25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习导入环节回顾方程一般形式、求根公式及根的判别式，搭建旧知支架，引导学生从求根公式观察两根“m+n”“m-n”形式，经相加相乘推导韦达定理，衔接自然。 其亮点在于以数学眼光引导探究，通过“思考”环节培养抽象与创新意识，用代数运算和因式分解双法推导发展推理能力，典例练习强调规范符号语言提升模型与应用意识。分层检测题助学生巩固，教师可高效教学。

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 第二十五章 一元二次方程 22051 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 学习目标 22051 【问题1】一元二次方程的一般形式是什么? 2++=0(为已知数,≠0). 【问题2】一元二次方程的求根公式是什么? 【问题3】如何判定一元二次方程的根的情况? 复习导入 22051 【思考】观察求根公式它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 求根公式 可以表示由方程的系数a，b，c决定根的值 新知讲解 22051 可以发现从整体上看，两个根分别是“”和“”的形式，而且式子“”中含有根号. 由 ，得 新知讲解 22051 问题：观察这两个式子，它们有什么特点？可以相加减或者乘除吗？ ， 可以发现这两个式子相加可以消去“”，相乘可以去掉“”中的根号，从而使形式更简便. 自己动手试一试 新知讲解 22051 两式相加 即： 两式相乘 即： ) ) 新知讲解 22051 由此得出，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1, x2, 于其系数a，b，c有如下关系： 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比 满足上述关系的前提条件：≥0 一元二次方程的根与系数的关系 x1＋x2＝ , x1·x2＝ . （韦达定理） 归纳 22051 上述关系还可以用如下方法得出， 我们知道，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的左边可以分解因式为(-1)(-2)，那么方程ax²＋bx＋c=0的两个根为1和2. 反过来，如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为1和2. 那么： ax2＋bx＋c= (-1)(-2) 即 ax2＋bx＋c= -1+2)+12 因此 1+2= ， 12= 新知讲解 22051 【例】根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根1，2的和与积： (1)²-6-15=0; (2) 3²+7-9=0； (3) 5-1=4². 解：（1） 1+2 =-(-6)=6， 12 =-15. （2）1+2 =-， 12 ==-3. （3）方程化为4²－5+1=0，所以1+2 =，12 =. 在运用韦达定理求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，再分别代入的值即可. 典例精析 22051 【练习】已知方程的一个根是2，求它的另一个根及的值. 解：设方程的两个根分别是1、2 ，其中1 =2， 所以12=22= = 即2= - 由于12=2+(- )=- 得= -7. 答：方程的另一个根是- k= -7 巩固练习 22051 一元二次方程的根与系数的关系 注意 韦达定理 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比 x1＋x2＝ , x1·x2＝ . 课堂小结 22051 1.已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0，它的两根之积为－4，则k的值为(　　) A．－1 B．4 C．－4 D．－5 2.已知关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 D C 当堂检测 基础 22051 3.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 解：（1）根据根与系数的关系1+2 =-k， 12= 所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= +(- )+1=4 解得：k=-7； （2）因为k=-7，所以1+2 =7，12= -4 则(x1-x2)2=(1+2 )²-412=7²-4×(-4)=65 当堂检测 基础 22051 4.已知关于x的一元二次方程x2−x＋2m−4＝0有两个实数根. (1)求m的取值范围; (2)若方程的两根满足(x1−3)(x2−3)＝m2−1, 求m的值. 解: 由题意得△＝(－1)2－4×1×(2m－4)≥0, 解得m ≤ . 由题意得x1＋x2＝1，x1·x2＝2m－4, ∵x1x2－3(x1＋x2)＋9＝m2－1, ∴2m－4－3×1＋9＝m2－1，即m2－2m－3＝0, 解得m1＝－1，m2＝3(舍去). 当堂检测 提升 22051 $