上海市光明中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025~2026学年光明中学高二下期末考试数学试卷 一、填空题（体大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分） 1.抛物线x2=4y的准线方程为 2.若直线x-qy+2a=0的一个法向量为(3，-2)，则实数a的值为 3.一质点沿直线运动，位移s(单位：m)与时间1（单位：s)之间的关系为s()=-22+21+3,则该质 点在t=2时的瞬时速度为 m/s. 567) 4.已知随机变量X的分布为 020.30.5则期望可= 5.为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H: 患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量x2≈3.468，则可推断 原假设Ho.(填 “拒绝”或接受”，规定显著性水平a=0.1,P(x2≥2.706)≈0.1.) y=-x+8 6.若随机变量X满足D(X)=0.6,则D(3X+2)=」 7.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=x18,则 f(2026)+f'(2026)=. 2026 8.一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率 9。函数了儿)-mr2+x-有两个极值点，则实数m的取值范闲为 10.已知描圆等+茶=1(Q>b>0)的左焦点为，右焦点为5，若椭圆上存在一点P,满足线段P阳与 3 以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段PF,的中点，则该椭圆的离心率为 11.掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即 抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于 10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度α的最大值为·（精确到0.1）. 10 第1页共5页 12.2026年10月，光明中学将迎来140周年华诞.现将矩形操场分割为40个单位正方形，M1，,M2,M, M4,M五个点在正方形的顶点处，构成字母“M”,四个标记为△的点也在正方形的顶点处，设集合 G={M,M2,M,M,M},点M∈G,过点M作直线lM,使 得不在IM上的△的点分布在lw的两侧用D,(IM)和D2(M)分 别表示lM一侧和另一侧的△的点到1M的距离之和若过点M 的直线lM中有且仅有一条直线满足D,(LM)=D2(LM),则G中 所有这样的M为 二、单选题（体大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第1516题每题5分） 13.如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明( A.两种证券的收益有反向变动的倾向 B.两种证券的收益有同向变动的倾向 C.两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D.两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 14.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，下列说法错误的是( A.y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零 y=f(x) B.点x=1是函数y=f(x)的极值点 C.y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增 D.点x=-2是函数y=f(x)的极小值点 15.已知双曲线C:女_上=1，点M(4,6),点A、B分别在双曲线C的左、右两支上，则向量、MB 49 的夹角0( A.有最大值，但无最小值 B.无最大值，但有最小值 C.既有最大值，又有最小值 D.既无最大值，又无最小值 6椭圆具有如下光学性质：如图，F一G0,G0)分别是椭圆。+片的左，右焦点，从点5发出 的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点F,有以下两个命题： 第2页共5页 @若P是精网上除长轴绳点外的一点。段皮法线与：轴的文点为地网，则r一（名 ②若从F发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到F所经过的路程为8℃，则该椭圆的离心率为)： 则以下说法正确的是( A.①是真命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题，②是真命题 D.①是假命题，②是假命题 F MO F 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.某公司为了解用电量y(单位：kW·h)与气温x(单位：C)之间的关系，随机统计了4天的用电 量与当天气温，并制作了如下对照表： 气温x/C 18 13 10 -1 用电量 24 34 38 64 y/(kw.h) 由表中数据可得回归方程y=x+b中a=-2.试预测当气温为-4℃时的用电量，并求用电量在-1℃的离 差 18.已知椭圆r:+y =1,O为坐标原点. 63 (1)求Γ的离心率e; (2)设点N(1,O),点M在Γ上，求MW的最大值和最小值： 第3页共5页 19.某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平 4 均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为：平均每月跑步次数不超过30 次的学生中，体测成绩及格”的概率为号 (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记X为抽取 的3名学生中“及格”的人数，求X的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分Z近似服从正态分布N(65,144),若得分Z≥77则为“优秀等级现从全 校抽取50名学生，记Y为这50名学生中“优秀”的人数，求Y的数学期望及方差（结果四舍五入保留整 数) 参考数据：若随机变量5服从正态分布N(4,G2),则P(u-≤5≤+o)0.6827,P(u-2o≤≤+2o)0.9545, P(-3≤+3o)0.9973. 已知双曲线C:x1b>0的左顶点为4，过点D2,0的直线7交双曲线C于从、N两点， 在第一象限. (1)若双曲线C的焦逝为2v5,求该双曲线C的离心率e: (2)若b=√5，△MAD为直角三角形，求点M的坐标： (3)若双曲线C的一条新近线方程为x+②y=0,点从N均在双曲线C的右支，且存在实数(1<)】 使得M=2M而成立，求直线1的倾斜角的取值范围。 第4页共5页 21.若定义在R上的函数y=f(x)和y=g(x)分别存在导函数f"(x)和g(x).且对任意x均有f'(x)≥g'(x), 则称函数y=f(x)是函数y=g(x)的“导控函数”.我们将满足方程f'(x)=g'(x)的x,称为“导控点”. (1)试问函数y=x是否为函数y=sinx的“导控函数”？ （2)若函数y子+8x+1是函数y-写+bx2+c的号拉函数，且函数y号+b加+ea是函数y=4r 3 3 的“导控函数”，求出所有的“导控点” (3)已知函数y=f(x)和y=g(x)都是定义在R上的偶函数，且y=g(x)是函数y=f(x)的“导控函数”， 证明：g(x)-f(x)=c恒成立（c为常数)”. 第5页共5页 2025~2026学年光明中学高二下期末考试数学试卷 一、填空题 1.抛物线x2=4y的准线方程为 【答案】y=-1 【解析】由抛物线方程得p=2,焦点为(0，-)，准线方程为y=-1. 2.若直线x-ay+2a=0的一个法向量为(3，-2)，则实数a的值为 【答案】 【解析】由直线x-ay+2a=0,知其一个法向量为(1，-a), 又)也是直线的法向量，则写子可得a号 3 3.一质点沿直线运动，位移s（单位：m)与时间t(单位：s)之间的关系为s()=-22+2t+3,则该质 点在1=2时的瞬时速度为 m/5. 【答案】6 【解析】由题意可得s'(t)=-4t+2,则s'(2)=-4×2+2=-6. 567 4.已知随机变量X的分布为 则期望E[灯= 0.20.30.5 【答案】6.3 【解析】由题设有E[x]=5×0.2+6×0.3+7×0.5=1+1.8+3.5=6.3, 5.为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设Ho: 患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量X2≈3.468，则可推断 原假设Ho.(填 拒绝或“接受”，规定显著性水平a=0.1,P(x2≥2.706)≈0.1.) 【答案】拒绝 【解析】已知显著性水平α=0.1，P(X222.706)≈0.1，即临界值为2.706， 因为3.468>2.706，所以可推断拒绝原假设H0: 6.若随机变量X满足D(X)=0.6,则D(3X+2)= 【答案】5.4 第1页共11页 【解析】因为D(X)=0.6,所以D(3X+2)=32×D(X)=9×0.6=5.4, 7.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(2026)+f'(2026)= 【答案】-2019 y=-x+8 【解析】点P处的切线方程是y=-x+8,则f(2026)=-2026+8=-2018, 切线y=-x+8斜率为=-1，则f(2026)=-1, 2026 .f(2026)+f(2026)=-2018-1=-2019. 8.一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率 【答案)号 【解析】一个家庭有两个孩子其中一个是女孩为事件B,一个家庭有两个孩子另一个也是女孩为事件A, 1 ()()() P(B)33 4 9.函数f()=m2+x-lr有两个极值点，则实数m的取值范围为 【容案)(0 【解析】函数f)=mr2+x-lnx的定义域为(0，+o), 且f')=mx+1-1=mr2+x-l 因该函数有两个极值点，则f"(x)=0有2个不同的正实根， 即方程mx2+x-1=0有2个不同的正实根，设为x1x2, m≠0 △=1+4m>0 则x+->0,解得-1 <m<0, m =->0 m 即实数m的取值范围为(40)， 10.已知椭四三+片=1（口>b>0)的左焦点为，右焦点为，若桶圆上存在一点P,满足线段P5与 以椭圆的短轴为直径的圆相切，切点为线段PF,的中点，则该椭圆的离心率为 第2页共11页 【答案】 3 【解析】设线段PE的中点为M,连接OM,由题意知，OM=b, 因为O为FF2的中点，所以，OM是△FPE的中位线，则P=2OM=2b, 由椭圆的定义知PF=2a-PF=2a-2b, 又M=PF=a-b,lor=c, 在直角三角形OME中，由勾股定理得：OM+ME=oF,即b2+(a-b)'=c2, 又a2-b2=c2,可得2a=3b,故有4a2=9b2=9(a2-c2)）, 由此可求得离心率e=S-S a 3 11.掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度α即 抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于 10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度α的最大值为·（精确到0.1） 【答案】28.7° 【解析】以最高点D为坐标原点，以水平向右为x轴正方向， 10 以竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为f(x)=ax2(a>0).则A 由题意得 所生，取 又f(x)=2a 则r周-2a周aa 易知a为锐角，所以tana=2x1+5_1+V5 10 5 ,1+v3 所以a=arctan ≈28.7°. 5 故出手角度a的最大值为28.7°. 第3页共11页 12.2026年10月，光明中学将迎来140周年华诞.现将矩形操场分割为40个单位正方形，M1,M2,M3, M4,M五个点在正方形的顶点处，构成字母“M”,四个标记为△的点也在正方形的顶点处，设集合 G={M,M2,M3,M4,M},点MeG,过点M作直线lM,使 得不在IM上的△的点分布在IM的两侧.用D,(LM)和D2(IM)分 别表示lM一侧和另一侧的△的点到IM的距离之和若过点M 的直线IM中有且仅有一条直线满足D,(IM)=D2(LM),则G中 所有这样的M为 【答案】M1,M3,M4,M 【解析】如图，E,F,S,T分别为四个△的中点， 注意到，点M是线段EF的中点，也是线段ST的中点， E 这样过M2的直线lM有无数条使得D(lM)=D2(LM), T 另一方面，对于点M,M,M,M四个点， 仅有同时经过点M2的IM才能使得D(lM)-D(IM), 综上，满足题意的M为M1,M3,M4,M, 二、单选题 13.如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8，那么表明( ) A.两种证券的收益有反向变动的倾向 B.两种证券的收益有同向变动的倾向 C.两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 D.两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 【答案】B 【解析】因为两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为0.8>0，所以两种证券是正相关， 那么表明两种证券的收益有同向变动的倾向，B正确，ACD错误.故选：B 14.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，下列说法错误的是( 第4页共11页 A.y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零 y=f B.点x=1是函数y=f(x)的极值点 C.y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增 2 D.点x=-2是函数y=f(x)的极小值点 【答案】B 【解析】由图可得当x∈(-o,-2)时，'(x)<0; 当x∈(-2，+o)时，f)≥0，当且仅当x=1时f'(x)=0. 所以函数y=f(x)在(-o,-2)上单调递减，在(-2，+∞)上单调递增， 所以函数y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零，函数y=f(x)在x-1处不能取极值， 函数y=f(x)在区间(-2,2)上单调递增，-2是函数y=f(x)的极小值点，所以B错误，ACD正确. 15.已知双曲线C:-上=1，点M(4,6),点A、B分别在双曲线C的左、右两支上，则向量M、M远 49 的夹角0( ). A.有最大值，但无最小值 B.无最大值，但有最小值 C.既有最大值，又有最小值 D.既无最大值，又无最小值 【答案】A 【解析】由双曲线C:女-广=1，可得a=2,b=3,所以双曲线的其中一条新近线方程为y=3 49 则点M4)满足新近线y子，所以点M在双面线的新近线) 2上， 所以过点M存在双曲线右支的切线，但不存在与左支相切的直线， 所以向量MA,M丽的夹角0不存在最小值， 过点M作x轴的平行线，交双曲线的左右两支分别为A,B两点，此时MA,MB=π， 因为0∈[0，π]，所以向量MA,MB的夹角0存在最大值，最大值为π， 综上可得，向量MA,MB的夹角B存在最大值，不存在最小值.故选：A. 16.椭圆具有如下光学性质：如图，(-c,0),B(c,0)分别是椭圆士+二-1的左、右焦点，从点发出 a2 b2 的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点F,,有以下两个命题： 第5页共11页 ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为M1,O),则16 ②若从耳发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到耳所经过的路程为8℃，则该椭圆的离心率为} 则以下说法正确的是( A.①是真命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题，②是真命题 D.①是假命题，②是假命题 F MO 【答案】A 【解】设P,小因为导+荟=1所以y=- x2 当y=b-a x时，y'=a va-x 6 所以在点P(x,)处的切线的斜率为k=- b'xo a2y。’ 同理可得当y 时，在点P(,%)处的切线的斜率为k= b'xo a' ayo 京+示=1在点P(,)处的切线的斜率为k= 所以椭圆 b2xo a'yo 因为M(化，0），所以kw- xo-t 因为wk=-1,所以五二 所以t=。一 02 a2 a2 因为∈(-a,a),所以t∈ 故①是真命题； aa 因为F发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点F, 所以两次反射后，第一次回到F所经过的路程为4a, 所以4a=&c,所以e-故②是真命题.故选：A 第6页共11页 三、解答题 17.某公司为了解用电量y(单位：kW·h)与气温x(单位：C)之间的关系，随机统计了4天的用电 量与当天气温，并制作了如下对照表： 气温x/C 18 13 10 用电量 24 34 38 64 y/(kw.h) 由表中数据可得回归方程y=m+b中a=-2.试预测当气温为-4℃时的用电量，并求用电量在-1℃的离 差 【答案】68kW.h;2kW,h 【解析】元-18+13+10-1=10，了=24+34+38+64-40，样本点的中心为(0,40)， 4 4 代入y=ax+b,b=40-（-2)×10=60,则线性回归方程为y=-2x+60, 取x=-4,得y=68kW.h, 取x=-1,得y=62,故此时离差为64-62=2kWh. 18.已知椭圆r:兰+父=1,0为坐标原点 63 (1)求Γ的离心率e; (2)设点N(L,O),点M在下上，求MW的最大值和最小值： 【答案】()互(2)M州的最大值为1+6，最小值为2 【解析】(1)设Γ的半长轴长为a,半短轴长为b,半焦距为c, 则a=v6,b=5,则c-V5,所以e=-5=2 a62 (2)依题意，设M川，则-6≤x≤6，+号-1，故=3-号 期=-+7--+3号5r-2+4=g-r+2, 所以由二次函数的性质可知，当x=2时，MW取得最小值为√2， 当x=6时，1M取得最大值为V6-2+2=1+6. 第7页共11页 19.某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平 均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩及格”的概率为亏：平均每月跑步次数不超过30 4 次的学生中，体测成续及格的概率为号 (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记X为抽取 的3名学生中“及格”的人数，求X的分布列和数学期望： (3)经统计，该校学生体测得分Z近似服从正态分布N(65,144),若得分Z≥77则为“优秀”等级现从全 校抽取50名学生，记Y为这50名学生中“优秀”的人数，求Y的数学期望及方养（结果四舍五入保留整 数) 参考数据：若随机变量5服从正态分布N(u,2),则P(u-o≤≤+o)0.6827,P(u2≤≤+2o)0.9545, P(u-3+3a)0.9973. 【答案】1)品：2)-点：6)数学期望为8，方装为7 【解析】(1)设事件A=“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则A=“抽取1名学 生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件B=“抽取1名学生，该学生体测成绩达到及格等级”， 由全概率公式，知P(B)=P(A)P(AA+P(a)P(a)=3x+x=4 454360 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为 609 (2)X的可能取值为0,1,2,3， Px-0叭-答-石x-答-g -8x=2小爱装x=答是 C-281 0 12 3 所以X的分布列为： 1 1515 5 、56 56 28 28 随机变量X服从超几何分布，且N=8,M=5,n=3,所以E[X]=3×5-=5 88 (3)由题意得4=65，o=12, P(Z≥7)=P(Z≥u+o)≈×(1-0.6827)）=0.15865， Y~B(50,0.15865),E[Y]=50×0.15865=7.9325≈8，D[Y]=50×0.15865×0.84135≈7， 第8页共11页 所以Y的数学期望为8，方差为7. 20.已知双曲线C:r-卡=6>0的左顶点为，过点D20的直线1交双曲线C于从N两点，点M 在第一象限。 (1)若双曲线C的焦距为2√5，求该双曲线C的离心率e: (2)若b=√3，△MAD为直角三角形，求点M的坐标； (3)若双曲线C的一条渐近线方程为x+√2y=0,点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数2 使得M=2M而成立，求直线1的倾斜角的取值范围. 2 10 【答案】(1)√5；(2)(2,3)；(3) arctan- arctan 【解析】(1)由题，2c=25,得c=√5， 故e=C=V5 (2)因为点M在第一象限，故∠MAD不可能为直角； 若∠4DM=受将x=2代入曲线C:-号=1，得M2)符合题意，： 若∠DMA=7,设点Mow,则M面=2-x,bM=(1-,-w 则MD.MA=x6-x。-2+y哈=0 3W5 又因为点M满足号号=1，可得M 53W5 4’4 此时kDwF至一2 4=-5, 4 DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去. 综上，点M的坐标(2,3)： (3)由题可得，双曲线C:x2-2y2=1, 当直线I的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，瓜=2MD,不满足1< 3 所以直线1的斜率一定存在， D,说明M,D,N三点共线，且M,N都在双曲线的右支上，所以直线1的斜率不为0，】 设直线1的方程为x=my+2,M(x,乃)、N(x2,y2),且y>0,y2<0, 第9页共11页 联立方程 2-2y2-1'可得(m-2y2+4my+3=0 x=y+2 显然m2-2≠0，△=(4m)2-4(m2-2)×3=4m2+24>0, M -47 3 y+y2=m-2 0,水=m-2<0,故0<m<5 4 由MN=M而，可得y2-y=-y,且1< B/D 3 y 因此0+-点+点+2， yiy2 yi y2 根据对勾函数y=x+的性质：y在(-1,0)上单调递减， X 可知-女+会(2=号 yiy2 y y2 又+y_-4mY.m2-2_16.m yiy2 (m2-2 33m2-2' 故16.m2 4 2 3m2-2< 可得0 <m<V2」 3 210 所以，直线I斜率的取值范围为 2’2 直线1倾斜角的取值范围为 V10 arctan- arctan 21.若定义在R上的函数y=f(x)和y=g(x)分别存在导函数f"(x)和g'(x).且对任意x均有f'(x)≥g'(x), 则称函数y=f(x)是函数y=g(x)的“导控函数”.我们将满足方程f'(x)=g'(x)的x称为“导控点”. (1)试问函数y=x是否为函数y=six的导控函数”？ （2)若函数y号+8x1是函数)写+b公+a的号拉函数，且函数y-写P+h加+是商数y=4 的“导控函数”，求出所有的“导控点”： (3)已知函数y=f(x)和y=g(x)都是定义在R上的偶函数，且y=g(x)是函数y=f(x)的导控函数”， 证明：g(x)-f(x)=c恒成立（c为常数)”. 【答案】(1)是；(2)2；(3)见解析 第10页共11页 【解析】(1)由y=x,得y'=1,由y=six,得y=cosx, 因为1≥cosx,所以函数y=x是函数y=sinx的“导控函数”； 2由y号+81，得y=2+8 由y号式+x2+a,得y=+2r+e, 由y=4x2,得y=8x, 由题意可得8x≤x2+2bx+c≤2x2+8恒成立， 令8x=2x2+8,解得x=2, 故16≤4+4b+c≤16，从而有4+4b+c=16,所以c=12-4b, 又2x2+8≥x2+2bx+c恒成立，即x2-2bx+8-c=x2-2bx+4b-4≥0恒成立， 所以△=462-4(46-4)=4(b-2)2≤0，所以b=2, 故b=2,c=4且“导控点”为2： (3)函数y=f(x)和y=g(x)都是定义在R上的偶函数， 且y=g(x)是函数y=f(x)的“导控函数”， 因此g'(x)≥f'(x),又g(x)=g(-x),f(x)=f(-x), 因此函数y=g(一x)是函数y=f(-x)的“导控函数”， -g'(-x)≥-f'(-x),即g'(-x)≤f'(-x), 用-x代换x有g(x)≤f'(x), 综上可知g(x)='(x),记h(x)=g(x)-f(x), 则h(x)=g(x)-f'(x)=0, 因此存在常数c使得g(x)-f(x)=c恒成立， 综上可得，g(x)-f(x)=c恒成立(c为常数)”. 第11页共11页