精品解析：上海市南洋模范中学2025-2026学年高二下学期期末摸底考试数学试题

南洋模范中学高二期末摸底考试 数学 2026.6 一、填空题 1. 抛物线的准线方程为______________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据抛物线的性质得结论． 【详解】由抛物线方程得 ，焦点为，准线方程为． 故答案为：． 2. 已知事件与事件互斥，且，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】因为随机事件与互斥，且，， 所以. 故答案：. 3. 若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的底面积以及侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为 ，则，得， 所以圆柱的侧面积. 故答案为：. 4. 若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据赋值法，分别令，求解可得. 【详解】令可得：， 再令可得：， 所以. 故答案为： 5. 7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有___________种不同安排方式. 【答案】1200 【解析】 【分析】先应用排列数求出甲乙两人相邻的情况数，再求出其中甲丙相邻的情况数，应用间接法求甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻的情况数. 【详解】甲乙两人相邻的情况：将甲乙捆绑，再与其他5人作全排列， 所以共有种情况， 其中甲乙、甲丙都相邻的情况：乙丙在甲的两侧并作捆绑，再与其他4人作全排列， 所以共有种情况， 所以甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻共有种. 故答案为： 6. 某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为______分 【答案】 【解析】 【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可. 【详解】由直方图知：平均成绩为分. 故答案为： 7. 如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为 的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用圆锥、圆柱的侧面积公式即可求出学具的侧面积，再加上圆柱的一个底面积即可求出学具的表面积. 【详解】因为圆柱的底面半径与高都为 ，所以挖去的圆锥的母线长为，半径为10， 则圆锥的侧面积为， 又圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为, 所以学具的表面积为. 故答案为： 8. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的定义，可得， 因为是等边三角形，即， 所以，即， 又，所以， 因为中，，，， 所以， 即，解之得， 由此可得双曲线的离心率． 故答案为： 9. 已知曲线 ，曲线 ，若的顶点的坐标为，顶点 分别在曲线和上运动，则周长的最小值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】画出图形利用抛物线的定义，圆的定义、三角形三边关系以及注意取等条件即可求解. 【详解】如图所示： 由题意抛物线的焦点、圆的圆心均为， 作直线为抛物线 的准线，作出 ，它为圆的一部分， 其中三点共线且垂直抛物线的准线，同理 也三点共线且垂直抛物线的准线，其中， 所以， 在中令，则，即， 从而，等号同时成立当且仅当 分别与（或与关于轴的对称点）重合， 所以当 分别与重合时，周长有最小值，且最小值为. 故答案为：. 10. 如图，一个由四根细铁杆、、 、组成的支架（、、 、 按照逆时针排布），若，一个半径为 的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是_________________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知球与四根细铁杆的接触点在一个圆上， 如图1，依次连接各接触点，则得正四棱锥， 因为，则该正四棱锥的四个侧面都是正三角形. 设，则，， 因,则，则沿切得的图象如图2所示. 因为且，所以四边形为正方形， . 11. 已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程都有两个相等的实根．若，则满足条件的不同实数的个数为____________个． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得到(*)，记满足(*)式的不同实数个数为，再结合二次函数的性质即可逐个求得，，，，，...，再通过观察得到数列的递推公式，再构造等比数列，从而得到它的通项公式，进而即可求解． 【详解】依题意可得，即(*)， 记满足(*)式的不同实数个数为， 将看成自变量，看成参数，则为与的交点个数， 当时，有一个交点，即有一个根； 当，有2个交点，即有两个不同的根和，且， 当，有2个交点，即有两个不同的根和， 由，则或，即； 则或或，即； 同理可得，，，... 通过观察可得，则，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为，即，， 所以满足(*)式的不同实数个数为， 故满足条件的不同实数的个数为个． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：记满足(*)式的不同实数个数为，结合二次函数的性质求得，，，，，...，再观察得到递推公式，再构造等比数列是解答本题的关键． 12. 已知，设，，其中k是整数． 若对一切 ，都是区间上的严格增函数．则的取值范围是 __________ ． 【答案】． 【解析】 【分析】对二次求导，得到的凹凸性，有的几何意义是点和点连线的斜率，因此当时，满足要求，当时，需使点都在处的切线上或切线上方即可，求出曲线在处的切线方程，得到，整理变形，换元后画出及的图象，数形结合得到的取值范围. 【详解】， 令， 则， 因为，所以， 令 得或 ，令得，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 因为，，其中， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 且在和内下凹，在内上凸， 的几何意义是点和点连线的斜率， 当在内下凹时，可满足都是区间上严格递增， 因此当时，严格递增， 而当时，唯一可能使不严格递增的区间可能在， 曲线须在直线下方，曲线须在直线上方， 故需使点都在处的切线上或切线上方即可， 从图象可知，只需在处的切线上或切线上方即可， ，， 故曲线在处的切线方程为， 令，化简得， ，因此，即， 令，则，即， 其中，画出及的图象，如下： 由图可知，，即 故答案为： 【点睛】方法点睛：若函数在区间上有定义，若，则称为在区间上的凸函数，反之则称为在区间上的凹函数， 其性质为：若为在区间上的凸函数，则，则，反之，. 二、选择题 13. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 恰好有一个白球与都是红球 B. 至多有一个白球与都是红球 C. 至多有一个白球与都是白球 D. 至多有一个白球与至多一个红球 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得总事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解． 【详解】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球， 表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况， 故选项A中事件互斥不对立，A正确， 选项B：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B错误， 选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误， 选项D：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白），所以两个事件不互斥，故D错误， 故选：A． 14. 某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（ ） A. 讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B. 讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 C. 讲座后答卷得分的第80百分位数为95 D. 讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差 【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图即可判断AB；再根据百分位数的计算公式即可判断C；根据极差的定义即可判断D. 【详解】有茎叶图可知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，故A正确； 讲座前的答卷得分主要分布在之间，而讲座后主要分布在之间， 则讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，故B正确； 讲座后答卷得分依次为， 因为，所以第80百分位数是第8个数与第个数的平均数，为，故C错误； 讲座前答卷得分的极差为，讲座后得分的极差为， 所以讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，故D正确. 故选：C. 15. 已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，设，根据正n棱柱的结构特征，求出对应底面各顶点的x坐标，由可得对应的集合，进而得出对应的，即可求解. 【详解】如图，设AB所在的直线为x轴，过点A且与AB垂直的直线为y轴， 过点A且与平面垂直的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得，设， 则. 因为该几何体为正n棱柱，所以上底面与下底面各顶点的x坐标对应相等. 当时，该几何体为正三棱柱，作出其底面 的示意图，如图， 则，所以， 即，共有5个元素； 当时，该几何体为正方体，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有3个元素； 当时，该几何体为正六棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有9个元素； 当时，该几何体为正八棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则， 所以， 即，共有9个元素； 综上，当时，中的元素数量最少. 故选：B 16. 已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么（ ）． A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】取特殊函数，判断①、②的真假即可得解. 【详解】对①，取非奇函数，则为偶函数，故①为假命题； 对②，取函数，则函数不是周期函数，但是周期函数，故②为假命题. 故选：D 三、解答题 17. 已知数列 是首项为9，公比为的等比数列． （1）求的值； （2）设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值． 【答案】（1） （2）当 2或3时，取得最大值3 【解析】 【分析】（1）求出等比数列的通项公式，由等比数列的前项和求解即可； （2）记，由（1）知，由等差数列的前项和求出，由二次函数的性质即可求出答案. 【小问1详解】 由题，则， 【小问2详解】 记，由（1）知， 所以， ， 当 2或3时，取得最大值3． 18. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，． （1）求直线 与平面 所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线 与平面 的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解； （2）利用等体积转化法即可求解. 【小问1详解】 由题意知，直线 与平面 的夹角，即为， 易知，，又 ，故，进而有 ，， 由圆柱的表面积为，可得， 故，故直线 与平面 的夹角为． 【小问2详解】 设点A到平面的距离为h， 则，， ， 因为 平面ABP，， 所以BP⊥平面，即， 在中，， 故， 所以，即点A到平面的距离为． 19. 义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图． （1）求实数的值； （2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； （3）样本中有10名学生的成绩（记为，，2，…，10）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 【答案】（1） （2） （3）平均值为89.5，方差为21． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可. （2）根据分层抽样法，结合古典概型的概率公式求解即可. （3）根据平均数、方差及标准差的性质计算即可. 【小问1详解】 由题意知，， 解得. 【小问2详解】 结合频率分布直方图可知，成绩位于与位于的比例为，因此选取的6人中，2人成绩在中，4人成绩在中． 从6人中选取2人的方法数为种，即样本空间中有15个样本点． 至少有1人成绩在中有两种情况：恰有一人成绩在该区间中，共有种；两人成绩都在该区间，共有1种； 根据加法原理，该事件对应的样本空间的子集中有9个样本点． 根据古典概型中概率的定义，该事件发生的概率为． 【小问3详解】 剩余8人成绩的平均值为． 由10个人成绩的标准差，则，即， 于是剩下8人的成绩的方差为． 20. 椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点． （1）求椭圆的离心率； （2）若为直角三角形，求的面积； （3）若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在； 【解析】 【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，再根据椭圆的离心率公式即可得解； （2）分和两种情况讨论，结合椭圆的定义即可得解； （3）设 ，则直线，再根据已知可得，，化简，再根据韦达定理结合求得的关系，即可得出结论. 【小问1详解】 由椭圆的方程为，得标准方程为， 则，故， 所以离心率； 【小问2详解】 设，， 当时，， 此时， 由对称性，不妨设，且在第一象限， 令，得，则， 此时， 综上，的面积为或； 【小问3详解】 设 ，则直线， 由已知， 同理：， 因而，是方程的两根， 所以，得， 又点为椭圆上的动点， 所以，则， 由在第一象限得，所以， 所以存在，. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用 求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系； ④消去变量，得到定量关系. 21. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； （2）已知， ．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 【答案】（1）是函数的一个1度点；不是函数的1度点 （2）证明如下： 设，， 则曲线 在点处的切线方程为． 则该切线过点当且仅当（*）． 设，则当时，，故在区间上严格增． 因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点． （3）或 【解析】 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出一个根，满足要求，该切线过点 ，构造函数，解超越方程，无解，不合要求； （2）求出 在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕； （3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与 三种情况，进行求解. 【小问1详解】 设，则曲线在点处的切线方程为． 则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点， 该切线过点 ，故， 令，则，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，也时最小值，且， 故无解，点 不是函数的一个1度点 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 对任意，曲线在点处的切线方程为． 故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解． 设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点． 若，则在 上严格增，只有一个实数解，不合要求． 若，因为， 由或时 得严格增；而当时 ，得严格减． 故在时取得极大值，在时取得极小值． 又因为，， 所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，也不合要求． 故两个不同的零点当且仅当或． 若，同理可得两个不同的零点当且仅当或． 综上，的全体2度点构成的集合为或． 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南洋模范中学高二期末摸底考试 数学 2026.6 一、填空题 1. 抛物线的准线方程为______________. 2. 已知事件与事件 互斥，且，，则________． 3. 若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为____________. 4. 若，，则______. 5. 7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有___________种不同安排方式. 6. 某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为______分 7. 如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为 的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________． 8. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于， 两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 9. 已知曲线 ，曲线 ，若 的顶点的坐标为，顶点 分别在曲线和上运动，则 周长的最小值为____________． 10. 如图，一个由四根细铁杆、、 、组成的支架（、、 、 按照逆时针排布），若，一个半径为的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是_________________． 11. 已知数列满足，且对任意正整数 ，关于的实系数方程都有两个相等的实根．若，则满足条件的不同实数的个数为____________个． 12. 已知，设，，其中k是整数． 若对一切 ，都是区间上的严格增函数．则的取值范围是 __________ ． 二、选择题 13. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A. 恰好有一个白球与都是红球 B. 至多有一个白球与都是红球 C. 至多有一个白球与都是白球 D. 至多有一个白球与至多一个红球 14. 某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（ ） A. 讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B. 讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 C. 讲座后答卷得分的第80百分位数为95 D. 讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差 15. 已知棱长均为1的正 棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时， 的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 16. 已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么（ ）． A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题 三、解答题 17. 已知数列 是首项为9，公比为的等比数列． （1）求的值； （2）设数列的前 项和为，求的最大值，并指出取最大值时 的取值． 18. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，． （1）求直线 与平面 所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 19. 义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图． （1）求实数的值； （2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； （3）样本中有10名学生的成绩（记为，，2，…，10）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 20. 椭圆的方程为，、 为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点． （1）求椭圆的离心率； （2）若为直角三角形，求的面积； （3）若、 为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 21. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； （2）已知， ．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $