专题四 二元一次方程组 期末复习必刷题 2025--2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组核心知识，通过概念辨析、建模应用、解法训练及综合拓展，构建从基础到应用的完整逻辑链，培养数学建模与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1题（第10题）|判断二元一次方程|从定义出发，巩固概念本质| |建模应用|7题（如1、3、9题）|古代算题/实际问题列方程组|体现数学眼光，建立现实与方程的联系| |解法应用|5题（如5、18题）|消元法及解的应用|强化运算能力，掌握消元核心方法| |综合拓展|4题（如15、16题）|含参数/方案设计问题|提升推理意识，实现知识迁移应用|

专题4 七下数学第十章二元一次方程组期末必刷题 一、单选题 1．《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．”大意是：现有甲、乙两人各持有若干钱财，甲若得到乙所有钱的一半，则甲共有50钱；乙若得到甲所有钱的三分之二，则乙也共有50钱．问甲、乙各带了多少钱？设甲持钱数为x，乙持钱数为y，据题意，下面方程组正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干描述的两个等量关系，分别列出方程，即可得到正确的方程组． 【详解】设甲持钱数为，乙持钱数为， 甲得到乙所有钱的一半后，甲共有钱50， 甲原有的钱加上乙钱数的一半等于50，可得方程 ， 又乙得到甲所有钱的三分之二后，乙共有钱50， 乙原有的钱加上甲钱数的三分之二等于50，可得方程 ，因此可列方程组为 ． 2．如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设每块墙砖的长为，宽为，利用“3块横放比1块竖放高”和“2块横放比2块竖放低”这两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每块墙砖的长为 ，宽为 ∵3块横放的墙砖高度为，1块竖放的墙砖高度为 ∴ 可得方程：，即 ∵2块横放的墙砖高度为，2块竖放的墙砖高度为 ∴可得方程：，即 ∴ 联立可得方程组：． 3．某家具厂有60名工人，每人每天平均能生产桌面3张或桌腿8条，要使1张桌面配套4条桌腿，应如何分配工人，才能使每天生产的桌面和桌腿刚好配套？设生产桌面的工人为x人，生产桌腿的工人为y人，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据家具厂有60名工人，每人每天平均能生产桌面3张或桌腿8条，使1张桌面配套4条桌腿，建立二元一次方程组即可． 【详解】解：设生产桌面的工人为x人，生产桌腿的工人为y人， 根据题意可得方程组：． 4．《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作，也是中国古代一部百科全书式的科学技术著作，作者是明代科学家宋应星．《天工开物》中记载了灯具骨架的制作工艺．某非遗工坊用竹篾和彩绢制作灯具，每盏大灯用竹篾1.2米，彩绢5米；每盏小灯用竹篾0.5米，彩绢2米．若该工坊恰好用完了90米竹篾和370米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则下列方程组正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设制作大灯x盏，小灯y盏， 由题意得，． 【点睛】 5．用加减消元法解方程组消去y最简捷的操作是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察两个方程中的系数，即可得出结论． 【详解】解：∵①中的系数为，②中的系数为， ∴是消去y最简捷的操作． 6．已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 解得，． 7．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题利用二元一次方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，得到关于a，b的关系式，直接变形即可求出的值． 【详解】解：∵是原方程组的解， ∴ 将代入原方程组，得：， ，得： 化简得：． 8．在课题学习《用绳子测量木头长》中，若用一根绳子去量一根木头的长，则绳子还剩余1.2米；若将绳子对折再量木头，则木头还剩余0.3米，问木头长多少米？若设木头长为米，绳子长为米，则所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设木头长为x米，绳子长为y米，根据“若用一根绳子去量一根木头的长，则绳子还剩余1.2米；若将绳子对折再量木头，则木头还剩余0.3米”列方程组即可． 【详解】解：设木头长为x米，绳子长为y米， 根据题意得，． 9．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？其大意：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差了钱．问人数、琎价各是多少？设人数为，琎价为钱，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据题意找到等量关系即可列出对应方程，得到方程组． 【详解】解：设人数为，琎价为钱， ∵每人出钱时，总出钱比琎价多出4钱， ∴， ∵每人出钱时，总出钱比琎价少3钱， ∴， 因此可得方程组． 10．下列方程中：①；②；③；④；⑤；二元一次方程有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有含未知数的项的次数都是1，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程的定义逐个判断： ①，只含有1个未知数，不是二元一次方程； ②，满足二元一次方程的定义，是二元一次方程； ③，分母含有未知数，不是整式方程，不是二元一次方程； ④，的次数为2，不满足一次的要求，不是二元一次方程； ⑤，满足二元一次方程的定义，是二元一次方程； 综上，共有2个二元一次方程． 二、填空题 11．《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组_______． 【答案】 【分析】设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y， 根据题意：． 12．若关于x，y的二元一次方程组的解还满足，则k的值为_____． 【答案】 【分析】将原方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，结合已知建立关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ， ， 解得：． 13．第一小组分练习本若干本，每人各得本，还剩本；若有一人只拿本，则其余每人可各得本，则第一小组有________人． 【答案】10 【分析】首先设第一小组同学有x人，练习本有y本，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设第一小组同学有x人，练习本有y本，根据题意得 ， 解得． 答：第一小组同学有10人，练习本有83本． 14．已知关于、的方程组得出以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；当时，；不论取什么数，的值始终不变；不存在使得成立；其中正确的序号是__________． 【答案】 【分析】解方程组求出、，分别验算各个结论即可． 【详解】解：方程组 由得，，解得， 代入中，解得， ∴方程组的解， 结论当时，方程组的解，代入中， ∴方程组的解也是方程的解 ∴结论正确． 结论∵， ∴， ∴， ∴， ∴结论正确． 结论， ， ， 随着变化而变化， ∴结论错误． 结论若，即， ∴， ∴， ∴不成立， ∴不存在使得成立， 结论正确． 三、解答题 15．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，经了解，2辆A型汽车、3辆型汽车的进价共计60万元；4辆型汽车、1辆型汽车的进价共计70万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别是多少万元？ (2)公司计划用100万元购进以上两种型号的新能源汽车，两种型号的汽车都要购买．求该公司共有哪几种购买方案？ (3)销售一辆A型汽车可获利5500元，销售一辆B型汽车可获利4000元．在（2）中购买的新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为10万元 (2)该公司有3种购买方案，分别是：A型汽车2辆，B型汽车7辆；A型汽车4辆，B型汽车4辆；A型汽车6辆，B型汽车1辆 (3)最大利润是39000元 【分析】（）设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元，根据题意列出关于，的二元一次方程组，解方程即可求解； （）设购买A型汽车辆，B型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （）利用总利润单辆利润销售车辆数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论； 【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元 由题意，得 ， 解得， 答：A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为10万元． （2）解：设购买A型汽车辆，B型汽车辆． 由题意，得， ， 为正整数， 或或． ∴该公司有3种购买方案，分别是： A型汽车2辆，B型汽车7辆； A型汽车4辆，B型汽车4辆； A型汽车6辆，B型汽车1辆． （3）解：当购买A型汽车2辆，B型汽车7辆时，获得的利润为： （元）； 当购买型汽车4辆，型汽车4辆时，获得的利润为： （元）． 当购买型汽车6辆，型汽车1辆时，获得的利润为： （元）． 答：最大利润是39000元． 16．学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)如图3，已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图． 方案1：裁剪________块椅座，________块椅背； 方案2：裁剪________块椅座，________块椅背． (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ 【答案】(1)1，6，； 4，2， (2)有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪 【分析】（1）根据题意可得可以裁剪1块椅座，6块椅背或裁剪4块椅座，2块椅背，即可解答； （2）设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意，列出方程组，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意得： ， 解得：， 答：有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪． 17．解答： (1)已知方程组与方程组的解相同，求、的值． (2)关于，的方程组的解满足，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知的两个方程组的解相同得到关于、的方程组，求出、的值，再将、的值代入含、的两个方程中，得到关于、的二元一次方程组，进而求出、的值即可； （2）解方程组求出，的值，再将，的值代入即可求出的值． 【详解】（1）解：∵方程组与方程组的解相同，， ∴这两个方程组的解也是方程组的解， 由①得， 将代入②得， 解得， 将代入①，得， 解得, ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有，的方程组得， 得， 解得， 将代入③，得， 解得； （2）解：解方程组， 得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∵关于，的方程组的解满足， ∴将，代入得， 解得． 18．解下列二元一次方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将①代入②，得， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， 将，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 19．下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：， 解得． 把代入③，得． 方程组的解为 美美的做法： 由①，得③． 由②+③，得， 解得． 把代入①，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是________；美美的消元方法是________． (2)判断________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法，加减消元法 (2)美美，正确解答如下： ， 由①，得③， 由②+③，得，解得， 把代入①，得， 原方程组的解为． 【分析】（1）善善是利用代入进行的消元，美美是将②+③进行的消元． （2）根据美美在解答的过程中未在等式两边同时乘，导致计算错误，得到美美的解答过程有误，并根据加减消元法修改解题过程即可． 【详解】（1）解：∵善善的做法由方程①转化为③，将方程③代入方程②消去，得，体现了代入消元的思想， ∴善善的做法是代入消元法， ∵美美的做法由①得到③，由②+③两式相加消去，体现了加减消元的思想， ∴美美的做法是加减消元法． （2）略 20．下面是阳阳解二元一次方程组的过程，请阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得……第一步 ，得……第二步 ……第三步 把代入，得……第四步 ∴原方程组的解为……第五步 (1)任务一： 上述材料中阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是________（填序号即可）； A．公式法    B．换元法    C．代入法    D．加减法 上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”， 在此过程中体现的数学思想是________（填序号即可）； A．数形结合    B．公理化    C．演绎    D．转化 第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (2)任务二：请你写出正确的求解过程． 【答案】(1)①D ②D ③一；①时等号右边的4没有乘2（言之有理即可）； (2)见解析 【分析】（1）①根据题意可得阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是加减法； ②根据题意可得，消元过程中体现的数学思想是转化； ③根据题意可得第一步错误；理由为①时等号右边的没有乘． （2）将第一步改正，再按照加减消元法的步骤求解即可． 【详解】（1）①根据题意可得，阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是加减法， 故选：D； ②根据题意可得，消元过程中体现的数学思想是转化， 故选：D； ③根据题意可得第一步错误； 理由：①时等号右边的没有乘（言之有理即可） （2）解：①，得③， ②③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 21．小颖在解方程组 时，本应解出，由于看错了系数 ，得到的解为 ．试求 、、 的值． 【答案】，， 【分析】将代入方程组得到，将代入方程得到，进而即可求出a，b，c的值． 【详解】解：将正确的解 代入原方程组得 ， 由可得：， 解得：． 看错得到的解 满足方程， ∴． ∴， 得 ， 把代入②得：， 解得：． ∴，，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 七下数学第十章二元一次方程组期末必刷题 一、单选题 1．《九章算术》中记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．”大意是：现有甲、乙两人各持有若干钱财，甲若得到乙所有钱的一半，则甲共有50钱；乙若得到甲所有钱的三分之二，则乙也共有50钱．问甲、乙各带了多少钱？设甲持钱数为x，乙持钱数为y，据题意，下面方程组正确的是（     ）． A． B． C． D． 2．如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A． B． C． D． 3．某家具厂有60名工人，每人每天平均能生产桌面3张或桌腿8条，要使1张桌面配套4条桌腿，应如何分配工人，才能使每天生产的桌面和桌腿刚好配套？设生产桌面的工人为x人，生产桌腿的工人为y人，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 4．《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作，也是中国古代一部百科全书式的科学技术著作，作者是明代科学家宋应星．《天工开物》中记载了灯具骨架的制作工艺．某非遗工坊用竹篾和彩绢制作灯具，每盏大灯用竹篾1.2米，彩绢5米；每盏小灯用竹篾0.5米，彩绢2米．若该工坊恰好用完了90米竹篾和370米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则下列方程组正确的为（     ） A． B． C． D． 5．用加减消元法解方程组消去y最简捷的操作是（     ） A． B． C． D． 6．已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 7．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（     ） A．3 B． C．5 D． 8．在课题学习《用绳子测量木头长》中，若用一根绳子去量一根木头的长，则绳子还剩余1.2米；若将绳子对折再量木头，则木头还剩余0.3米，问木头长多少米？若设木头长为米，绳子长为米，则所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 9．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？其大意：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差了钱．问人数、琎价各是多少？设人数为，琎价为钱，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 10．下列方程中：①；②；③；④；⑤；二元一次方程有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组_______． 12．若关于x，y的二元一次方程组的解还满足，则k的值为_____． 13．第一小组分练习本若干本，每人各得本，还剩本；若有一人只拿本，则其余每人可各得本，则第一小组有________人． 14．已知关于、的方程组得出以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；当时，；不论取什么数，的值始终不变；不存在使得成立；其中正确的序号是__________． 三、解答题 15．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，经了解，2辆A型汽车、3辆型汽车的进价共计60万元；4辆型汽车、1辆型汽车的进价共计70万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别是多少万元？ (2)公司计划用100万元购进以上两种型号的新能源汽车，两种型号的汽车都要购买．求该公司共有哪几种购买方案？ (3)销售一辆A型汽车可获利5500元，销售一辆B型汽车可获利4000元．在（2）中购买的新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 16．学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)如图3，已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图． 方案1：裁剪________块椅座，________块椅背； 方案2：裁剪________块椅座，________块椅背． (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ 17．解答： (1)已知方程组与方程组的解相同，求、的值． (2)关于，的方程组的解满足，求． 18．解下列二元一次方程组 (1)； (2)． 19．下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：， 解得． 把代入③，得． 方程组的解为 美美的做法： 由①，得③． 由②+③，得， 解得． 把代入①，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是________；美美的消元方法是________． (2)判断________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 20．下面是阳阳解二元一次方程组的过程，请阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：，得……第一步 ，得……第二步 ……第三步 把代入，得……第四步 ∴原方程组的解为……第五步 (1)任务一： 上述材料中阳阳同学解二元一次方程组的数学方法是________（填序号即可）； A．公式法    B．换元法    C．代入法    D．加减法 上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”， 在此过程中体现的数学思想是________（填序号即可）； A．数形结合    B．公理化    C．演绎    D．转化 第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (2)任务二：请你写出正确的求解过程． 21．小颖在解方程组 时，本应解出，由于看错了系数 ，得到的解为 ．试求 、、 的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $