25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习求根公式导入，提出“已知根如何确定系数”的问题，搭建起旧知求根公式与新知关系探究的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用求根公式推导和因式分解法双路径验证关系，培养学生逻辑推理能力，探究活动中引导独立思考与同伴交流，发展抽象能力和创新意识，例题将代数式化为含两根和与积的形式，强化模型意识。学生能提升推理与应用能力，教师可获得结构化教学流程和多样化推导方法。

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 第二十五章 一元二次方程 M A T H 22051 01 探索一元二次方程的根与系数的关系. 02 利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算. 学习目标 M A T H 22051 方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的求根公式是什么？ 思考：系数 a，b，c 确定，那么方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 确定，它的两个根也唯一确定. 反之，如果已知一元二次方程的两个根，系数又会如何呢？ 复习导入 M A T H 22051 任务一：探索一元二次方程的根与系数的关系． 活动：独立思考，再与同伴交流解决下列问题. 问题1：观察求根公式 ，它有什么特点，由此考虑一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 分析：整体上看，两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式，而且式子“n”中含有根号. 这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁. 探究学习 M A T H 22051 问题1：观察求根公式 ，它有什么特点，由此考虑一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？ 根据求根公式可知， x1+x2= + =-= x1x2 = ×== 即： x1+x2 ，x1x2= . 探究学习 M A T H 22051 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两个根 x1、x2 和系数a、b、c有如下关系: 注意：能使用该关系的前提条件是 △=b2-4ac≥0. 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 归纳 M A T H 22051 a(x-x1)(x-x2)=0. ax2 - a(x1+x2) x + ax1x2 = 0 展开再合并 -a(x1+x2)= b， ax1x2= c 问题2：从因式分解法可知，方程（ ， 为已知数）的两根为和，将方程化为ax2 + bx + c = 0的形式，也能得到上述关系，尝试做一做. x1+x2= ， x1x2= 探究学习 M A T H 22051 任务二：利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算． 活动1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积. (1) x2 - 6x - 15 = 0； (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； (3) 5x - 1 = 4x2.. 解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. (3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴ 　　　　　 不是一般式的要先化成一般式. 探究学习 M A T H 22051 （1）x2+3x+1=0； （2）2x2+3=5x2+x. 解：（1）Δ = 32 – 4 × 1 × 1 = 5 > 0. ∴方程有两个实数根. x1 + x2 = -3，x1 x2 =1. （2）原式整理得：3x2+x-3=0. Δ = 12 – 4 × 3 × (-3) = 37 > 0. ∴方程有两个实数根. x1 + x2 = x1 x2 = = -1. 1.求下列各方程的两根之和与两根之积.（不解方程） 巩固练习 M A T H 22051 活动2：设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x–3=0 的两个根. 利用根与系数之间的关系，求下列各式的值，并与同伴交流归纳解题方法. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2) 根据根与系数的关系得： （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1= （2） 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，可将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 探究学习 M A T H 22051 2.已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．已知，求的值． 解：由根与系数的关系得：，， ∵，∴， ∴，∴， 解得或， ∴＞0 ∵方程有两个不相等的实数根 ＞0 ∴p＞2或p＜-2 ∴. 巩固练习 M A T H 22051 针对本节课的关键词“一元二次方程的根与系数的关系”，你能说说学到了哪些知识吗？ 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、x2，那么 课堂小结 M A T H 22051 1.已知关于x的一元二次方程x2+4ax﹣4＝0，则此方程根的情况是( ) A. 两个相等的实数根 B.两根之和为﹣4 C. 两根之积为﹣4 D. 无实数根 C 基础 随堂小练 M A T H 22051 2.不解方程，求下列方程两根的和与积： (1)x2-2x=13 (2)3x2+2=1-6x (3)7x2-4=6x2+2x (4)2x2-2x+2=4x+6 解：(1)方程化为x2-2x-13=0. x1+x2=-(-2)=2，x1x2=-13. (2)方程化为3x2+6x+1=0. x1+x2=-2，x1x2=. (3)方程化为x2-2x-4=0. x1+x2=-(-2)=2，x1x2=-4. (4)方程化为2x2-6x-4=0. x1+x2=-=3，x1x2=-2. 基础 随堂小练 M A T H 22051 3.已知方程2x2-8x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以 x1+x2=1+x2=4，即 x2=3. 由于x1·x2=1×3=，得 m=6. 答：方程的另一个根是3，m=6. 基础 随堂小练 M A T H 22051 4.已知 a、b 是方程 x2+2x-5=0 的两根，不解方程，求： (1) 的值； (2) a2+3a+b的值． 解：根据根与系数的关系得：a+b=-2，ab=-5. (2)∵x2+2x-5=0，∴a2+2a=5. ∴a2+3a+b=(a2+2a)+(a+b)=5-2=3. 提升 随堂小练 M A T H 22051 $