精品解析：北京市第二十四中学2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024−2025学年北京二十四中八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 9 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 关于四边形ABCD：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等．以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 满足下列条件的中，不可以构成直角三角形的是( ) A. ，， B. C. D. 0.9，1.2，1.5 5. 如图，数轴上点表示的数为1，，且，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为（　　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，则边上的高的长为（ ） A. 4 B. C. D. 7. 将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( ) A. ①③⑤ B. ②③⑤ C. ①②③ D. ①③④⑤ 8. 如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 10. 中，对角线交于点O，且﹐若，则的周长为_______． 11. 已知，且，为两个连续的整数，则___________. 12. 在Rt△ABC中，若∠C=90°， ∠A=30°，AC=3，则AB的长为____________． 13. 如图，一架梯子斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面8米，底端距墙面6米，当梯子滑动到与地面成角时，梯子的顶端向下水平滑动了__________米． 14. 将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=_______度． 15. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形的边长为14，正方形的边长为2，且，则正方形的边长为__________． 16. 如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第个正方形的面积是__． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 已知，求的值． 四、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 化简： （1）； （2）； （3）． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知：如图，在四边形中，，，，，. 求四边形的周长. 21. 如图，在中，对角线相交于点O，点E是的延长线上一点，且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求证：四边形是正方形． 22. 如图，是正方形边上一个动点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接． （1）如图1，， ①求的大小； ②求证：； （2）如图2，试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年北京二十四中八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用算术平方根的意义和平方的意义即可得出结论． 【详解】解：∵3， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和算术平方根的意义是解题的关键． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意； B、是最简二次根式，此项符合题意； C、，则不是最简二次根式，此项不符题意； D、，则不是最简二次根式，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键． 3. 关于四边形ABCD：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等．以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】根据平行四边形的判定定理可知①②③可以判定四边形ABCD是平行四边形． 故选C. 4. 满足下列条件的中，不可以构成直角三角形的是( ) A. ，， B. C. D. 0.9，1.2，1.5 【答案】A 【解析】 【分析】A、B、D根据勾股定理判断即可，C、计算出各个角的度数进行判断. 【详解】A、∵ ∴不可以构成直角三角形，本选项符合题意； B、∵，即 ∴可以构成直角三角形，本选项不合题意； C、∵，设∠A=x，则， 则 解得，即 ∴可以构成直角三角形，本选项不合题意； D、∵ ∴可以构成直角三角形，本选项不合题意. 故选A. 【点睛】本题主要考查了两种直角三角形的判定：（1）勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；（2）定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形. 5. 如图，数轴上点表示的数为1，，且，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质求得的长，然后根据圆的性质即可求解，进而即可判断． 【详解】由已知得， ∵，且， ∴在中，， ∵以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点， ∴， ∴点所表示的数为； 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，关键是求出的值，然后根据圆的性质即可求解． 6. 如图，在中，，，，则边上的高的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边长，利用面积桥求CD即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理， ∵CD⊥AB， ∴S△ABC=， ∴． 故选择B． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形面积的不同表示，掌握勾股定理与相关知识是解题的关键． 7. 将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形( ) A. ①③⑤ B. ②③⑤ C. ①②③ D. ①③④⑤ 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：如图示，两块能完全重合的等腰直角三角形纸片，能够拼成平行四边形、正方形、和等腰直角三角形． 故选A 点睛：两块能完全重合的等腰直角三角形纸片，其内角度数分别为45°、45°、90°，因此能够拼成内角为135°、45°、135°、45°的平行四边形，也能够拼成正方形和等腰直角三角形． 8. 如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由勾股定理得，， 即正方形和正方形的面积和为． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握其有意义的条件是解题的关键．根据分式分母不为零，二次根式被开方数大于等于零即可求解． 【详解】解： 在实数范围内有意义， ，且， ． 故答案为： 10. 中，对角线交于点O，且﹐若，则的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AO=CO，由﹐，可证△ABC为等边三角形，由AO=CO=，可得BO⊥AC，在Rt△ABO中，即可． 【详解】解：在中，AO=CO， ∵﹐， ∴△ABC为等边三角形， ∵AO=CO=， ∴BO⊥AC， 在Rt△ABO中，， ∴的周长为AB+BO+AO=2++1=3+． 故答案为：3+． 【点睛】本题考查平行四边形性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，三角形周长，掌握平行四边形性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，三角形周长是解题关键． 11. 已知，且，为两个连续的整数，则___________. 【答案】5 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，得出a，b的值，进而可得出结论． 【详解】∵4＜7＜9， ∴2＜＜3． ∵a、b为两个连续整数， ∴a=2，b=3， ∴a+b=2+3=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意求出a，b的值是解答此题的关键． 12. 在Rt△ABC中，若∠C=90°， ∠A=30°，AC=3，则AB的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设BC=x，则AB=2x，再根据勾股定理求出x的值，进而得出结论． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3， ∴设BC=x，则AB=2x， ∵AC2+BC2=AB2，即32+x2=（2x）2， 解得x=， ∴AB=2x=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 13. 如图，一架梯子斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面8米，底端距墙面6米，当梯子滑动到与地面成角时，梯子的顶端向下水平滑动了__________米． 【答案】3 【解析】 【详解】梯子顶端离地面8米，底端距墙面6米,所以梯子长=， 当梯子滑动到与地面成角时，所以顶端距离地面是5米，梯子向下滑动了8-5=3米. 14. 将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=_______度． 【答案】52 【解析】 【详解】解：由折叠得∠3=64°， ∴∠2=180°-64°-64°=52° ∵a∥b， ∴∠1=∠2=52° 故答案为：52 15. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形的边长为14，正方形的边长为2，且，则正方形的边长为__________． 【答案】10 【解析】 【详解】（14×14﹣2×2）÷8=（196﹣4）÷8=192÷8=24 24×4+2×2=96+4=100 =10． 即正方形EFGH的边长为10． 故答案为10． 16. 如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第个正方形的面积是__． 【答案】 【解析】 【分析】观察可得，后一个正方形的对角线是前一个正方形的边长，根据正方形的面积等于边长的平方，也可以利用对角线乘积的一半求解，所以后一个正方形的面积等于前一个正方形的面积的一半，依此类推即可求解． 【详解】解：第1个正方形的边长是1，所以面积是1， 第2个正方形的对角线是第一个正方形的边长，是1，所以面积是， 第3个正方形的对角线是第2个正方形的边长，所以面积是， 依此类推，后一个正方形的面积是前一个正方形的面积的一半， ∴第个正方形的面积是． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简、完全平方公式.根据完全平方公式把已知等式变形，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 四、解答题：本题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知：如图，在四边形中，，，，，. 求四边形的周长. 【答案】 【解析】 【分析】由等角对等边得出，由勾股定理得出，过点作交于点，由三角函数的性质可得出，,，，进而即可得解．  【详解】解：∵ ， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴由勾股定理解得：， ∵ ， ∴， 过点作交于点， ∴ ， 在中，，，， ∴, ， ∴， ， ∴ ， 在中，，， ∵ ， ∴, ， ∴ ， ∴四边形的周长． 21. 如图，在中，对角线相交于点O，点E是的延长线上一点，且是等边三角形． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求证：四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查菱形的判定、正方形的判定，要灵活应用判定定理． （1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．进而利用菱形的判定证明即可； （2）根据有一个角是的菱形是正方形，进而根据菱形和正方形的判定证明即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即O是的中点，是的中线， ∵是等边三角形， ∴， 即， ∴是菱形，即四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵是等边三角形， ∴ 由（1）知， ∴，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是菱形， ∴， ∴菱形是正方形，即四边形是正方形． 22. 如图，是正方形边上一个动点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接． （1）如图1，， ①求的大小； ②求证：； （2）如图2，试猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）①45°；②见解析；（2）BE=CF，证明见解析 【解析】 【分析】（1）①由，得，根据线段与关于直线对称，可得，，从而，，即得，故； ②过作于，由是等腰直角三角形，得，由，得，即有，从而可证明； （2）设，可证得；由四边形是正方形，可得，，根据线段与关于直线对称，得，，证明△BFC≌△BGA，得到CF=AG，设BE=2BK=2a，证明四边形BGNK为矩形，得到GN=BK，再利用等腰直角三角形的性质得到AG，即可判断AG与BE，即CF与BE的关系． 【详解】解：（1）①四边形是正方形， ，， ， ， 线段与关于直线对称， ，， ，， ， ； ②过作于，如图： 由①知：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ； （2）设∠BAP=x， ∴∠DAP=90°-x， ∵线段AE与AD关于直线AP对称， ∴∠DAP=∠EAP=90°-x，AD=AE， ∴∠BAE=∠EAP-∠BAP=90°-2x，AB=AE， ∴∠E=∠ABE==45°+x， ∴∠AFE=180°-∠EAP-∠E=180°-（90°-x）-（45°+x）=45°， 如图，过点A作AK⊥EF于K，过点B作BG⊥AF，交AF于G，过点G作GN⊥AK于N点， ∵∠AFE=45°， ∴BF=BG， ∵∠FBG=∠ABC=90°， 即∠CBF+∠CBG=∠CBG+∠ABG， ∴∠CBF=∠ABG，又BC=AB， ∴△BFC≌△BGA（SAS）， ∴CF=AG， ∵AB=AE，AK⊥BE， 设BE=2BK=2a， ∵∠GBK=∠BKA=∠KNG=90°， ∴四边形BGNK为矩形， ∴GN=BK=a， ∵∠AFE=45°，∠ANG=90°， ∴GA=GN=a， ∴BF=CF． 【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及对称变换、等腰直角三角形的判定及性质的应用，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是证明，其大小是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $