精品解析：北京市第五中学分校2025～2026学年度第二学期第二次阶段测评 初二数学

2025～2026学年度第二学期第二次阶段测评初二数学 一、选择题（本题共8小题，共16分）每小题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足最长边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形为直角三角形，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A、三边长为 ，最长边为， ， ， ，不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形，A错误； 选项B、三边长为，最长边为， ，，，不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形，B错误； 选项C、三边长为，最长边为， ，，满足，能组成直角三角形，C正确； 选项D、三边长为 ，最长边为， ，， ，不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形，D错误． 3. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】能与合并的二次根式是化简后被开方数相同的同类二次根式，将各选项化为最简二次根式，判断被开方数即可得到结果 【详解】解：A．，最简后被开方数为，可以与合并； B．，最简后被开方数为，不可以合并； C．，最简后被开方数为，不可以合并； D．，最简后被开方数为，不可以合并 4. 甲、乙、丙、丁四位男同学各进行了10次立定跳远比赛测试，他们的平均成绩、方差如下表，要选拔成绩好且稳定的1名学生参加区级比赛，则应该选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用平均数、方差进行决策，选拔标准为成绩好即平均成绩高，且稳定即方差小，先比较平均成绩选出平均成绩更高的对象，再比较方差选出稳定性更优的对象即可求解． 【详解】解：∵平均成绩越高，代表整体成绩越好，甲、乙的平均成绩为 ，丙、丁的平均成绩为 ， ， ∴优先考虑平均成绩更高的丙和丁； ∵方差越小，成绩越稳定，丙的方差为 ，丁的方差为 ， ， ∴丁的成绩稳定性更优. 综合可得，丁满足成绩好且稳定的要求． 5. 已知点、在一次函数 图象上，且，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的增减性，先比较两点横坐标的大小，结合函数值的大小关系判断一次函数的增减性，再根据一次函数性质得到关于的不等式求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴一次函数 中，随的增大而增大． 根据一次函数的性质，当随增大而增大时，一次项系数大于， 可得， 解得． 6. 的对角线 与相交于点，添加以下条件，不能判定平行四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判定一个平行四边形是否是菱形，在平行四边形这个条件上加上对角线互相垂直，或者一组邻边相等，或者对角线平分一组对角，而对角线相等这个条件只能判定这个平行四边形是矩形，并不是菱形． 【详解】A选项中AC=BD加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是矩形，符合题意； B选项中AC⊥BD加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意； C选项中∠ACD=∠ACB加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意； D选项中BC=CD加上已知条件中的平行四边形可以判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意． 故答案为：A ． 【点睛】本题考查菱形的应用，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键． 7. 如图是反映某场女排决赛中，A、B两队队员拦网高度情况的箱线图，下列说法一定正确的有（ ） ①A队拦网高度下四分位数比B队拦网高度上四分位数大 ②A队拦网高度中位数比B队拦网高度中位数大 ③B队拦网高度中至少有 小于A队拦网高度的最小值 ④A队拦网高度平均数比B队拦网高度平均数小 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查其他统计图的分析，四分位数、结合统计图的数据集中程度和中位数等根据生活实际分析即可解答． 【详解】解：①A队下四分位数=A队箱子下边的高度，B队上四分位数=B队箱子上边的高度，从图中可见： A队下四分位数 B队上四分位数，错误； ②中位数=箱子中间线的高度，从图中可见A队中位数 B队中位数，正确； ③图中可知，B队拦网高度中至少有 的高度是小于A队拦网高度的最小值，正确； ④箱线图只展示中位数、四分位数、最值，无法直接判断平均数，仅从图中无法确定A队平均数一定比B队小，错误． 正确的有②和③即2个． 8. 点P从某四边形的一个顶点A出发，沿着该四边形的边逆时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，点P与该四边形对角线交点的距离为y，表示y与x的函数关系的大致图象如图所示，则该四边形可能是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】通过点P经过四边形各个顶点，观察图象的对称趋势问题可解． 【详解】解：记各个选项中四边形逆时针均记为， A、从 ，，y先减小，再增大，不关于转折点对称；从 ，从，y先减小，再增大；且两部分走势相同，不符合题意； B、从 ，，y先减小，再增大，关于转折点B对称，且每部分关于最低点对称；从 ，从，y先减小，再增大；且两部分走势相同，符合题意； C、从 ，，y先减小，再增大，关于转折点B对称，但每部分不关于最低点对称；从 ，从，y先减小，再增大；且两部分走势相同，不符合题意； D、每个转折点前后图象一致，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，考查学生对动点运动过程中所产生函数图象的变化趋势判断．解答关键是注意动点到达临界前后的图象变化． 二、填空题（本题共8小题，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式的被开方数为非负数求解即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 10. 若一个多边形的内角和与外角和共，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：多边形的内角和是：， 设多边形的边数是， 则， 解得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．多边形的内角和，多边形的外角和等于． 11. 体测数据中7名同学的体重（单位： ）为： ， ， ，， ， ， ，这组数据的平均数是____________． 【答案】46 【解析】 【分析】根据求解即可; 【详解】解：根据题意，得 ． 12. 如图，是的中位线，若的周长为10，则的周长为_________ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，利用三角形中位线定理得的周长为的周长的一半，即可求解；掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：是的中位线， ， 的周长为； 故答案为：5． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 （，为常数， ）的交点为，则关于的不等式 的解集为____________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用直线的解析式确定点 坐标，然后结合函数特征写出不等式 的解集即可． 【详解】解：把代入 得， 解得： ， 当时， ， 即关于的不等式 的解集为． 14. 某地6家企业去年的产值如下表所示． 企业 产值/亿元 将6个数据从小到大排序：，，，，， ．把6个数据按大小顺序分成两组，共有5种情况，分别计算组内离差平方和，如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 从上表可知，这6家企业按组内离差平方和最小的分法对应选择第____________个间隔． 【答案】2或4##4或2 【解析】 【分析】本题只需比较5种分组对应的组内离差平方和的大小，找到最小值对应的间隔即可求解． 【详解】解：将5个组内离差平方和按从小到大排序得： 可知组内离差平方和的最小值为 ，对应第个间隔和第个间隔最小， 这6家企业按组内离差平方和最小的分法对应选择第或个间隔． 15. 如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点 落在 边上的点处，点 的对应点为点，且，则 的长为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】设，连接，，求出 ，然后在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：设， 连接，，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴ . ， ， ∵， ∴ ， 在中，， 在中，， 由折叠的性质得：， ∴， 即， 解得： ， 即． 故答案为：2． 16. 如图，正方形中，为 上一动点（不含、 ），连接 交于，过作交于 ，过 作于，连接，．下列结论：①；②；③；④可能平分，正确的是____________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接，延长交 于点 ．可证，进而可得，由此可得出 ；再由 ，即可得出；连接 交 于点，则，证明，即可得出，进而可得；过点作于点 ，交 于点 ，由于是动点，当时，平分，即可得出可能平分． 【详解】解：如图，连接，延长交 于点 ． ∵ 为正方形的对角线 ∴， 在 和中 ∴ ∴ ， ∵， ， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴故①正确； ∵， ∴ 是等腰直角三角形 ∴故②正确； 连接 交 于点，则 ∵ ∴ 在 和 中 ∴ ∴ ∴故③不正确． 过点作于点 ，交 于点 ，是动点 ∴当时，平分， 可能平分 故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 三、解答题（本题共12小题，共68分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）22 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式计算； （2）根据二次根式的运算法则计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知，求代数式 的值． 【答案】6 【解析】 【分析】对变形，求得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ，即， ∴ ． 19. 如图，在四边形中， 与交于点，，，垂足分别为点，，且， ．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】结合已知条件推知；然后由全等三角形的判定定理 证得，则其对应边相等：；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论． 【详解】证明：， ． ． 在与中， ． ． ． 四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 20. 下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点在上，点 在上，点在 上）； 作法：①作的角平分线，交于点 ；②作线段 的垂直平分线，交于点，交 于点；③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：平分， ， 是线段 的垂直平分线， ，，（_____）（填推理依据） ，， ，， ，， ∴四边形为平行四边形．（______）（填推理依据） ， 为菱形．（_____）（填推理依据） 【答案】（1） （2）线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据题意作的角平分线，交于点 ；作线段 的垂直平分线，交于点，交 于点，连接、． （2）根据垂直平分线的性质，平行四边形以及菱形的判定定理完成填空，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，四边形中， ，，、分别是 、的中点，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，勾股定理，连接，根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线推知，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得，利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵分别是的中点， ∴且， ∴， ∵ ，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中， ， 为 的中点，过点作于点，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若， ，求四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用“一组对边平行且相等”证明四边形是平行四边形，再通过“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”分别证明和都等于的一半，从而得到，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明即可； （2）先在 中利用勾股定理求出斜边的长度，再根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”求出菱形的边长，最后利用“菱形周长边长”即可计算出四边形的周长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，即， 在 中， ， 是中点， ∴， 在中， 是中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在 中，， ， ∴， ∵ 是中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的周长． 23. “618”期间，某商场举行促销活动，活动方案如下：（注：一人只能选择一种方案） 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满100送100”（如：购买199元服装，赠100元购物券；购买200元服装，赠200元购物券） 方案三 “满100减50”（如：购买199元服装，只需付149元；购买200元服装，只需付100元） （1）小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为290元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同（裤子单价高于200元）． ①求裤子的标价； ②请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； （2）小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当 时，关于的函数表达式为____________． （3）小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元（ ）的服装，请直接写出当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 【答案】（1）① 元； ②选择方案三，理由如下： 方案一的花费为： 元， 方案二先买上衣再买裤子或先买裤子再买上衣都能获得200元购物券，总的花费为： 元， 方案三衣服一起满500元减 元，总的花费为： 元， ， ∴应选择方案三； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①设裤子的标价为元，按方案一购买这两种服装的花费是元；按方案二先买上衣花费290元，赠200元购物券，再买裤子的花费是元，根据题意列方程并求解即可； ②根据①，分别计算方案一、方案二先买上衣再买裤子及先买裤子再买上衣、方案三的花费并比较大小即可； （2）根据方案三，当 时，减0元；当 时，减50元；当 时，减100元；当时，减150元解答即可； （3）分别求出当 、 时方案三的费用小于方案一的费用对应的取值范围即可． 【小问1详解】 解：①设裤子的标价为元， 根据题意得， ， 解得 ， 答：裤子的标价为 元； ②略 【小问2详解】 解：当 时，关于的函数表达式为， 当 时，关于的函数表达式为 ， 当 时，关于的函数表达式为 ， 当 时，关于的函数表达式为 ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：当 时，方案一购买需花费 元，方案三需花费元， ， ∴用方案一购买更合算； 当 时，方案一购买需花费 元，方案三需花费元， ∵用方案三购买更合算， ∴ 解得 ， 当 时，两种方案购买花费一样多； 综上，当时，用方案三购买更合算． 24. 为引导学生规范使用 学习工具，某学校信息中心随机抽取40名八年级学生作为样本，统计每人使用 学习某知识的使用时长及成果得分，下面是样本的部分信息： a．使用时长的频数分布直方图，样本使用时长（分钟）分为5组（、、、、） b．使用时长的数据是：30、30、31、31、31、32、32、32、33、33、34、34 c．使用时长不低于35分钟的学生成果得分频数表： 成果得分 10 9 8 7 4 频数 3 5 3 3 2 结合以上信息作答： （1）样本中使用时长的中位数是____________； （2）样本中使用时长不低于35分钟的学生成果得分的众数是____________，平均数是____________； （3）八年级共有800名学生，用样本估计八年级使用时长不低于35分钟的学生约为____________人； （4）为推广学习经验，现已确定3名宣讲员 ， ，，要再从学生 ， ，中选1名宣讲员， 成果得分 10 9 7 10 8 7 则要使4名宣讲员成果得分的离差平方和最小，应选择学生____________． 【答案】（1） （2）， （3） （4）E 【解析】 【分析】（1）利用中位数的定义求解即可； （2）利用众数和平均数的定义求解即可； （3）利用样本估计总体求解即可； （4）离差平方和的定义求解即可． 【小问1详解】 解：总样本40个，中位数是第20、21个数据的平均数． 各组频数： 有2个数据， 有10个数据， 有12个数据， 第 20、21个数据落在这一组， 该组数据为：30、30、31、31、31、32、32、32、33、33、34、34， 中位数 ； 【小问2详解】 解：样本中使用时长不低于35分钟的学生成果得分最多的是9分，众数是9； 平均数是： ； 【小问3详解】 解：样本占比， 估计八年级使用时长不低于35分钟的学生约为：（人）； 【小问4详解】 解：已有 A (10)、B (9)、C(7)，现有候选D(10)、E (8)、F (7)． 离差平方和最小即4个数据方差最小，先算已有3人的均值： ； 选D：数据10，9，7，10，均值 ， 平方和 ； 选E：数据10，9，7，8，均值 ， 平方和 ； 选F：数据10，9，7，7，均值 ， ； ，应选E． 25. 如图，在矩形 中，，，点 是 边上一动点，连接 ，过点 作 的垂线与 ， 分别相交于点，．设 ， 两点间的距离为，，两点间的距离为，，两点间的距离为． 小明根据学习函数的经验对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了，与的几组对应值： ①确定表格中的值为____________（结果精确到）； ②在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数的图象； （2）结合函数图象，回答下列问题： ①当点 与点 ，不重合，且时，____________ （结果精确到）． ②当 时，线段长的取值范围是____________（结果精确到）． 【答案】（1）①；② （2）① ；② ， 【解析】 【分析】（1）①根据 ，即 ，进而证明，得出 ，即 ； ②根据描点连线的方法画函数图象； （2）①根据函数图象找到时，的值，即可求解； ②根据函数图象可得当 时， ， ，即可求解． 【小问1详解】 解：①当 时，即 ， ∵ ∴ ， ∴, ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ，即 ； ②略 【小问2详解】 ①根据函数图象可得：当时， ；即时， ； ②如图，当 时， ， ； 即当 时，线段长的取值范围： ， 26. 已知一次函数 ，其中 ． （1）若点在的图象上，则的值是____________． （2）当时，若函数有最大值8，求的函数表达式； （3）对于一次函数 ，其中 ，若对一切实数，都成立，直接写出的取值范围． 【答案】（1）0 （2） 或 （3）且 【解析】 【分析】（1）把代入解析式列方程求解即可； （2）根据或分情况讨论，再结合一次函数的性质求最大值，最后根据函数有最大值8列方程求解即可； （3）对一切实数，都成立，说明两条直线平行，且一直在下方，即 且 ，再求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在的图象上， ， 解得 ； 故答案为：． 【小问2详解】 解：当，即 时， 随的增大而增大， ∴当时，若，有最大值 ， 把代入 得 ， 解得 ， 此时一次函数解析式为 ； 当，即时， 随的增大而减小， ∴当时，若时，有最大值 ， 把代入 得 ， 解得， 此时一次函数解析式为 综上，的函数表达式为 或． 【小问3详解】 解： ， ∵对一切实数，都成立， ∴两条直线平行，且一直在下方， 且 ， ， 解得且 ． 27. 如图，为正方形外部一点，且，连接 ，，作 于点，交于点，连接 （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示，的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） （3） 证明：如图，连接，作，交延长线于点 ，则， 由（2）可知： ，，， 垂直平分 ， ，， ∵在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， 即 ， ∵在 和 中 ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【解析】 【分析】（1）依题意画图即可；（2）先设，由正方形性质和等腰三角形性质表示出 ，最后根据 消去参数，得；（3）先根据（2）求，从而求得 ，再由（2）求，根据正方形性质求出 ，故 ，再根据正方形四个角都是直角以及边的关系证明出 ，故 ，根据等腰直角三角形性质得出 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在正方形中， ， ， ，， ， 设，则 ， ， ， ． 【小问3详解】 略 28. 对于平面内三个不同的点 ， ，，给出如下定义：若为直角三角形且，则称为线段的关联点，特别的如果，称为线段的强关联点，在平面直角坐标系中，已知， （1）如图1在点，，，中，线段的关联点是_____________________； （2）已知点，． ①如图2，当时，若直线上存在线段的强关联点，求的取值范围； ②如图3，若存在点既是线段的关联点又是线段的强关联点，直接写出 的取值范围是_____________________． 【答案】（1），； （2）①且；②且， ，，，， 【解析】 【分析】（1）直角在 、 时，在竖直线上，逐一验证各点坐标，即可判断； （2）①强关联点需满足直角在 或 ，且，即直角边、．分别推导两种直角下所在直线及横坐标范围，再联立直线，根据交点横坐标的约束列不等式，最终得且；②点需同时是的关联点与的强关联点．的关联点在两条竖线上，分别设的坐标，结合强关联点的直角条件与角度约束列方程与不等式，分四类情况讨论求解，整合范围并排除点重合的特殊值，得且． 【小问1详解】 解：由题意得，为直角三角形且直角顶点是 或，则是线段的关联点， ∵，， ∴是水平线段， 当时，则，为竖直线，即在直线上（ 点除外）； 当时，则，为竖直线，即在直线 上（ 点除外）， ：不在上，不是关联点； ：不在上，不是关联点； ：在 上，且，是关联点； ：在上，且，是关联点； 【小问2详解】 解：①当时，，， 当直角在点 时，即， ∴， 设， ∴，， 又∵ ∴ 解得， ∴当直角在点 时，点在直线上， ∵点G为线段的强关联点， ∴， ∴， ∴，即， 将代入，则， ∵， ∴关于的抛物线开口向上，如图， 令，此时 解得， 由图可得，当时，即时，此时x为， ∴强关联点G是直线上的线段， 同理可得，直角在 时，由，可得， ∵， ∴， ∴ 同理可得， ， ∴强关联点G是直线上 的线段， ∵强关联点G在上， ∴， 解得， ∵， ∴ 解得； ， 解得， ∵ ， ∴ 解得， 综上所述，的取值范围为且； ②由题意得，的关联点G，直角顶点在 或 上， ∴在竖直线（不与 重合）或 （不与 重合）上， 的强关联点G，直角顶点在 或 上，且， 当在竖直线时，设，当直角顶点为点 时，即， ∴， ∵，，， ∴ 解得， ∵， ∴，即， ∴， 同理可得，， 当与重合时， 解得（舍去）； 当与 重合时，（舍去）； 当直角顶点为点 时，即， 由，同理可得，， ∵， ∴，即， ∴， 同理可得，． 当与重合时， 解得（舍去）； 当与 重合时， 解得（舍去）； 当在竖直线 时，设， 当直角顶点为点 时，即， 由勾股定理，同理可得，． ∵， ∴， 同理可得，， 当与重合时， 解得（舍去）； 当与 重合时，（舍去）； 当直角顶点为 时，即， 由勾股定理，同理可得，， ∵， ∴， 同理可得，， 当与重合时， 解得（舍去）； 当与 重合时， 解得（舍去）； 综上所述，t的范围为，． 【点睛】先拆解定义，将“关联点”转化为过线段端点的垂线（直角在端点），“强关联点”增加的约束；解题时按直角顶点分类讨论，联立方程结合范围求解．常见错误：遗漏分类情况、忽略点不可重合的约束、角度与边长转化出错． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期第二次阶段测评初二数学 一、选择题（本题共8小题，共16分）每小题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四位男同学各进行了10次立定跳远比赛测试，他们的平均成绩、方差如下表，要选拔成绩好且稳定的1名学生参加区级比赛，则应该选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 已知点、在一次函数 图象上，且，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 6. 的对角线 与相交于点，添加以下条件，不能判定平行四边形 为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是反映某场女排决赛中，A、B两队队员拦网高度情况的箱线图，下列说法一定正确的有（ ） ①A队拦网高度下四分位数比B队拦网高度上四分位数大 ②A队拦网高度中位数比B队拦网高度中位数大 ③B队拦网高度中至少有 小于A队拦网高度的最小值 ④A队拦网高度平均数比B队拦网高度平均数小 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 点P从某四边形的一个顶点A出发，沿着该四边形的边逆时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，点P与该四边形对角线交点的距离为y，表示y与x的函数关系的大致图象如图所示，则该四边形可能是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 二、填空题（本题共8小题，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 10. 若一个多边形的内角和与外角和共，则这个多边形的边数是______． 11. 体测数据中7名同学的体重（单位： ）为： ， ， ，， ， ， ，这组数据的平均数是____________． 12. 如图，是 的中位线，若 的周长为10，则的周长为_________ ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 （，为常数， ）的交点为，则关于的不等式 的解集为____________ 14. 某地6家企业去年的产值如下表所示． 企业 产值/亿元 将6个数据从小到大排序：，，，，， ．把6个数据按大小顺序分成两组，共有5种情况，分别计算组内离差平方和，如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 从上表可知，这6家企业按组内离差平方和最小的分法对应选择第____________个间隔． 15. 如图，四边形 是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点 落在边上的点处，点 的对应点为点，且，则 的长为____________． 16. 如图，正方形 中， 为上一动点（不含、），连接 交于，过作交 于 ，过 作于 ，连接，．下列结论：①；②；③；④可能平分，正确的是____________（填序号）． 三、解答题（本题共12小题，共68分） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知，求代数式 的值． 19. 如图，在四边形 中， 与交于点，，，垂足分别为点 ，，且， ．求证：四边形 是平行四边形． 20. 下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知： ； 求作：菱形（点 在上，点在 上，点在 上）； 作法：①作的角平分线，交 于点；②作线段 的垂直平分线，交于点 ，交 于点；③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：平分， ， 是线段 的垂直平分线， ，，（_____）（填推理依据） ，， ，， ，， ∴四边形为平行四边形．（______）（填推理依据） ， 为菱形．（_____）（填推理依据） 21. 如图，四边形 中，，， 、分别是、的中点，，求的长． 22. 如图，在 中，，为 的中点，过点作于点 ，点在的延长线上，且，在的延长线上截取，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若， ，求四边形的周长． 23. “618”期间，某商场举行促销活动，活动方案如下：（注：一人只能选择一种方案） 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满100送100”（如：购买199元服装，赠100元购物券；购买200元服装，赠200元购物券） 方案三 “满100减50”（如：购买199元服装，只需付149元；购买200元服装，只需付100元） （1）小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为290元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同（裤子单价高于200元）． ①求裤子的标价； ②请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； （2）小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当 时，关于的函数表达式为____________． （3）小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元（ ）的服装，请直接写出当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 24. 为引导学生规范使用 学习工具，某学校信息中心随机抽取40名八年级学生作为样本，统计每人使用 学习某知识的使用时长及成果得分，下面是样本的部分信息： a．使用时长的频数分布直方图，样本使用时长（分钟）分为5组（、、、、） b．使用时长的数据是：30、30、31、31、31、32、32、32、33、33、34、34 c．使用时长不低于35分钟的学生成果得分频数表： 成果得分 10 9 8 7 4 频数 3 5 3 3 2 结合以上信息作答： （1）样本中使用时长的中位数是____________； （2）样本中使用时长不低于35分钟的学生成果得分的众数是____________，平均数是____________； （3）八年级共有800名学生，用样本估计八年级使用时长不低于35分钟的学生约为____________人； （4）为推广学习经验，现已确定3名宣讲员 ， ，，要再从学生， ，中选1名宣讲员， 成果得分 10 9 7 10 8 7 则要使4名宣讲员成果得分的离差平方和最小，应选择学生____________． 25. 如图，在矩形 中，，，点 是 边上一动点，连接 ，过点 作 的垂线与 ， 分别相交于点 ，．设 ， 两点间的距离为，， 两点间的距离为，，两点间的距离为． 小明根据学习函数的经验对函数，随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了，与的几组对应值： ①确定表格中的值为____________（结果精确到）； ②在同一平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，，并画出函数的图象； （2）结合函数图象，回答下列问题： ①当点 与点 ，不重合，且时，____________ （结果精确到）． ②当 时，线段长的取值范围是____________（结果精确到）． 26. 已知一次函数 ，其中 ． （1）若点在的图象上，则的值是____________． （2）当时，若函数有最大值8，求的函数表达式； （3）对于一次函数 ，其中 ，若对一切实数，都成立，直接写出的取值范围． 27. 如图， 为正方形 外部一点，且，连接 ，，作 于点，交于点 ，连接 （1）依题意补全图形； （2）求的度数； （3）用等式表示，的数量关系，并证明． 28. 对于平面内三个不同的点 ， ， ，给出如下定义：若为直角三角形且，则称 为线段的关联点，特别的如果，称 为线段的强关联点，在平面直角坐标系中，已知， （1）如图1在点，，，中，线段的关联点是_____________________； （2）已知点，． ①如图2，当时，若直线上存在线段 的强关联点，求的取值范围； ②如图3，若存在点 既是线段的关联点又是线段 的强关联点，直接写出 的取值范围是_____________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $