精品解析：上海市桃浦中学2025-2026学年高二第二学期期末数学试卷

上海市桃浦中学2025学年第二学期 高二年级数学学科 期末试卷 一．填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设直线的倾斜角为． 由直线化为，故， 又，故，故答案为． 【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是． 2. 焦点为的抛物线的标准方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意设出抛物线的方程，再根据焦点坐标求出即可得出答案. 【详解】由题意设抛物线的方程为 ， 由焦点为，则，则， 所以抛物线的方程为： . 故答案为： . 3. 若直线与平行，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行列方程求解 的值，检验平行即可. 【详解】若直线与平行， 则，解得，经检验能使得直线. 故答案为：. 4. 已知数列为等比数列，且 ，公比 ，则该数列的前5项的和等于______. 【答案】93 【解析】 【详解】由等比数列的前 项和公式， 得 . 5. 从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据组距即可求解. 【详解】第一组下限为151.5，组距为3，所以， 故第11组的下限为181.5，因此组数为11， 故答案为：11 6. 过点且与直线 垂直的直线方程为_______. 【答案】 【解析】 【详解】直线 的斜率为 ， 设待求直线斜率为，则由题意，得 ，解得. 所以待求直线方程为，即 . 7. 现从编号为01 ， 02 ，... ，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第5支水笔的编号为______________. 39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263 【答案】31 【解析】 【详解】从随机数表第9个数字开始，两个数字一组，超过50的和与前面重复的舍弃， 即39，35，32，11，31，故抽取的第5支水笔的编号为31. 8. 过点的直线被圆截得的最短弦长为________ 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆的圆心与半径，计算点到圆心的距离，利用“直线与圆心和点的连线垂直时弦长最短”的结论，结合弦长公式计算最短弦长. 【详解】圆的圆心为 ，半径 . 点到圆心 的距离为. 当直线与 垂直时，圆心到直线的距离最大（等于），此时弦长最短. 最短弦长为. 故答案为：. 9. 抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点.设抛物线的方程为 ，一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线 于一点，这点的纵坐标为8.则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为 ______. 【答案】与 平行的向量均可 【解析】 【分析】先求出反射光线所在直线的一个方向向量，然后设反射光线所在直线的法向量，建立等式求解即可得到答案. 【详解】 抛物线方程为，所以， ，所以焦点坐标为. 已知入射点纵坐标为，代入抛物线方程得，解得 ，即入射点为. 根据抛物线光学性质，反射光线经过焦点，因此反射后直线过和， 所以反射光线所在直线的一个方向向量. 设反射光线所在直线的法向量， 则，则，因此该直线的一个法向量可取为. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点 在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求出直线的方程，再与双曲线方程联立求出点 的坐标，即可根据三角形的面积公式求出的面积. 【详解】双曲线的焦点，渐近线方程为， 依题意，直线的方程为， 由，解得，则点 的坐标为， 所以的面积为. 故答案为： 11. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，再由，可求得，在△中由余弦定理可得，再根据双曲线及离心率的定义可求出离心率． 【详解】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设， 因为是抛物线的焦点，∴ ∵，∴， 在△中，由余弦定理得， ∴， 即，解得 又∵和是双曲线的左、右焦点， ∴， ∴. 故答案为： . 12. 关于曲线，则以下结论正确的为 ______（填序号）. ①曲线关于原点对称； ②曲线中； ③曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形； ④曲线是不封闭图形，且它与圆无公共点. 【答案】①④ 【解析】 【分析】以替换 ，以替换 方程不变判断①；根据方程求出 的范围判断②；由两曲线的对称性判断③；联立方程组判断④． 【详解】以替换 ，以替换 ，得，即， 所以曲线关于原点对称，故①正确； 由，得， 所以，解得，. 故②不正确. 当时，可化为. 由，得，. 所以当且仅当时，. 此时，所以方程组无解， 即曲线与曲线在第一象限无交点， 又曲线与坐标轴无交点，且曲线与曲线均关于 轴和 轴对称， 所以曲线与曲线无交点，故③不正确. 由，得，. 所以曲线是不封闭图形. 由，得，即， 显然方程无解，所以曲线与圆无公共点. 故④正确. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A选项，，所以不是等差数列，A错误； B选项，，故不是等比数列，B错误； C选项，，不是等差数列，，也不是等比数列，C错误； D选项，为公差为0的等差数列，也是公比是1的等比数列，D正确. 14. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是 A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】首先将圆方程化成标准形式，求出圆心为；当抛物线焦点在 轴上时，设 ，将圆心代入，求出方程；当抛物线焦点在 轴上时，设，将圆心代入，求出方程. 【详解】∵圆的标准形式为 ∴圆心为 ∵抛物线以原点为顶点，且过圆心 ∴当抛物线焦点在 轴上时，设 ，将圆心代入，即，，此时抛物线的方程为； 当抛物线焦点在 轴上时，设，将圆心代入，即，，此时抛物线的方程为. 故选D. 【点睛】本题考查了抛物线和圆的标准方程，解题本题是需注意抛物线的位置有在 轴和 轴两种情况，属于基础题． 15. 在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（ ）． A. 一条线段 B. 一条射线 C. 一个椭圆 D. 双曲线的一支 【答案】B 【解析】 【分析】由判断出正确答案. 【详解】依题意，、是两个定点，P是一个动点， 且 满足，所以动点P的轨迹是一条射线. 如图所示， 在线段的延长线上. 故选：B 16. 已知数列的前 项和为，设（ 为正整数）.若存在常数 ，使得任意两两不相等的正整数，都有，则称数列为“轮换均值数列”.现有下列两个命题：①任意等差数列都是“轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列是“轮换均值数列”.则下列说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①､②都是真命题 D. ①､②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，对于①，设等差数列的公差为 ，由等差数列的性质可得可得，即可得①正确；对于②，设等比数列的公比为 ，由等比数列的通项公式分析，可得，可得②不正确，综合即可得答案. 【详解】对于①，设等差数列的公差为 ，则， 代入 可得 ，即可得到，①正确； 对于②，设等比数列的公比为 ，则， 代入， 可得 要使其为常数，化简后会发现很难对于任意的都满足为常数（因为公比）， 故不存在公比不为1的等比数列是“轮换均值数列. ②不正确. 故选：A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17~19题每题14分，第20、21题每题18分） 17. 某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示. 花费时间 （分钟） 时间等级 一级 二级 三级 （1）试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； （2）已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； （3）求男生上学路上花费时间的第25百分位数与第50百分位数. 【答案】（1）极差为 ，中位数为 . （2） 人 （3）17； 【解析】 【分析】（1）根据极差及中位数定义求解即可. （2）根据分层抽样方法及用频率估计概率求解即可. （3）根据百分位数的定义及求解步骤求解即可. 【小问1详解】 极差为 ，中位数为 ， 故这10名女生上学路上花费时间的极差为37，中位数为29. 【小问2详解】 高二年级中男生共有 人，由茎叶图知，上学路上花费时间不超过40分钟的男生占， 所以可估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数为 人. 【小问3详解】 因为 ，所以第25百分位数即为从小到大排列数中第3个数，即17. 因为 ，所以第50百分位数即为从小到大排列数中第5个与第6个的平均值，即 . 18. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . （1）求的面积； （2）若直线交于两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，再根据公式求解即可. （2）联立两方程，根据韦达定理以及弦长公式求解即可. 【小问1详解】 椭圆 的方程为 ，所以 ，则 .所以椭圆 的面积 . 【小问2详解】 联立，得 . 设，则. 所以. 19. 王老师将全班40名学生的高二数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将 记作第一组，、、、 分别记作第二、三、四、五组.已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. （1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （2）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差. 【答案】（1） （2）估计成绩在第二组和第四组所有学生成绩的方差是 【解析】 【分析】（1）根据第一组、第二组的频率之和为0.3，且第一组和第五组的频率相同，结合所有频率之和为1可求得的值，由各组中点值与频率乘积的和可求得平均数； （2）根据分层方差和总体方差的关系式可求第二组和第四组所有学生成绩的方差. 【小问1详解】 由题意得 ，解得 . 所以此次考试成绩的平均值为. 【小问2详解】 由题意，第二组、第四组分别有10人和8人.设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为 ， 则 ， ， 所以成绩在第二组和第四组的所有学生成绩的平均数为 . 方差为 . 则可估计成绩在第二组和第四组所有学生成绩的方差是. 20. 已知抛物线，，直线 交抛物线于点 、，交抛物线于点、，其中点 、位于第一象限． （1）若点 到抛物线焦点的距离为2，求点 的坐标； （2）若点 的坐标为，且线段 的中点在 轴上，求原点 到直线 的距离； （3）若，求 与 的面积之比． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义根据其方程得出准线，由定义得出抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，或通过焦半径公式，即可得出点 的横坐标，代入方程得出纵坐标，根据点所在的象限得出其坐标； （2）设，得出线段AC的中点坐标，根据已知列式，代入方程得出点的坐标，即可由两点式得出直线 的方程，即可由点到直线的距离公式得出答案； （3）设直线 的方程为 ，设，根据已知与方程的联立与韦达定理得出，，，设原点 到直线 的距离为 ，由弦长公式与三角形面积公式的出，即可代入化解得出答案. 【小问1详解】 抛物线 的准线为 ， 因为点 到抛物线焦点的距离为2， 所以点 到抛物线准线的距离为2， 所以点 的横坐标为1， 代入方程的，解得， 因为点 位于第一象限， 故点 的坐标为. 【小问2详解】 设，则线段AC的中点坐标为 因为线段 的中点在 轴上， 所以，故， 代入方程得，解得，所以， 所以直线 的方程为：，整理得： 所以原点O到直线l的距离 【小问3详解】 由题意，直线 的斜率显然存在且， 设直线 的方程为 ， 设 由，得， 由，得：， 因为直线 与抛物线交于点 、， 所以，即，且，， 同理，，， 所以，， 由①，②得：，代入③得，代入②得 设原点 到直线 的距离为 ， 所以. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线中的三角形面积问题一般转化为弦长问题与点到直线距离问题，使用弦长公式利用直线与圆锥曲线联立得出的二次方程由韦达定理转化. 21. 已知双曲线的中心位于坐标原点 ，焦点，分别在 轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点 ． （1）求的方程； （2）若点 在 轴上，且为直角，求点 的坐标； （3）设动直线平行于 ，与交于点 ，，与交于点 ，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在符合题意. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦距确定c，渐近线斜率确定，结合求出，进而得到双曲线方程. （2）联立直线与双曲线，由判别式得以确定 点坐标，设 点坐标后，利用向量垂直的数量积为0求解 的坐标. （3）先确定直线的方程，联立与双曲线得韦达定理，联立与得 点坐标，计算和并化简对比，得出常数的值. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 联立，消去 并化简得， 由题意可得，解得 ，因为 ， 所以，代入上式，解得， 所以，设， 因为为直角， 所以， 解得或 ， 所以或. 【小问3详解】 ，设，， 联立，消去 并化简得， ， ， 联立，解得， 所以， ， 代入 点坐标及韦达定理得 ， ， 所以，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市桃浦中学2025学年第二学期 高二年级数学学科 期末试卷 一．填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 直线的倾斜角为______． 2. 焦点为的抛物线的标准方程为___________． 3. 若直线与平行，则 _______． 4. 已知数列为等比数列，且 ，公比 ，则该数列的前5项的和等于______. 5. 从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm，最小值152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为________． 6. 过点且与直线 垂直的直线方程为_______. 7. 现从编号为01 ， 02 ，... ，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第5支水笔的编号为______________. 39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263 8. 过点的直线被圆截得的最短弦长为________ 9. 抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点.设抛物线的方程为 ，一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线 于一点，这点的纵坐标为8.则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为 ______. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上的点在第一象限，且与双曲线的一条渐近线平行，则的面积为__________． 11. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 12. 关于曲线，则以下结论正确的为 ______（填序号）. ①曲线 关于原点对称； ②曲线 中； ③曲线 与曲线有4个交点，这4点构成正方形； ④曲线 是不封闭图形，且它与圆无公共点. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（ ） A. B. C. D. 14. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是 A. 或 B. C. 或 D. 或 15. 在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（ ）． A. 一条线段 B. 一条射线 C. 一个椭圆 D. 双曲线的一支 16. 已知数列的前 项和为，设（ 为正整数）.若存在常数 ，使得任意两两不相等的正整数，都有，则称数列为“轮换均值数列”.现有下列两个命题：①任意等差数列都是“轮换均值数列”.②存在公比不为1的等比数列是“轮换均值数列”.则下列说法正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①､②都是真命题 D. ①､②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17~19题每题14分，第20、21题每题18分） 17. 某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示. 花费时间 （分钟） 时间等级 一级 二级 三级 （1）试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数； （2）已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数； （3）求男生上学路上花费时间的第25百分位数与第50百分位数. 18. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（ 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆 . （1）求 的面积； （2）若直线交 于两点，求. 19. 王老师将全班40名学生的高二数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将 记作第一组，、、、 分别记作第二、三、四、五组.已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. （1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （2）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差. 20. 已知抛物线，，直线 交抛物线于点、 ，交抛物线于点 、 ，其中点、 位于第一象限． （1）若点到抛物线焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且线段 的中点在轴上，求原点 到直线 的距离； （3）若，求 与 的面积之比． 21. 已知双曲线的中心位于坐标原点 ，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． （1）求的方程； （2）若点 在 轴上，且为直角，求点 的坐标； （3）设动直线平行于 ，与交于点， ，与交于点 ，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $