北京市海淀区清华大学附中2024—2025学年下学期八年级期末数学练习卷

北京市海淀区清华大学附中 八年级（下）期末数学练习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.第三十三届夏季奥林匹克运动会将于年月日至月日在法国巴黎举行下面年巴黎奥运会的项目图标，其中不是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，一次函数与一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 3.将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，能得到抛物线的是(    ) A. B. C. D. 4.乒乓球是我国的国球，也是世界上流行的球类体育项目，年在奥运会、世乒赛、世界杯三大赛事中，我国女队成绩斐然．现就历届名将与其对应身高如表所示： 乒乓球名将 邓亚萍 张怡宁 王楠 丁宁 陈梦 孙颖莎 刘诗雯 身高 这些乒乓球名将身高的中位数和众数是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，年月至月，新能源车月销量由万辆增加到万辆设年月至月新能源车销量的月平均增长率为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.已知：如图，中，根据作图痕迹判断四边形是(    ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 8.如图，下列条件中，能判断的条件有(    ) ；；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9.如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为，则的半径为(    ) A. B. C. D. 10.已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，共32分。 11.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是______． 12.关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 13.如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是______． 14.一次数学实践活动中，小组的综合成绩由小组自评、组间互评和教师评价三部分组成各部分成绩均按百分制计，然后再按小组自评占、组间互评占、教师评价占，计算小组的综合成绩甲、乙两个小组各部分的成绩如表所示，则______组的综合成绩更高填“甲”或“乙”． 小组 小组自评 组间互评 教师评价 甲组 乙组 15.如图，在菱形中，，交于点，于点，连接，若，，则菱形的面积为______． 16.如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，若点的对应点恰好落在边上，，交于点，设，则的度数是______用含有的式子表示． 17.二次函数的部分图象如图所示，该图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是，图象与轴交点的横坐标分别为，，且满足根据以上信息，给出下面四个结论： ； ； 当时，； 抛物线上有两点，若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 18.已知二次函数在范围内的最小值不小于，则实数的取值范围是______． 19.如图，是等腰直角三角形的边的中点，且，是平面内一动点，且与点之间的距离为，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则的最小值为______． 20.如图，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图的菱形不重叠、无缝隙，若，则的长为______． 三、解答题：本题共9小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 用适当的方法解下列一元二次方程 ； ． 22.本小题分 试证明关于的方程，不论为何值时，该方程都是一元二次方程． 23.本小题分 在平面直角坐标系中，为原点，边长为的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，现将正方形绕点顺时针旋转． 如图，当点的对应的落在直线上时，点的对应坐标为______；点的对应点的坐标为 ______； 旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点，当点第一次落在直线上时，停止旋转．  如图，在正方形旋转过程中，线段，，三者满足什么样的数量关系？请说明理由；  当时，求内切圆的半径直接写出结果即可 24.本小题分 某班级为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔，到文教店查看定价后发现，购买支钢笔和支自动铅笔共需元，购买支钢笔和支自动铅笔共需元． 求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价分别是多少元； 经协商，文教店给予该班级购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠，如果该班级需要自动铅笔的支数是钢笔的支数的倍还多支，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用少于元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？ 25.本小题分 在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线． 抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和，求该抛物线的解析式； 设，当时；当时已知时，． 求的值； 当时，求的取值范围． 26.本小题分 已知一次函数的图象经过点． 求的值； 若点在这个函数的图象上，求点的坐标； 判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 27.本小题分 二次函数的图象经过，交轴于点，与反比例函数的图象交于点，，为反比例函数图象上一动点． 求的值； 若面积为，求点坐标． 28.本小题分 如图，四边形中，，，，于点，，将与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点与重合，点在上，其中，，． 求证：≌； 若从图的位置出发，沿着方向向右平移，当点到达点后停止平移在平移过程中，当边恰好经过点时如图，求此时平移的距离． 若在中的平移结束后开始绕点逆时针旋转，如图，与交于点，与交于点，当时，请直接写出旋转的度数． 29.本小题分 如图，平面直角坐标系中，直线：交 轴于点，交 轴于点直线 交于点，交  轴于点，是直线 上一动点，且在点的上方，设 ． 求直线的解析式和点的坐标； 求的面积用含 的代数式表示；      当时，以为边在第一象限作等腰直角三角形，请直接官出点的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：选项B、、中的图形能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项A中的图形不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 故选：． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此逐一判断即可得到答案． 本题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键． 2.【答案】  【解析】【分析】 结合函数图象，写出一次函数图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可． 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【解答】 解：一次函数与一次函数的图象相交于点， 当时，， 即关于的不等式的解集是． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：，其顶点坐标为． 向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后的顶点坐标为，原抛物线的解析式是． 故选：． 根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式． 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4.【答案】  【解析】解：把数据从小到大的顺序排列为：，，，，，，； 在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是． 处于中间位置的数是，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是． 故选：． 根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数． 此题考查中位数与众数的意义，掌握基本概念是解决问题的关键． 5.【答案】  【解析】解：根据题意得：． 故选：． 利用年月新能源车的月销量年月新能源车的月销量年月至月新能源车销量的月平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：根据题意知，该抛物线的对称轴是直线， 由抛物线的轴对称性质推知抛物线与轴的另一交点坐标是，则： 由，得． 所以． 故选：． 根据抛物线的轴对称性质求得抛物线与轴的另一交点坐标是，利用抛物线与轴的交点坐标列出关于系数的方程组，然后消去，通过整理即可求得答案． 本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题过程中，注意不需要求得、的值，而是巧妙地运用方程组的消元思想求解． 7.【答案】  【解析】解：设，交于点． ， ， 由作图可知平分，， ， ， ， ≌， ， ， 四边形是平行四边形． 故选：． 证明≌，推出，可得结论． 本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 8.【答案】  【解析】解：， 同位角相等两直线平行； ， 内错角相等两直线平行； ， 同旁内角互补，两直线平行； ，， ， 同旁内角互补，两直线平行； 故选：． 根据平行线的判定定理分别进行分析即可． 此题主要考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定定理． 9.【答案】  【解析】【分析】 连接并延长，交于，连接，根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【解答】 解：连接并延长，交于，连接， 设的半径为，则， 边与相切， ， 四边形为正方形， ， ， ， 在中，，即， 解得：， 的半径为， 故选：． 10.【答案】  【解析】解：由题意得，，， 解得，， 则的值为． 故选：． 根据非负数的性质列出算式求出、的值，根据乘方运算法则计算即可． 本题考查的是非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为． 11.【答案】  【解析】解：点关于原点的对称点坐标为， 故答案为：． 根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数即可求解． 此题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：由题意， ， 解得． 故答案为：． 根据判别式的值，构建方程求解． 本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： 当时，方程有两个不相等的两个实数根； 当时，方程有两个相等的两个实数根； 当时，方程无实数根． 13.【答案】  【解析】解：如图所示：连接和，作和与的垂直平分线，交于点， 观察图形可知， 旋转中心的坐标是， 故答案为：． 先连接和，根据旋转中心是两个图形中对应点的连线的垂直平分线的交点，作和与的垂直平分线，交于点即可． 本题主要考查了坐标与图形变化旋转，解题关键是熟练掌握旋转中心是两个图形中对应点的连线的垂直平分线的交点． 14.【答案】乙  【解析】解：甲小组的综合成绩为：分， 乙小组的综合成绩为：分， 乙组的综合成绩更高． 故答案为：乙． 根据加权平均数：加权平均值即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数；分别计算即可． 本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：四边形是菱形， ， 于点， ， ， 菱形的面积． 故答案为：． 由菱形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质推出，于是求出菱形的面积． 本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出，掌握菱形的面积公式． 16.【答案】  【解析】解：由旋转得，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 由旋转得，，则，由，得，而，推导出，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出及是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：由题意可得：， ， ，故结论正确． 根据图象可得：抛物线与轴的一个交点在和之间，抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在和之间． 当时，， ，， ， ，故结论正确． ，， 抛物线的解析式为， 当时，，当时，． ， ，且抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 抛物线的对称轴是直线， 抛物线的最大值为； 又当时，， 当时，，结论错误； 抛物线的对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点坐标为． 抛物线的开口向下， 抛物线在对称轴的左侧，随的增大而增大，抛物线在对称轴的右侧，随的增大而减小， ，则或，故结论错误． 故答案为：． 依据题意，由抛物线的对称轴可得，进而判断结论；根据抛物线的对称性得出抛物线与轴的另一个交点在和之间，结合函数值得出，进而判断结论；根据抛物线的增减性，函数值可判断结论；根据抛物线的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，结合抛物线的增减性即可得出时，或，进而判断结论． 本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程跟的判别式等．解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 18.【答案】  【解析】解：二次函数在范围内的最小值不小于， 抛物线的对称轴为直线， 当时，；当时，；当时，； 当时，在对称轴的右侧，函数值随自变量的增大而增大， 而此时，则函数在范围内的最小值不小于，故满足题意； 当时，函数在内取得最小值， 由题意，只需满足，解得：， 即； 当时，在对称轴的左侧，函数值随自变量的增大而减小， 由题意，只需满足，解得：， 故这样的不存在； 的取值范围为． 故答案为：． 确定出抛物线的对称轴，分三种情况考虑即可． 本题考查了二次函数的图象与性质，分类讨论，正确记忆相关知识点是解题关键． 19.【答案】  【解析】解：连接，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，， 由旋转性质得， ≌，是等腰直角三角形， ，，则点在以为圆心，为半径的圆上运动， ， 当、、共线时，最小，最小值为， ， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 连接，，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导≌，是等腰直角三角形，则，，根据圆的定义可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，进而可知当、、共线时，最小，最小值为，根据等腰直角三角形的性质求得值即可求解． 本题考查旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 20.【答案】  【解析】解：四边形是菱形， ， ，，，， ， ， ，， ， 负值舍去， ，， 过作于， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 根据菱形的性质得到，求得，，，，根据勾股定理得到，，过作于，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理求得，，于是得到结论． 本题考查了菱形的性质，三角形的面积，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键． 21.【答案】解：因为， 所以， 即， 或， 解得，； 因为， 所以， 即或， 所以，．  【解析】先移项，再提公因式，然后运用因式分解法进行解方程，即可作答； 运用因式分解法进行解方程，即可作答． 本题考查了解一元二次方程，涉及因式分解法解一元二次方程，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22.【答案】证明：， ， ， 无论取何实数关于的方程都是一元二次方程．  【解析】要证明无论取何实数这个方程都是一元二次方程，只要说明无论为什么值时的值都不是，可以利用配方法来证明． 本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 23.【答案】； 结论：； 理由：延长交轴于点， 则，， ， 又，， 在和中， ， ≌， ，， 在和中 ， ≌． ． ， ．  【解析】解：如图中，作于． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 旋转角为， 在轴上， ， 故答案为，； 结论：； 理由：延长交轴于点， 则，， ， 又，， 在和中， ， ≌， ，， 在和中 ， ≌． ． ， ， ，， ， ，， ， 设，则， 在中，， 解得或舍弃， ，， 的内切圆半径． 如图中，作于易知是等腰直角三角形，点在轴上，由此即可解决问题； 结论：；延长交轴于点，由≌，推出≌，可得，推出； 利用中结论，求出、、，根据的内切圆半径计算即可； 本题考查可知正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内切圆半径等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，记住直角三角形的内切圆的半径，属于中考压轴题． 24.【答案】解：设该品牌的钢笔每支的定价是元，自动铅笔每支的定价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：该品牌的钢笔每支的定价是元，自动铅笔每支的定价是元； 设该班级可以购买支该品牌的钢笔，则可以购买支该品牌的自动铅笔， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为． 答：该班级最多可购买支该品牌的钢笔．  【解析】设该品牌的钢笔每支的定价是元，自动铅笔每支的定价是元，根据“购买支钢笔和支自动铅笔共需元，购买支钢笔和支自动铅笔共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设该班级可以购买支该品牌的钢笔，则可以购买支该品牌的自动铅笔，利用总价单价数量，结合总价少于元，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 25.【答案】解：由题意，抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和， 两个交点为，． 又代入，得， ． ． 由题意，， 又当时时，， 的对称轴是直线． ． 由题意，． 代入得， 代入得， 两式相减得， 化简得． 或．  【解析】依据题意，由抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和，从而可得两个交点为，，又代入，得，计算即可得解； 依据题意，由，又当时时，，可得的对称轴是直线，计算即可得解； 依据题意，，代入得，再代入得，进而两式相减得，化简得，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 26.【答案】解：把点的坐标代入一次函数得： ， 解得：； 由得：一次函数的关系式为． 把代入得：， 的坐标为； 当时， ， 点在该函数图象上．  【解析】把点的坐标代入一次函数可求出的值； 确定函数的关系式，再把的坐标代入，求出的值，进而确定点的坐标； 将点的坐标代入检验即可． 考查一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法． 27.【答案】；   点坐标为或．  【解析】一次函数的图象经过， ，解得， ， 令，则， ， ， 作轴于，则， ∽， ， ， ， ，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ； 作轴于，轴于， 设， 当时，如图， 则， 整理得， 解得，舍去， 此时； 当时，如图， 则， 整理得， 解得，舍去， 此时； 综上，点坐标为或． 把的坐标代入一次函数解析式求得，即可求得的坐标，然后通过证得∽，求得点的坐标，代入即可求得的值； 分两种情况讨论，根据面积为，列出关于的方程，解方程求得的值，即可求得点的坐标． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图图象上点的坐标特征，三角形面积，分类讨论是解题的关键． 28.【答案】证明：，， ， ， ， ，， ≌． 解：， ， 在中，，， 设，则， ，解得：， 答：此时平移的距离为． 解：， ， ， ； 如图：在中，，， 延长至，使，则， 设，则，， ， 锐角， ， 旋转的度数为．   【解析】先说明，再根据即可证明结论； 先说明是直角三角形，再设，则，然后运用勾股定理即可解答； 先算出，进而说明，然后作辅助图说明，最后结合图形即可解答． 本题主要考查了全等三角形的判定、勾股定理、解直角三角形等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 29.【答案】解：经过， ，  直线的解析式是  当时，，解得，  点  过点作，垂足为，则有，    时，，在点的上方，  ，    由点，可知点到直线的距离为，即的边上的高长为，  ，  ；  以为边在第一象限作等腰直角三角形，点的坐标是或或    【解析】 本题考查了一次函数的知识，考查了一次函数与等腰直角三角形的综合运用． 把的坐标代入直线的解析式，即可求得的值，然后在解析式中，令，求得的值，即可求得的坐标；  过点作，垂足为，求得的长，即可求得和的面积，二者的和即可求得； 当时，，解得，则，然后分、、分别是直角顶点求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$