单元3 函数的概念及其基本性质 B卷-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以函数概念与性质为核心，通过基础判断、图像识别、综合应用等题型，系统整合定义域、奇偶性、单调性等知识，培养抽象能力与推理意识的一轮复习综合检测。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-3题|集合与函数结合、解析式应用、奇偶性判断|从函数定义（定义域、解析式）到性质（奇偶性）的概念生成链| |性质应用|4-8题|图像识别、单调性分析、方程不等式综合|性质（单调性、对称性）与图像、方程的推导应用| |综合拓展|9-19题|参数讨论、周期函数、存在性问题|跨性质（奇偶、周期）与多知识点（函数与导数、不等式）的逻辑拓展|

2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元3 函数的概念及其基本性质 B卷 参考答案与解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C D B C B C B AC CD BCD 1．A 【解析】由于集合表示函数的定义域，可知， 集合表示函数的值域，可知， 因此，故A正确. 2．C 【解析】由表可知：， 故选：C. 3．D 【解析】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，又， 因为在上是增函数且，所以在上是增函数， 所以在上是减函数，所以在上是减函数， 4．B 【解析】A选项，取，则令，解得：，其中，即：和轴有无数个交点，所以A错误； B选项，取，则，令，得或，令，得， 故在和上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，，所以B正确； C选项，取，则函数定义域为，且，所以是偶函数，所以C错误； D选项，，由可得，由图知，D错误. 5．C 【解析】对于A，因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称， 根据正态分布曲线的性质，可得，所以A不正确； 对于B，根据正态分布曲线的性质，当增大时，逐渐减小， 所以函数为单调递减函数，所以B错误； 对于C，因为随机变量，所以正态分布曲线关于对称， 所以， 则， 所以的图象关于点中心对称，所以C正确； 对于D，由选项B知：函数为单调递减函数， 所以的图象不关于对称，所以D错误. 6．B 【解析】函数的定义域为R， 且满足，故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 7．C 【解析】令，则， 则，与上式相加可得， 即，所以， 则， 所以是以周期为6的函数， 所以， 因为，， 所以令，可得，所以， 令，可得，所以， 令，可得，所以. 令，可得，所以. 故选：C 8．B 【解析】由，得， 则，令函数， 当时，求导得，函数在上单调递减， 因此，而，则， 所以. 故选：B 9．AC 【解析】当时，是增函数， 所以在区间上，，， 故此时，解得； 当时，是减函数， 所以在区间上，，， 故，解得． 综上，或． 故选：AC. 10．CD 【解析】对于A，，，所以，故A错误； 对于B，当时，，解得，符合题意， 当时，，解得或（舍去）， 所以若，则或，故B错误； 对于C，当时，，解得， 当时，，解得或（舍去）， 所以的解集为，故C正确； 对于D，当时，在上单调递增，则， 当时，在上单调递减，则， 综上，， 若，则，故D正确. 故选：CD. 11．BCD 【解析】选项A：， 所以的叠加函数的一个周期为，故A错误； 选项B：当时，最小正周期， 则， 所以， 因为，所以，则，所以，故B正确； 选项C：的最小正周期，则， 当时，，，则， 此时方程在上的根为，共13个； 当时，，， 所以， 令，则， 所以，则， 此时方程在上的根为，共12个， 所以方程在上有25个实根，故C正确； 选项D：由题意的最小正周期为2，则， 当时，， 则， 因为，所以， 当时，， 则， 因为，所以，综上在上的值域为， 则方程在有实根的充要条件为，故D正确. 12．或 【解析】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 13． 【解析】定义在上的奇函数与偶函数满足，将换为可得， 又，，代入得，联立方程组， 解得，，故， ，则， 将代入原不等式得，又， 故,故原不等式等价于，即， 令，则，不等式等价于， 故等价于，，易知，则只需，即， 也即，，．所以不等式的解集为． 故答案为:． 14．2027 【解析】∵ ，， ∴ 归纳可得的性质： 1. 基本属性 ∵ 所有迭代均为绝对值变换，∴ 定义域为，值域为，图像连续无间断. ∵ 关于直线对称，迭代操作不改变对称轴，∴ 关于直线对称. 2. 零点分布 令，得，逐层递推得， ∴ 零点为，即，共个零点，相邻零点间距为，均关于对称. 3. 分段表达式与图像形态 ① 当时，迭代后绝对值均可直接展开，，为斜率为的射线，过点向右上方无限延伸； ② 当时，迭代后绝对值均直接展开，，为斜率为的射线，过点向左上方无限延伸； ③ 当时，任意相邻零点构成区间（为偶数），区间内为开口向下的V形折线，顶点为区间中点，纵坐标恒为. 4. 整数点函数值 当为整数时，若为偶数，则；若为奇数，则. 要求的零点个数，即求与的交点个数，其中，对数底数为，分区间讨论： ① 当时， ∵ ，单调递减，值域为， 在内单调，值域为， ∴ 两函数在内有且仅有个交点. ② 当时， ∵ ，单调递增，值域为， 在内为分段线性函数，值域为，每一段斜率交替为，与单调递增的对数函数共有个交点. ③ 当时， ∵ ，单调递增，斜率为， ，单调递增，且导数为 ， 当时， ， 当足够大时，线性函数增长速度远快于对数函数，故 ， ∴ 两函数在内有且仅有个交点. 综上，交点总个数为 ，即的零点个数为. 15．【解析】（1）函数定义域为， 对任意都成立， 当时，显然不恒成立，不合题意； 当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. （2）函数值域为， 能取遍所有正数， 1：，解得， 2：， 符合题意 实数的取值范围为. 16．【解析】（1）由函数是上的偶函数，得， 则 ， 整理得 ， 因此 ，解得，所以实数的值为. （2）由（1）知， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， ，由对任意的，存在，使得， 得函数在上的最小值不小于函数在上的最小值， 因此存在，使得 ， 即存在，成立，令 ，， 函数， 在上单调递增，则函数在上单调递增， 函数在上的最小值为，则， 所以实数的取值范围是. 17．【解析】（1）由函数， 可得， 所以 ， 即，即， 所以函数的图象关于点中心对称. （2）由，其定义域为，且， 因为函数是减函数，所以在内恒成立， 即在内恒成立， 因为，不等式可化为， 即， 当时，恒成立，此时； 当时，， 令，则，因为且，即且， 则， 令， 令，则，， 当时，取得最大值，此时， 所以的最大值为，则的最小值为， 因为恒成立，所以，即实数的取值范围为. 18．【解析】（1）当时，， 当时，，当且仅当时取等， 故当时，最小值为2． （2）（ⅰ）由，或， 即， ，当且仅当时取等号， 即当时，函数的最小值为2， 所以当时，方程有解， 即方程，或有解， 即或有解，当有解时，， 当有解，， 所以； （ⅱ）由题意得当时，，， ①当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， 解得，； ②当时，在上单调递减，单调递增． ，设表示中最大的数， ， 且，即，解得； ③当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， ； ④当时， ，符合题意； ⑤当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得，解得． 综上所述：． 19．【解析】（1）因为， 由定义可得： ， 因为是定义域上的减函数，所以， 又因为，所以 . （2）因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集，必要性成立， 若对任意，是对称集，因为对任意，， 所以，即①，又，所以， 即②，由①②可得，对任意，， 所以函数是偶函数，充分性成立，综上所述， 函数是偶函数的充要条件是对任意，是对称集，得证. （3）因为对于任意，都有，所以若， 则，对任意，因为，所以， 又因为，所以，即若， 则，所以， 所以在上单调不减，所以对任意， 恒成立， 当时，，对任意成立， 当时，恒成立，令，， 令，则，所以在单调递减，上单调递增， 在处取得最小值，所以， 当时，恒成立，若，不等式恒成立， 若，当时，，，不满足条件， 综上所述：. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元3 函数的概念及其基本性质 B卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若函数的解析式满足下表，则（    ） A．-3 B．1 C．2 D．3 3．已知函数，则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．奇函数，且在上是增函数 C．偶函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是减函数 4．已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 5．已知连续型随机变量，令函数，则下列选项正确的是（     ） A． B．是增函数 C．的图象关于点中心对称 D．的图象关于轴对称 6．已知函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 7．若的定义域为，且，，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 8．已知正数x，y，z满足 ，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若函数在区间上的最大值与最小值之差为1，则的值可以为（    ） A．2 B．4 C． D． 10．已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，则 C．的解集为 D．，则 11．已知是定义域为，最小正周期为的函数，我们把称为的叠加函数，则（    ） A．的叠加函数是最小正周期为的周期函数 B．当时，的值域为 C．当时方程在上有25个实根 D．当，，时方程在有实根的充要条件为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数是一次函数，若，则______． 13．已知均定义在上的奇函数与偶函数满足，则不等式的解集为______． 14．设，，，…，，其中，则的零点个数为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数. (1)若函数定义域为，求的取值范围； (2)若函数值域为，求的取值范围. 16．（15分）已知定义在上的偶函数 ，且 ． (1)求实数的值； (2)设 ，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 17．（15分）已知函数，． (1)证明：函数的图象是中心对称图形； (2)若函数为减函数，求实数a的取值范围． 18．（17分）已知函数， (1)若，当时，求的最小值； (2)若，当时， （ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围； （ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围． 19．（17分）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元3 B卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $