精品解析：河北省邯郸市汉光中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

初一数学期末试卷 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 以下调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A. 检测某批次汽车的抗撞击能力 B. 了解某市中学生课外阅读的情况 C. 调查黄河的水质情况 D. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 3. 若 ，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 点M在第四象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则M点坐标是（ ） A. （4，﹣3） B. （4，3） C. （3，﹣4） D. （﹣3，4） 5. 下列运算正确的是　　 A. B. C. D. 6. 若的整数部分用 表示，小数部分用 表示，则 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一组数据的最大值为46，最小值为27，在绘制频数分布直方图时，取组距为3，则这组数据应分成( ) A. 5组 B. 6组 C. 7组 D. 8组 8. 如图所示，已知，要使 ，只要（ ） A. B. C. D. 9. 如果将平面直角坐标系中的点平移到点的位置，那么下列平移方法中正确的是（ ） A. 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 D. 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度 10. 李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A. 10，4 B. 4，10 C. 3，10 D. 10，3 11. 已知关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，一个机器人从点出发，向正西方向走 到达点；再向正北方向走 到达点；再向正东方向走 到达点；再向正南方向走 到达点；再向正西方向走 到达点；…按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 比较大小：______．（用“ ”“ ”“ ”填空） 14. 如图是某商品1-4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最小的是___________月份． 15. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分6个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分9个苹果，则最后一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________． 16. 定义：在平面直角坐标系中，点，，若（a为常数），则称点 为点 的“ 级位移点”，如：点为点的“级位移点”，如图，，，若点的“ 级位移点”在线段上，则 的取值范围是______． 三．解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程、解不等式组： （1）； （2）； （3） 18. 在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算．例如：路线上数字的和记为． （1）求路线 上所有数字的和； （2）若路线上两个数字的积大于路线上两个式子的和，求 的正整数解． 19. 为更好的开展对旅游景区环境的保护工作，某市对其中的5个旅游景区利用坐标确定了位置，并且定期巡视． （1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得景区A、B的位置分别表示为，； （2）在（1）建立的平面直角坐标系xOy中，连接AC，AB，CB得到，已知点的坐标为，若将沿某方向平移，使点A移动到点，此时点B被移动到点，请在图中画出．并求其面积． 20. 某数学兴趣小组到一单位对工作人员使用办公的喜爱程度开展了一次随机调查活动，形成了如下调查报告： 调查主题 工作人员使用办公的喜爱程度调查 调查方式 抽样调查 调查对象 ××单位工作人员 数据的收集、整理与描述 使用办公的喜爱程度______． A．很喜欢　B．喜欢　C．一般　D．不喜欢 调查结论 …… 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中B所对应的扇形圆心角的度数为________； （4）估计该单位300名工作人员“很喜欢”使用办公的人数． 21. 如图，已知， ． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求 的度数． 22. 对 、 定义了一种新运算T，规定（其中 ， 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：， 已知，． （1）求 ， 的值； （2）求． （3）若关于 的不等式组恰好有4个整数解，求 的取值范围． 23. 为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 24. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴 的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴 上一点P． 【提出问题】小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）探究二：如图②，的数量关系为 ； 如图③，已知，则 ° （3）利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线分别平分和交直线于点E， 与内部的一条射线交于点F，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学期末试卷 一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：A、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； B、是无理数，符合题意，选项正确； C、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； D、是分数，不是无理数，不符合题意，选项错误， 故选：B． 2. 以下调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A. 检测某批次汽车的抗撞击能力 B. 了解某市中学生课外阅读的情况 C. 调查黄河的水质情况 D. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了普查，是否适合选择普查方式要根据所考查的对象的特征灵活选用，熟练掌握普查是解题的关键．根据普查的定义，逐一判断即可． 【详解】A、检测某批次汽车的抗撞击能力，调查的对象范围广，具有破坏性，不适合采用普查，故选项A不符合题意； B、了解某市中学生课外阅读的情况，调查的对象范围广，不适合采用普查，故选项B不符合题意； C、调查黄河的水质情况，调查的对象范围广，不适合采用普查，故选项C不符合题意； D、调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品，涉及安全性，适合采用普查，故选项D符合题意， 故选：D． 3. 若 ，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．再逐一分析本题即可得到答案. 【详解】解：A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A符合题意； B、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故B不符合题意； C、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故C不符合题意； D、当时，；当时，，故D不符合题意； 故选：A． 4. 点M在第四象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则M点坐标是（ ） A. （4，﹣3） B. （4，3） C. （3，﹣4） D. （﹣3，4） 【答案】A 【解析】 【分析】根据第四象限内点的符号特征：横坐标为正，纵坐标为负；以及点到坐标轴的距离的意义，即可进行解答． 【详解】解：令点M的坐标为（a，b） ∵点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4， ∴， ∵点M在第四象限， ∴a=4，b=﹣3， ∴M（4，﹣3）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握“点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值”以及各个象限内点的符号是解题的关键． 5. 下列运算正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据立方根及算术平方根的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查的是立方根和算术平方根的定义，熟知一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根是解答此题的关键． 6. 若的整数部分用 表示，小数部分用 表示，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，以及实数的运算．熟练掌握无理数估算的方法：找到被开方数左右两边相邻的能开方的两个数，是解题的关键． 先根据无理数的估算，确定整数部分，再用原数减去整数部分，求出小数部分，再进行计算即可； 【详解】解：的整数部分用 表示， 则， 小数部分用 表示， 则， ， 故选：A 7. 已知一组数据的最大值为46，最小值为27，在绘制频数分布直方图时，取组距为3，则这组数据应分成( ) A. 5组 B. 6组 C. 7组 D. 8组 【答案】C 【解析】 【分析】用最大值减去最小值，再除以组距即可得到组数，利用公式计算即可 【详解】解：数据的最大值为46，最小值为27， 这组数据的差是， 组距为3， 这组数据应分成，则分成7组． 故选：C． 【点睛】此题考查了组数的计算公式，掌握计算方法是解题的关键． 8. 如图所示，已知，要使 ，只要（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，，若 ，得 即，得到 ，解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∵ ， ∴ 即， ∴ ， 故选D． 9. 如果将平面直角坐标系中的点平移到点的位置，那么下列平移方法中正确的是（ ） A. 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 D. 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的平移的性质，平移规律：横坐标是左减右加，纵坐标是上加下减，据此即可作答． 【详解】解：∵将平面直角坐标系中的点平移到点的位置， ∴ ∴平移方法是向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 故选：C 10. 李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A. 10，4 B. 4，10 C. 3，10 D. 10，3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题的关键．先把代入中求出 的值，然后把 和 的值代入中求出▲表示的数，即可得到答案． 【详解】解：把代入中，得：，解得：， ■， ， ▲ ．   故选：A ． 11. 已知关于x，y的方程组的解满足，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解二元一次方程组，用含m的代数式表示x和y，再根据的条件列出一元一次不等式，求解得到m的取值范围即可． 【详解】解：， 得， 得， ， 把代入①，得， 解得， ， ， 解得． 12. 如图，一个机器人从点出发，向正西方向走 到达点；再向正北方向走 到达点；再向正东方向走 到达点；再向正南方向走 到达点；再向正西方向走 到达点；…按此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，，，……，由此得到,进行求解即可． 【详解】解： 由题意可得：，， …， 以此类推可知当 （k为正整数，后面的k一样），在第一象限，当 时，在第二象限，当 时，在第四象限，当 时，在第三象限， ∵ ， ∴点在第三象限， ∵，，， ∴可以推出， ∴，即 ． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 比较大小：______．（用“ ”“ ”“ ”填空） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，灵活运用平方法比较两个正实数的大小是解题的关键．根据两个正实数比较大小时，平方后数值大的原数更大的性质，分别计算与的平方，进而比较出与的大小． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 14. 如图是某商品1-4月份单个的进价和售价的折线统计图，则售出该商品单个利润最小的是___________月份． 【答案】3##三 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，从折线统计图中有效的获取信息，找到售价和进价之间的差值最小的月份，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，3月份的售价和进价最接近，差值最小，小于1，其他月份都不小于1，即单个利润最小， 故答案为：3． 15. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分6个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分9个苹果，则最后一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是________． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有 位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分9个苹果，则有 1 位小朋友能分到，但不足 5 个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据 为正整数求解即可得． 【详解】解：设有 位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵ 为正整数， ， ， 即这一箱苹果的个数是 48， 故答案为：48． 16. 定义：在平面直角坐标系中，点，，若（a为常数），则称点为点的“ 级位移点”，如：点为点的“级位移点”，如图，，，若点的“ 级位移点”在线段上，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，求一元一次不等式，理解题中所给定义是解题的关键． 先根据所给定义，表示出点的“ 级位移点”，再结合点和点 的坐标，得出关于 ， 的等式及不等式，据此进行求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的“ 级位移点”的坐标为． ∵点，，且点的“ 级位移点”在线段上， ∴，， 则， 解得． 故答案为：． 三．解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程、解不等式组： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 得 ，解得 ， 把 代入①得 ，解得， ∴原方程组的解为； 【小问3详解】 解： 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， ∴原不等式组的解集为 ． 18. 在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算．例如：路线上数字的和记为． （1）求路线 上所有数字的和； （2）若路线上两个数字的积大于路线上两个式子的和，求 的正整数解． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【详解】解：（1）． 答： 上所有数字的和为 ； （2）根据题意得：，解得：． ∴符合条件的 的正整数解为． 19. 为更好的开展对旅游景区环境的保护工作，某市对其中的5个旅游景区利用坐标确定了位置，并且定期巡视． （1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得景区A、B的位置分别表示为，； （2）在（1）建立的平面直角坐标系xOy中，连接AC，AB，CB得到，已知点的坐标为，若将沿某方向平移，使点A移动到点，此时点B被移动到点，请在图中画出．并求其面积． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，5 【解析】 【分析】（1）按照要求建立平面直角坐标系即可； （2）按照点A的平移规律找到点，连接，得到，再求得的面积即可． 【小问1详解】 平面直角坐标系如图所示， 【小问2详解】 如图所示，满足要求， 的面积为． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系、点的平移等知识，建立正确的平面直角坐标系是解题的关键． 20. 某数学兴趣小组到一单位对工作人员使用办公的喜爱程度开展了一次随机调查活动，形成了如下调查报告： 调查主题 工作人员使用办公的喜爱程度调查 调查方式 抽样调查 调查对象 ××单位工作人员 数据的收集、整理与描述 使用办公的喜爱程度______． A．很喜欢　B．喜欢　C．一般　D．不喜欢 调查结论 …… 请根据以上调查报告，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中B所对应的扇形圆心角的度数为________； （4）估计该单位300名工作人员“很喜欢”使用办公的人数． 【答案】（1）50 （2） 补全统计图如下： （3）108 （4）120人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，样本容量，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用D的人数除以其人数占比求出参与调查的人数即可得到答案； （2）求出A的人数，再补全统计图即可； （3）用360度乘以样本中B的人数占比即可得到答案； （4）用300乘以样本中A的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次一共调查了50人，即样本容量为50； 故答案为：50； 【小问2详解】 解：A的人数为（人）， 【小问3详解】 解：， ∴扇形统计图中B所对应的扇形圆心角的度数为； 故答案为：108； 【小问4详解】 解：（人）， ∴估计该单位300名工作人员“很喜欢”使用办公的人数为120人． 21. 如图，已知， ． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求 的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又 ，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得 ，得出 ，进一步求出 的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴． 22. 对 、 定义了一种新运算T，规定（其中 ， 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：， 已知，． （1）求 ， 的值； （2）求． （3）若关于 的不等式组恰好有4个整数解，求 的取值范围． 【答案】（1），；（2） ；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据题中的新定义列出关于 与 的方程组，求出方程组的解即可得到 与 的值； （2）利用题中的新定义将 ，代入计算即可； （3）利用题中的新定义化简已知不等式组，表示出解集，由不等式组恰好有4个整数解，确定出 的范围，再解不等式组即可． 【详解】解：（1）根据题意得： ， 解得：； （2）由（1）得： ∴； （3）根据题意得：， 由①得：；由②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰好有4个整数解，即，1，2，3， ， 解得：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则、理解新定义的意义是解本题的关键． 23. 为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】（1）A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式组的运用， （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； 【小问2详解】 解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1． 24. 【发现问题】如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴 的光线 和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴 上一点P． 【提出问题】小明提出：和三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】已知平行，可以利用平行线的性质，把分成两部分进行研究． 【解决问题】 （1）探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． （2）探究二：如图②，的数量关系为 ； 如图③，已知，则 ° （3）利用探究一得到的结论解决下列问题：如图④，射线分别平分和交直线于点E， 与内部的一条射线交于点F，若，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2），145； （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由此结论来解决问题． 探究一：由平行线的性质推出，得到即可解决问题； 探究二：如图②，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质即可得到； 如图③，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质得到； 如图④，由探究一的结论得到而，推出又，得到． 【小问1详解】 解： ，理由如下： 如图①，       ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图②， ，理由如下： ∵ ， ∴， ∵， ∴． 如图③，延长交 于L， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 ∵射线分别平分和， ∴， 如图④， 由探究一的结论得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $