到，再利用幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则得到，再由积的乘方逆运算法则得到，即可得到 ，再变形求解即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分． 11. 整式的次数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式次数的定义，单项式的次数为单项式中所有字母的指数和求解即可． 【详解】解：该单项式中字母的指数为，字母的指数为， 因此次数为 ． 12. 在平面直角坐标系中，若点向右平移个单位长度后落在第一象限，请写出一个满足条件的的值_______． 【答案】 （答案不唯一，任意满足 的值均可） 【解析】 【分析】根据点的平移规律得到平移后点的坐标，结合第一象限内点的坐标特征得到的取值范围，即可写出满足条件的的值． 【详解】解：点 向右平移个单位长度后，得到的点的坐标为 ， ∵第一象限内点的横坐标大于，纵坐标大于，该点纵坐标为 ， ∴可得 解得 取（答案不唯一）． 13. 如图，甲、乙、丙、丁四个人选四个座位，已知甲选择了①号座位，剩下的座位由乙、丙、丁三人随机选择，则乙和丙邻座的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，求出总的结果数和满足题意的结果数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】解： 画树状图如下： 由图可知共有6种等可能的结果，其中乙和丙邻座的结果有4种， ∴乙和丙邻座的概率为． 14. 某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【解析】 【分析】先求解 ，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意设 ， 把代入得： ， 解得：， ∴抛物线为 ， 设单件水果利润为：元， ∴ ， ∵ ， ∴当 时，单件利润的最大值为元． 15. 如图，在四边形中， ， ， ．取的中点 ，连接，，将和分别沿，折叠，若和 恰好都能与重合，线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作图，得到，， ，如图所示，过点C作 于点F，得到矩形 ，由勾股定理得到 ，设 ，则 ， ，由此列式得到，则，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：将和分别沿，折叠，点B，D的对应点为，，若和 恰好都能与重合，则点重合，如图所示，且点A是 的中点， ∴，， ， 如图所示，过点C作 于点F， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ， ∴ ， 解得，， ∴， 在 中， ． 三、简答题：共8小题，总计90分． 16. 解答 （1）解不等式： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：  由不等式①，得 ； 由不等式②，得   ∴原不等式组的解集为； 【小问2详解】  解：原式 ． 17. 为了防止交通拥堵，某社区开展了关于交通出行的问卷调查，问题如下： 问题一：您选择的出行方式是（ ） A．步行B．私家车C．自行车 D．电动车E．公交车 问题二：（前值取等后值不取等）您的出行时间段为（ ） A． B． C． D． E． 两项都为必填项，共收集了400份问卷，且收集到的数据全部有效．通过整理收集到的数据，绘制出了居民出行方式的不完整扇形统计图和私家车出行时间段的不完整条形统计图． （1）的值为_______； （2）请补全条形统计图； （3）若社区共有5000人，请估计社区在该时间段使用私家车出行的人数； （4）根据问卷调查，为防止交通拥堵提出一条建议． 【答案】（1）55 （2）补全条形统计图如下： （3）2750人 （4）建议居民在高峰时段选择步行、自行车或公交车等绿色出行方式，减少私家车使用（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）用1减去其他出行方式的占比即可求出m的值； （2）根据题意求出使用私家车出行的人数，然后求出私家车出行时间段在 的人数，然后补全条形统计图即可； （3）利用样板估计总体的方法求解； （4）根据扇形统计图提出建议即可． 【小问1详解】 解： ， ∴ ； 【小问2详解】 解：使用私家车出行的人数为 （人）， 私家车出行时间段在 的人数为 （人）， 补全条形统计图略； 【小问3详解】 解： （人）， ∴估计社区在该时间段使用私家车出行的人数2750人； 【小问4详解】 解：∵使用私家车出行的人数占比最大， ∴建议居民在高峰时段选择步行、自行车或公交车等绿色出行方式，减少私家车使用（答案不唯一，合理即可）． 18. 探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 （1）如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是 、 、 、 ． ①用含的式子表示 ； ②探究 是否为定值，请证明： （2）若框选出的九宫格的中心数是方程 的根，求九宫格中最大的数． 【答案】（1）① ； ② 为定值，理由如下： 由题意可得： ， ， ， ∴ ． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据中心数的特点可得 ；②根据中心数的特点分别表示 ， ， ，再进一步求解即可； （2）先解方程 ，再结合中心数的特点可得答案． 【小问1详解】 解：①由题意可得： ； ②略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 解得： ， ， ∵为九宫格的中心数， ∴ 不符合题意， ∴中心数为 ， ∴九宫格中最大的数为 ． 19. 如图，在 中， ，点 是 的中点．连接 ，在平面内找一点 ，使得 ， ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若，四边形 的面积为，求线段 的长． 【答案】（1）证明：∵  ， ， ∴四边形   是平行四边形， 又∵   是直角三角形，，  是   中点， ∴  ， ∴四边形   是菱形． （2）4 【解析】 【分析】（1）先根据两组对边分别平行的条件，判定四边形 是平行四边形；再利用直角三角形斜边中线定理，得到 与 的数量关系，结合菱形的判定定理完成证明． （2）设点   到   的距离为  ，先表示出菱形  的面积，用两种方法表示出 的面积，再结合已知中 长度，求解 的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设点   到   的距离为  ，因为  ， ∴菱形  的面积为 ， ∵  是  的中点， ∴  ， 则  的面积：, 又∵  中 ，面积也可表示为  ， ∵ ， ∴ 化简得 ， ∴  ． 20. 一辆汽车出发向加油站行驶，加油后在加油站休息了一段时间，然后前往目的地．汽车油箱油量与时间的函数关系式图象如图所示． （1）汽车从出发到加油站行驶了_______小时，在加油站加了_______升汽油； （2）求汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量 与时间的函数关系式； （3）若目的地距离加油站，汽车的行驶速度为 ，且汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同，求汽车到达目的地时，油箱的剩余油量． 【答案】（1）3，35 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）利用待定系数法求解； （3）首先求出每小时的耗油量，然后求出汽车从加油站到目的地的时间，然后求出汽车到达目的地时的耗油量，然后求出剩余油量即可． 【小问1详解】 解：由图象可得，汽车从出发到加油站行驶了3小时，在加油站加了 升汽油； 【小问2详解】 解：设 与时间的函数关系式为 根据题意得， 解得 ∴ 与时间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：∵汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同 ∴每小时的耗油量为 根据题意得，汽车从加油站到目的地的时间为， ∴汽车到达目的地时，耗油量为， ∴汽车到达目的地时，油箱的剩余油量为． 21. 如图，在中，点 为上一点，点 是的中点，是的直径．过点 作的切线交的延长线于点 ，连接并延长交于点 ，连接 ． （1）求证： 与相切； （2）若 ， ，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：连接， 是直径， 点 在上， 是的中点， ， 在和 中，， ， ， ， 是的半径， 与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，通过 证 ，再结合点 在上，即可得证； （2）阴影部分的面积为，通过线段转化即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 阴影部分的面积为 ． 22. 已知二次函数 ， 为常数． （1）当 时，求该二次函数的对称轴； （2）若当时， 随的增大而增大，当 时， 随的增大而减小，求 的取值范围； （3）若在该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，求点 到对称轴的距离． 【答案】（1）直线 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把 代入 ，进一步求解即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，结合题意可得 ，进一步求解即可； （3）解方程 或 ，结合抛物线的性质可得答案． 【小问1详解】 解：当 时， 二次函数为： ， ∴二次函数的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：∵ ， 抛物线的对称轴为直线， ∵当时， 随的增大而增大，当 时， 随的增大而减小， ∴ ， 解得：， ∴ 的取值范围为：． 【小问3详解】 解：∵ 的对称轴为直线， 而该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21， ∴ ， 当 时， ∴ ，即 ， ∴ ， 解得：，， ∴或， ∴点 到对称轴的距离为：． 当 时， ，即 ， ∴ ， ∴方程无解， 综上：点 到对称轴的距离为：． 23. 如图，在等腰 中，，点 是延长线上一点， ，过点 作 于点 交 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求线段 的长； （3）若 ， ，请直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由 得，结合 ，利用等角的余角相等得出 ，再通过对顶角相等代换得 ，根据等角对等边即可证明 ； （2）先由 ，结合 和（1）中 的结论，用 表示与；再通过两角对应相等证明 ，得到，最后结合 长，按比例分配求出即可； （3）在上截取 构造等腰直角 ，设 求出的长度；再由等腰三角形底角度数推出 ，证得 ，进而求出即 的长度；过 作，由三线合一得到、的长度，算出的长，最后根据 ，利用平行线分线段成比例得出，化简计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ， ∴ ， ， 由（1）得 ， ∴ ， ∵， ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图，在上截取 ， ∵ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∴ ， 过点 作于点， 又∵ ， ∴， ∴， ∵ ，， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参照秘密级管理★启用前 2026年德州市初中学业水平考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的县（市、区）、学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上． 3．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、单项选择题：共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列实数中比小的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列标志中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 483.5万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 商家为了更好的销售一种洗衣液的品牌，应该选择调查每种洗衣液销量的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 如图，在中，，，则 的值为（） A. B. C. D. 6. 书店正在销售文学类和科技类的书籍，已知科技类单价是文学类单价的1.5倍，用700元和900元分别购买文学类和科技类，文学类可以比科技类多买5本．设文学类书籍的单价为元，由已知可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了作出的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点 为圆心，任意长度为半径画弧分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于 的长度为半径画弧，两弧在内部交于点，连接并延长，射线则为的角平分线．小明说，可以通过判定 得到对应角相等来证明射线是的角平分线，他使用的全等判定方法是（ ） A. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B. 两条边及其夹角相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D. 三条边分别相等的两个三角形全等 8. 在反比例函数的图象上有两点和，若，则 的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 或 D. 或 9. 如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点 到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 若 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分． 11. 整式的次数为_______． 12. 在平面直角坐标系中，若点向右平移 个单位长度后落在第一象限，请写出一个满足条件的 的值_______． 13. 如图，甲、乙、丙、丁四个人选四个座位，已知甲选择了①号座位，剩下的座位由乙、丙、丁三人随机选择，则乙和丙邻座的概率是_______． 14. 某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 15. 如图，在四边形中， ， ， ．取的中点 ，连接，，将和分别沿，折叠，若和恰好都能与重合，线段的长为______． 三、简答题：共8小题，总计90分． 16. 解答 （1）解不等式： （2）化简： 17. 为了防止交通拥堵，某社区开展了关于交通出行的问卷调查，问题如下： 问题一：您选择的出行方式是（ ） A．步行B．私家车C．自行车 D．电动车E．公交车 问题二：（前值取等后值不取等）您的出行时间段为（ ） A． B． C． D． E． 两项都为必填项，共收集了400份问卷，且收集到的数据全部有效．通过整理收集到的数据，绘制出了居民出行方式的不完整扇形统计图和私家车出行时间段的不完整条形统计图． （1） 的值为_______； （2）请补全条形统计图； （3）若社区共有5000人，请估计社区在该时间段使用私家车出行的人数； （4）根据问卷调查，为防止交通拥堵提出一条建议． 18. 探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 （1）如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是 、、、． ①用含的式子表示 ； ②探究 是否为定值，请证明： （2）若框选出的九宫格的中心数是方程 的根，求九宫格中最大的数． 19. 如图，在 中， ，点 是 的中点．连接 ，在平面内找一点 ，使得 ， ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若，四边形 的面积为，求线段 的长． 20. 一辆汽车出发向加油站行驶，加油后在加油站休息了一段时间，然后前往目的地．汽车油箱油量与时间的函数关系式图象如图所示． （1）汽车从出发到加油站行驶了_______小时，在加油站加了_______升汽油； （2）求汽车去往加油站的路上时汽车油箱油量与时间的函数关系式； （3）若目的地距离加油站，汽车的行驶速度为 ，且汽车去往目的地时的耗油速度与去往加油站时的耗油速度相同，求汽车到达目的地时，油箱的剩余油量． 21. 如图，在中，点 为上一点，点是的中点，是的直径．过点 作的切线交的延长线于点，连接并延长交于点，连接 ． （1）求证： 与相切； （2）若 ， ，求阴影部分的面积． 22. 已知二次函数 ， 为常数． （1）当 时，求该二次函数的对称轴； （2）若当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，求 的取值范围； （3）若在该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，求点 到对称轴的距离． 23. 如图，在等腰 中，，点 是延长线上一点， ，过点 作 于点 交 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求线段 的长； （3）若 ， ，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $