专项4 第十章二元一次方程组压轴题型期末复习专项 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组压轴题型，以“概念理解-特殊解法-实际应用”为逻辑主线，融合换元法、整体思想等解题技巧，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解与参数|5题|矩阵表示、解的性质应用|从解的定义延伸至参数求解，构建代数推理基础| |特殊解法|5题|换元法、整体思想、行列式法|拓展常规解法，培养运算能力与创新意识| |错解复原|5题|错解代入未错方程|利用方程解的唯一性，强化逻辑推理| |同解问题|5题|公共解联立求解|深化方程组解的本质联系| |方案/分配/利润/几何|各5题|建模分析、优化决策|从实际问题抽象等量关系，发展模型意识|

专项4第十章 二元一次方程组压轴题型 目录 题型1 由二元一次方程组的解求参数 1 题型2 二元一次方程组的特殊解法 6 题型3 二元一次方程组错解复原问题 14 题型4 同解问题 18 题型5 方案问题 25 题型6 分配问题 31 题型 7 销售利润问题 37 题型8 几何问题 44 题型1 由二元一次方程组的解求参数 1．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于，的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式： (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求与的值； (3)若矩阵对应的方程组的解为，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将原方程组变为标准形式，再根据题意写出矩阵形式即可； （2）根据矩阵写出对应的方程组，然后把方程组的解代入，即可求出a、b的值；． （3）根据矩阵写出对应的方程组，然后把方程组的解代入，即可求出，， 然后代入计算即可．． 【详解】（1）解：将原方程组整理为标准形式， 根据题中规定，写出矩阵形式为； （2）解：矩阵对应的二元一次方程组为， 该方程组的解为， 将解代入方程组得， 解得； （3）解：矩阵对应的二元一次方程组为 该方程组的解为， 将解代入方程组得， 整理得，， ∴． 2．若方程组与有公共解，求的值． 【答案】 【分析】先把两个方程组中的有数字系数的方程联立组成新的方程组，求解得到、的值，再分别代入两个方程组的字母系数方程得到关于、的二元一次方程组求解得到、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：方程组与有公共解， 方程组的解也是方程组的解， 解方程组得， 把代入方程组，得， 解得， ． 3．已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个固定解，请求出这个解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将变形为，分别令求得的值，即可求解； （2）先通过方程组解出、的值，再将、代入代数式求出即可； （3）将原式进行变换后即可求出这个固定解． 【详解】（1）解：， ∴， 当时，， 当时，， ∴的所有正整数解为， ； （2）解：由和得， ， 解得，代入得， ， 解得； （3）解：整理得， ， 根据题意得， 解得， 所以，这个固定不变的解为． 4．我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，，，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“幸福”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求的值． 【答案】(1)不是 (2)2 (3)4 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到关于的一元一次方程，进行求解即可； （3）根据新定义，列出关于的方程组，求出的值，再解关于的方程组，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵方程中，， ∴方程不是“幸福”方程； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程， ∴， 解得； （3）解：∵关于x，y的“幸福”方程组是“幸福”方程组， ∴ ∴， ∴原方程组为，解得， ∴， ∴． 5．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 题型2 二元一次方程组的特殊解法 6．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)关于，的方程组的解_____； (2)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； (3)已知关于，的方程组，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题三个小题均使用换元法将原复杂方程组转化为简单的二元一次方程组求解，解出换元后的未知数后，再还原得到原问题的结果． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （2）设，， 则方程组可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 解得； （3）设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握整体代换、构造新元简化方程组是解题的关键． 7．【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数，满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得， ，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，根据方法二求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将并化简即可得到，将即可得到； （2）先根据题干的定义列出方程组，再写出的计算式，利用整体思想构造即可． 【详解】（1）解：， 将，得， 两边同除以，得， 将，得； （2）解：∵，， ∴， 将，得， ∴． 8．阅读下列材料，完成后面的问题： 除了加减消元法和代入消元法，我们可以用二阶行列式求解二元一次方程组，规则如下： 对于二元一次方程组（、不同时为0，、不同时为0）： ①系数行列式：（对角线相乘再相减）； ②替换行列式：， ③求解：当时，方程组有唯一解，． 示例：解，步骤：①算；②算，；③求，． (1)直接计算行列式的值：__________． (2)利用材料中的行列式方法解方程组：，写出、、及方程组的解． (3)若二元一次方程组，、都等于25且，能否求出一组符合题意的，，的值，并根据你求出的三个值解出该方程组． 【答案】(1) (2)，，， (3)能，，，，方程组的解为（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】（1）直接套用行列式计算规则； （2）按步骤计算行列式再求方程组的解； （3）根据和的值得到参数关系，取一组符合条件的参数再求解方程组即可 【详解】（1）解：根据题干规则计算得：； （2）对于方程组 计算系数行列式得： 计算替换行列式： ， 求解得：， 即方程组的解为； （3）对于方程组， 根据题意得： ， ， 解方程 得 令，代入 ， 解得 此时，符合条件 求解得 ， 即一组符合题意的值为，，， 原方程组的解为 9．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． (1)解方程组． (2)猜想：下列关于、的方程组的解是什么？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． （2）解：猜想：关于、的方程组的解是． 理由：观察例题和(1)中方程组的形式及解可得结论，验证如下， ， 得，， 所以，③， 将③，得④， ，得， 把代入③得，， 方程组的解是． 10．【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 (1)方程的“对称二元一次方程”是________； (2)若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，求，的值． (3)观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加：即 ， ③ 两式相减：即 ， ④ 代入求解：把④代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是：． 根据上述解题过程直接写出方程组的解： ①的解为____________． ②的解为____________． 【答案】(1) (2)， (3)①；② 【分析】（1）根据所给定义，写出方程即可； （2）根据所给定义，得出关于，的方程组，据此进行计算即可； （3）结合所给求解方法进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意得，方程的“对称二元一次方程”是． （2）解：∵关于、的方程组为“对称二元一次方程组”， ，解得． （3）解：①， ，得，即③， ，得，即，∴④， 将④代入③，得，解得，则． ∴方程组的解为． ②， ，得，即③， ，得，即，∴④， 将④代入③，得，解得，则． ∴方程组的解为． 题型3 二元一次方程组错解复原问题 11．小明和小文两人同解关于，的二元一次方程组，由于小明抄错了第一个方程，得到方程组的解为，小文抄错了第二个方程，得到方程组的解为，试求的值 【答案】 【分析】小明抄错第一个方程，所得的解满足正确的第二个方程，小文抄错第二个方程，所得的解满足正确的第一个方程，据此列出关于、的二元一次方程组，求解后代入待求式计算即可． 【详解】解：由题意得，小明的解，满足方程， 小文的解，满足方程， 将解分别代入对应方程，得， 由第一个方程得， 将，代入第二个方程得， 整理得，解得， 将代入得：， 则． 12．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）甲看错方程①中的，就把代入②式，乙看错了方程②中的，就把代入①式； （2）将代入用代入消元法即可求解． 【详解】（1）解：由题意，将代入方程得：，解得； 将代入方程得：，解得． （2）解：由（1）得：原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 13．已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【答案】 【分析】求出的解，然后代入中求得的值；设方程中的系数为，的系数为，把原方程组的正确解与错误解代入第一个方程中求解即可求解． 【详解】解：解方程组，得， 把代入，得，， 设方程组中含有▲的方程中的系数为，的系数为， 把和代入含有▲的方程得， 解得， 原方程组为． 14．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，0 【详解】解：将代入②，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 故 15．已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 题型4 同解问题 16．方程组和拥有完全相同的解，求、的值． 【答案】， 【分析】先求解出与的值，再代入第二个方程组求出与的值． 【详解】解：， 将，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为， 将代入，得， ， 整理，得， 将，得， 解得， 将代入③，得， 解得， ∴，． 17．解答： (1)已知方程组与方程组的解相同，求、的值． (2)关于，的方程组的解满足，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知的两个方程组的解相同得到关于、的方程组，求出、的值，再将、的值代入含、的两个方程中，得到关于、的二元一次方程组，进而求出、的值即可； （2）解方程组求出，的值，再将，的值代入即可求出的值． 【详解】（1）解：∵方程组与方程组的解相同，， ∴这两个方程组的解也是方程组的解， 由①得， 将代入②得， 解得， 将代入①，得， 解得, ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有，的方程组得， 得， 解得， 将代入③，得， 解得； （2）解：解方程组， 得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∵关于，的方程组的解满足， ∴将，代入得， 解得． 18．已知关于的方程组的解也是方程的解． (1)求的值及方程组的解． (2)在（1）的条件下，方程组的解恰是平面直角坐标系中点的坐标，请直接写出点的坐标，并指出点所在的象限． 【答案】(1)；方程组的解为 (2)，在第四象限 【分析】（1）先联立不含的两个方程，求解出的值，由此可解的值． （2）根据方程组的解可得点的坐标，由此可知所在的象限． 【详解】（1）解：∵方程组的解也是方程的解． ∴联立， 由可得， 将代入可得，解得， 将代入可得， 将，代入中，可得，解得， ∴的值为3，方程组的解为． （2）解：由（1）知，点的坐标为， 横坐标，纵坐标，点在第四象限． 19．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同解方程组，二元一次方程组解法，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入得，再解方程组得，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解， ∴ 得，，解得：， 把代入得，，解得：， ∴二元一次方程组的解为， ∴这两个方程组的解； （2）解：∵这两个方程组的解， ∴，整理得：， 解得， ∴， ∴的值． 20．定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”． (1)下列方程是“阶梯方程”的是 ． ①        ②        ③        ④ (2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解． (3)若方程组的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)③④ (2) (3)2或3 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤，理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，求出，，然后判断即可； （2）根据已知条件将b和c用a表示出来，转换成关于x，y的方程组，解方程组即可； （3）根据已知条件中的新定义，把方程换成含有a，x，y的方程，然后解方程组求出x，y，再根据方程组的解为整数，判断a的整数值即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故①不符合题意； ②， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故②不符合题意； ③化为：， ， ， ∴， ∴是“阶梯方程”，故③符合题意； ④， ， ，， ∴， ∴是“阶梯方程”，故④符合题意， 故答案为：③④； （2）解：∵， ∴， ∴变为：， ， ， ∵等式a为任意数时都成立， ∴， 由②得：， 把代入①得：， ∴这组解为：； （3）解：∵， ∴， ∴方程组化为， 由②得：，③代入①得： ， ， ， ， ， 把代入③得：， ∵y为整数， ∴或， 解得：或或2或3， ∵，， ∴或2或3， 当时，，此情况不存在； 当时，； 当时，； ∴a的整数值为：2或3． 题型5 方案问题 21．某市生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨．现有洋葱32吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱．根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车载满洋葱一次可运送3吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送4吨 (2)该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用8辆A型车，2辆B型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆B型车 (3)费用最少的租车方案为：租用4辆A型车，5辆B型车，最少租车费为1000元 【分析】（1）设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B 型车载满洋葱一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解之即可； （2）根据一次运送32吨洋葱，即可得出关于a，b的二元一次方程，解之a，b均为非负整数，即可得出各租车方案； （3）分别计算两种方案的租车费用，然后比较解答即可. 【详解】（1）解：设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨， 依题意得：， 解得：． 答：1辆A型车载满洋葱一次可运送3吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送4吨； （2）解：依题意得：， ∴ 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用8辆A型车，2辆B型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆B型车； （3）解：方案1所需租车费为（元）； 方案2所需租车费为（元）． ∵， ∴费用最少的租车方案为：租用4辆A型车，5辆B型车，最少租车费为1000元． 22．上周六，一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．利用二元一次方程组的知识，求上周六咖啡店使用无人机配送了多少单? 【答案】上周六咖啡店使用无人机配送了20单 【分析】设上周六咖啡店使用传统骑手配送了单，使用无人机配送了单， 根据“咖啡店共发出了50单外卖和该店当天的总运费支出为380元”列出关于、的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设上周六咖啡店使用传统骑手配送了单，使用无人机配送了单， 根据题意可得： ， 解得， 答：上周六咖啡店使用无人机配送了20单． 23．张老师前后三次在同一文具店购买商品A、B（每次A、B两种商品都购买，且A、B都是购买整数个），其中第一、第二次购物时均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如下表所示： 购买次数 A的数量（个） B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次 第二次 (1)求商品A、B的标价 (2)张老师第三次购物时，商品A、B同时打八折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个 (2)张老师共有两种购买方案，方案一：购买10个商品A，4个商品B；方案二：购买5个商品A，8个商品B 【分析】（1）根据两次购买的数量和总费用，设未知数建立二元一次方程组，求解即可得到商品标价． （2）根据打折后总费用建立二元一次方程，结合A、B都需购买且数量为正整数的条件，找出方程所有符合要求的正整数解，即可得到所有购买方案． 【详解】（1）解：设商品A的标价为元/个，商品B的标价为元/个， 根据题意得： 解得： 答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个． （2）设张老师购买个商品A，个商品B， 根据题意得：， 整理得， ∴． ∵，都是正整数，要求两种商品都购买，因此为整数，即为4的倍数，且，， 当时，，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，不符合两种商品都购买的要求，舍去． 答：张老师共有两种购买方案，方案一：购买10个商品A，4个商品B；方案二：购买5个商品A，8个商品B． 24．洛川苹果是陕西特色农产品，声名远播，今年又是一个丰收年，某经销商为了打开销路，对1000个精品苹果进行打包优惠出售．打包方式及售价如图所示． 1.纸盒装每箱8个苹果 2.编织袋装每袋18个苹果 3.纸盒装每箱售价64元 4.编织袋装每袋售价126元 (1)若销售箱纸盒装和袋编织袋装的苹果的收入共950元，求的值； (2)假设用这两种打包方式恰好装完全部苹果，当销售总收入为7280元时： ①若这批苹果全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋共包装了多少袋？ ②若该经销商留下（，为正整数）箱纸盒装送人，其余苹果全部售出，求的值； (3)若为回馈顾客，经销商推出优惠活动：每买一箱纸盒装赠送一个苹果，每买一编织袋装赠送两个苹果．若优惠后所有苹果（含赠送）恰好全部出完货且无剩余，且两种包装均有售卖，请直接写出纸盒装、编织袋装的包装数量的所有可能情况． 【答案】(1) (2)①纸盒装装了35箱，编织袋装了40袋；② (3)纸盒装装100箱，编织袋装5袋；或纸盒装装80箱，编织袋装14袋；或纸盒装装60箱，编织袋装23袋；或纸盒装装40箱，编织袋装32袋；或纸盒装装20箱，编织袋装41袋 【分析】（1）根据“单价销售箱数收入”的等量关系，列出关于的方程，求出． （2）设纸盒装共包装了箱，编织袋共包装了袋，根据题意，可以列出以下方程组，即可求出结果，由题意列出方程组，求出值． （3）设纸盒装共包装了 箱，编织袋共包装了袋，根据题意，纸盒装每箱个苹果，编织袋装每袋个苹果，根据苹果总数是固定的列出方程． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得：． （2）解：设纸盒装共包装了箱，编织袋装共包装了袋． 由题意可得， ， 解方程组得，， 答：纸盒装装了箱，编织袋装了袋． 解：由题意得， ， 由得， ， 代入得， ， 化简得，，观察可知为的倍数， ∵、、均为整数，且、、， ∴，此时，满足题意． （3）解：设纸盒装共包装了 箱，编织袋装共包装了袋． 由题意得， ∵、正整数， ∴， ∴， 枚举得所有解： ，． ，． ，． ，． ，； 答：纸盒装装100箱，编织袋装5袋；或纸盒装装80箱，编织袋装14袋；或纸盒装装60箱，编织袋装23袋；或纸盒装装40箱，编织袋装32袋；或纸盒装装20箱，编织袋装41袋． 25．长沙市立信中学拟组织七、八年级师生去参观长沙博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到长沙博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车a辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题： (1)任务1：根据素材1、2，解决下列问题： 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)任务2：根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题： 七年级若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元； (2)租用6辆60座客车和1辆45座客车最合算． 【分析】（1）设出两种客车的租金，根据租金差和总租金列出二元一次方程组，求解得出单价； （2）设七年级租用45座客车数量，根据人数不变列出一元一次方程求出总人数，再设租用45座客车m辆，60座客车n辆，列出二元一次方程，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设60座和45座的客车每辆每天的租金分别是元、元， 由题意得：， 解得：， 答：60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元； （2）解：由题意得：， 解得：， 所以七年级共人， 设租用45座客车m辆，60座客车n辆，满足： ， 化简得：， 因为m、n为正整数， 当时，，总租金为； 当时，，总租金为； ∵， ∴租用6辆60座客车和1辆45座客车最合算． 题型6 分配问题 26．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 27．某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【答案】(1) (2)需甲车型辆，乙车型辆 【分析】（）根据丙型车需要的运载量除以每一辆丙型汽车运载量即可得出丙型车的数量； （）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，由题意得，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：丙型车的数量为（辆）， （2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆， 由题意得， 解得， 答：需甲车型辆，乙车型辆； 28．某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)使加工出的A，B板块恰好用完，能做个礼盒 (3)9 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可； （2）设未知数，列方程组求解即可； （3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 （2）解：由题意可得， ， 解得：， 即有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完， 此时，礼盒的个数为（个）； （3）解：由题意得，， 解得， ∵x、a都是正整数， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，是整数，符合题意， ∵x、a都是正整数， ∴a的最小整数值为9，此时，A、B分别有32块和16块，这样使礼盒制作完毕后的板块恰好用完． 29．完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】【任务一】每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套； 【任务二】每副镜架的出厂价应定为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用和利润率的计算，关键是理解配套关系和利润率的公式． 任务一：根据“每副镜架由1个镜框和2个镜腿配套”，得到镜腿数量是镜框数量的2倍，据此列方程求解； 任务二：根据“利润率=利润÷成本”先算出利润，再由“出厂价成本利润”利用方程计算出厂价． 【详解】任务一： 解：设分配名工人生产镜框，则名工人生产镜腿． ∵每副镜架需要1个镜框和2个镜腿， ∴镜腿的日产量应是镜框日产量的2倍， 可得方程， 解得， 则生产镜腿的工人数量为(名)． 答：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套． 任务二： 解：设每副镜架的出厂价应定为元． 由题意，得，解得． 答：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元． 30．【问题情景】 南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】 市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． 【解决问题】 (1)设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩． 请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑______亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑______亩． (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (3)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 【答案】(1)， (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑 (3)方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和方程组，是解题的关键： （1）根据题意，直接列出代数式即可； （2）根据一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩，列出方程组进行求解即可； （3）根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：由题意，2台大型采摘设备每小时采摘沃柑亩，3台小型采摘设备每小时采摘沃柑亩； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：，解得：； 答：大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑． （3）解：由题意，得：， ∴， ∵均为正整数， ∴，，； 故共有3种租赁方案： 方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台． 题型 7 销售利润问题 31．某校计划从批发市场花6000元购买篮球和足球共240个，组织学生手绘设计后出售，并将利润全部捐给山区贫困儿童，已知篮球批发是20元/个，足球批发是30元/个． (1)该校购进篮球和足球各多少个？ (2)已知篮球零售价32元/个，足球零售价是43元/个，若这批篮球足球全部售出，求该校这次义卖活动所获的利润． 【答案】(1)该校购进篮球120个,足球120个． (2)该校这次义卖活动所获利润为3000元． 【分析】（1）设该校购进篮球个，足球个，某校计划从批发市场花6000元购买篮球和足球共240个，据此列出方程组并解方程组即可； （2）根据总利润等于每件利润乘对应数量，分别计算篮球和足球的利润再相加即可得到总利润． 【详解】（1）解：设该校购进篮球个，足球个， 根据题意得， 解得． 答：该校购进篮球120个，足球120个； （2）解：（元）． 答：该校这次义卖活动所获利润为3000元． 32．2026年中超联赛重燃战火，成都蓉城队表现卓越，在全市范围内引发了足球热潮．为弘扬体育精神，丰富校园文化，某校计划采购一批成都蓉城队纪念徽章与定制足球帆布袋．若采购2套纪念徽章和3个帆布袋，所需资金共计240元；若采购3套纪念徽章和2个帆布袋，所需资金共计260元． (1)求纪念徽章和帆布袋的售价分别为多少元？ (2)学校计划购进纪念徽章和帆布袋共120个，商场售出一套纪念徽章，利润率为．一个帆布袋的进价为25元．为了促销，商场决定每售出一个帆布袋，返还现金a元，纪念徽章售价不变，若所有采购方案获利相同，求a的值． 【答案】(1)纪念徽章的售价为60元，帆布袋的售价为40元 (2)5 【分析】（1）设纪念徽章的售价为元，帆布袋的售价为元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）利用利润率先求出纪念徽章的进价，再求出每套纪念徽章和每个帆布袋的利润，求出总利润的表达式，利用总利润与的取值无关，求出的值． 【详解】（1）解：设纪念徽章的售价为元，帆布袋的售价为元， 根据题意得： 解得： 答：纪念徽章的售价为60元，帆布袋的售价为40元； （2）解：设购进纪念徽章套，则购进帆布袋个，总获利为元， 纪念徽章进价为元， 每套纪念徽章的利润为元， 每个帆布袋的利润为元， 则总利润为：， 由所有采购方案获利相同得：， 解得：． 33．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案? 素材1 为落实劳动教育与美育融合育人的要求，玉溪市红塔区某非遗文创工作室依托本地文化资源，推出了一系列兼具实用性与文化内涵的文创商品，让学生在感受本土非遗之美的同时，体会工匠劳动的价值．该工作室有两种核心非遗文创商品：青花书签（融合玉溪青花瓷烧制技艺，学生可参与简易彩绘劳动体验）和瓦猫冰箱贴（源自瓦窑社区瓦猫非遗，承载传统美学与民俗文化）． 素材2 若小明在该工作室购买了4套青花书签和5个瓦猫冰箱贴，共花费114元；若小红购买了3套青花书签和2个瓦猫冰箱贴，共花费68元． 素材3 临近期中考试，某中学的数学王老师，计划用部分资金在该工作室购买上述两种文创商品作为奖品，奖励表现优秀的学生，既肯定学生的综合表现，也进一步传播本土非遗文化． 问题解决： (1)任务1：该工作室1套青花书签和1个瓦猫冰箱贴的售价分别是多少元？ (2)任务2：若王老师购买了青花书签和瓦猫冰箱贴，两种商品都必须购买，用于期中考试优秀的学生，且总花费恰好为180元，请设计出可行的购买方案． 【答案】(1) 1套青花书签的售价是16元，1个瓦猫冰箱贴的售价是10元 (2) 共有2种可行的购买方案，方案1：购买5套青花书签，10个瓦猫冰箱贴；方案2：购买10套青花书签，2个瓦猫冰箱贴 【分析】（1）根据两种购买情况的总花费，设单价为未知数，列二元一次方程组求解即可得到单价； （2）根据总花费列出二元一次方程，结合两种商品都必须购买即未知数均为正整数的条件，找出所有符合要求的正整数解，即可得到可行购买方案. 【详解】（1）解：设1套青花书签的售价为元，1个瓦猫冰箱贴的售价为元， 根据题意可得方程组， 解得； 答：1套青花书签的售价为元，1个瓦猫冰箱贴的售价为元； （2）解：设购买套青花书签，个瓦猫冰箱贴，其中均为正整数， 由题意得， ∴， ∵是正整数， ∴是5的正倍数， ∴或， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 故可行的购买方案为两种，分别是购买5套青花书签和10个瓦猫冰箱贴，或购买10套青花书签和2个瓦猫冰箱贴. 34．某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送3根跳绳，买1个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为6元，某日售卖两款足球总计盈利300元，那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 【答案】(1)， (2)该商场可获利1200元 (3)该日销售A款足球3个，B款足球13个或A款足球12个，B款足球2个 【分析】（1）根据购进总费用的条件列出关于的二元一次方程组，求解即可； （2）根据总消费列出关于的方程，整体代入计算总利润； （3）根据促销规则计算单个足球的实际利润，列出方程后求非负整数解即可得到所有可能结果． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：， 答：的值为，的值为； （2）解：根据题意可得：， 化简得， 总利润为（元）， 答：该商场可获利1200元； （3）解：设该日销售A款足球个，B款足球个，其中均为非负整数． 根据题意，单个A款足球利润为（元），单个B款足球利润为（元）， 因此得方程：， 化简得， 即， ∵均为非负整数， ∴是9的非负倍数， 只有或符合要求， 答：该日销售A款足球3个，B款足球13个或A款足球12个，B款足球2个． 35．按要求完成下列问题： 项目 内容 背景 某农副产品集散中心以4000元/吨的价格收购散装果蔬，经过精细化加工，分装成优质礼盒果蔬对外以6400元/吨批发销售（仅按果蔬净重计，礼盒重量不计入计价重量）． 素材1 加工流程与消耗： 1．第一道程序（分拣清洗）：每处理1吨散装果蔬，需要消耗“专用内衬保鲜袋”10个，“等级标识卡”5张． 2．第二道程序（精美包装）：每产出1吨优质礼盒果蔬（净重），需要消耗“精品礼盒箱”20个，“食品安全追溯码”20张． 素材2 数据统计与成本说明： 1．当日消耗：全程合计消耗“内衬保鲜袋”与“精品礼盒箱”共3500个；消耗“等级标识卡”与“追溯码”共2750张． 2．成本：所有包装耗材（袋子、箱子、卡片等）的平均采购单价为1．5元/个（或张）． 3．收支平衡：分拣产生普通果蔬的销售收入，恰好用于支付当日的人工、水电、场地租金等所有其他开支． (1)若设该集散中心当日收购散装果蔬x吨，加工出优质礼盒果蔬（净重）y吨，请填写下表， x吨当日收购散装果蔬 y吨礼盒果蔬（净重） 消耗“内衬保鲜袋”与“精品礼盒箱”数量 消耗“等级标识卡”与“追溯码”数量 (2)任务1：求该集散中心当日收购散装果蔬多少吨？加工出优质礼盒果蔬净重多少吨？ (3)任务2：求当日这批优质果蔬礼盒全部销售完毕后的利润是多少元？（利润=优质礼盒果蔬销售额-原果收购成本-包装物料成本） 【答案】(1)；；； (2)当日收购散装果蔬150吨，加工出优质礼盒果蔬净重100吨 (3)利润为30625元 【分析】（1）根据题目给出的各工序耗材消耗规则，用含，的代数式表示对应耗材数量； （2）根据总耗材数量列出二元一次方程组，求解得到，的值； （3）根据题目给出的利润公式，代入，的值计算得到最终利润． 【详解】（1）解：由题意可得x吨散装果蔬，消耗内衬保鲜袋数量为，y吨礼盒果蔬，消耗精品礼盒箱数量为，x吨散装果蔬，消耗等级标识卡数量为，y吨礼盒果蔬，消耗追溯码数量为，因此表格从左到右从上到下依次填入；；；． x吨当日收购散装果蔬 y吨礼盒果蔬（净重） 消耗“内衬保鲜袋”与“精品礼盒箱”数量 消耗“等级标识卡”与“追溯码”数量 （2）解：根据总耗材数量，列方程组 解得 答：该集散中心当日收购散装果蔬150吨．加工出优质礼盒果蔬净重100吨． （3）解：各项成本与收入总耗材数量： 包装物料成本：（元） 优质礼盒销售额：（元） 原果收购成本：（元） 利润：（元） 答：当日这批优质果蔬礼盒全部销售完毕后的利润是30625元． 题型8 几何问题 36．广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多，D的面积比B的面积的3倍少．设A的面积为，B的面积为． (1)C的面积为_____（用含的代数式表示），D的面积为_____（用含的代数式表示）； (2)若A的面积与B的面积之和为，C的面积比D的面积少，求和． 【答案】(1)；； (2)和的值分别为4和6 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）根据题意可得和，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵C的面积比A的面积的2倍多，A的面积为， ∴C的面积为； ∵D的面积比B的面积的3倍少，B的面积为， ∴D的面积为； （2）解：∵A的面积与B的面积之和为， ∴， ∵C的面积比D的面积少， ∴ ， ∴， 解得． 37．学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)如图3，已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图． 方案1：裁剪________块椅座，________块椅背； 方案2：裁剪________块椅座，________块椅背． (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ 【答案】(1)1，6，； 4，2， (2)有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪 【分析】（1）根据题意可得可以裁剪1块椅座，6块椅背或裁剪4块椅座，2块椅背，即可解答； （2）设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意，列出方程组，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意得： ， 解得：， 答：有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪． 38．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)， (2)可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个 (3)方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器；方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器 【分析】（1）观察两种无盖容器的结构，分别数出制作1个容器所需的长方形、正方形铁片数量，直接得出、的值； （2）设竖式、横式容器的数量为未知数，根据长方形和正方形铁片的总数量列二元一次方程组，解方程组得到结果； （3）设两种容器的采购数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，结合正整数的条件求出所有符合的解，得到采购方案． 【详解】（1）解：，； 1个横式无盖容器：个正方形侧面个长方形面（前后+底面），故； 1个竖式无盖容器：个正方形底面个长方形侧面，故； （2）解：设可加工成竖式长方形容器个，横式长方体容器个． 可以列出方程组，     解得．     答：可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个． （3）解：设采购个竖式容器，个横式容器， 根据题意得：，     解得， 又因为，均为正整数， 所以或或， 故共有3种方案可供选择： 方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器； 方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器． 39．定义：在解方程组时，我们可以先令，得，再令，得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组． (2)如图，小亮和小莹一起搭积木，小亮所搭的“小塔”高度为，小莹所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求A、B型积木的高分别是多少厘米？ 【答案】(1)，过程见解析； (2)A、B型积木的高分别是，． 【分析】（1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②①，得， 解方程组得． A、B型积木的高分别是，． 40．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 【答案】(1)； (2)小长方形的长是，宽是 (3)每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为 【分析】（1）根据图1、图2列二元一次方程即可； （2）联立（1）中两二元一次方程求解即可； （3）设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为，根据题干图列方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图1可列二元一次方程，由图2可列二元一次方程． （2）解：根据题意，得， 解得， 答：小长方形的长是，宽是． （3）解：设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为， 根据题意，得， 解得， 答：每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项4第十章 二元一次方程组压轴题型 目录 题型1 由二元一次方程组的解求参数 1 题型2 二元一次方程组的特殊解法 2 题型3 二元一次方程组错解复原问题 6 题型4 同解问题 7 题型5 方案问题 7 题型6 分配问题 9 题型 7 销售利润问题 12 题型8 几何问题 14 题型1 由二元一次方程组的解求参数 1．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于，的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式： (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求与的值； (3)若矩阵对应的方程组的解为，则______． 2．若方程组与有公共解，求的值． 3．已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个固定解，请求出这个解． 4．我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，，，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“幸福”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求的值． 5．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 题型2 二元一次方程组的特殊解法 6．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)关于，的方程组的解_____； (2)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； (3)已知关于，的方程组，求，的值． 7．【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数，满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得， ，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，根据方法二求的值． 8．阅读下列材料，完成后面的问题： 除了加减消元法和代入消元法，我们可以用二阶行列式求解二元一次方程组，规则如下： 对于二元一次方程组（、不同时为0，、不同时为0）： ①系数行列式：（对角线相乘再相减）； ②替换行列式：， ③求解：当时，方程组有唯一解，． 示例：解，步骤：①算；②算，；③求，． (1)直接计算行列式的值：__________． (2)利用材料中的行列式方法解方程组：，写出、、及方程组的解． (3)若二元一次方程组，、都等于25且，能否求出一组符合题意的，，的值，并根据你求出的三个值解出该方程组． 9．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． (1)解方程组． (2)猜想：下列关于、的方程组的解是什么？ 10．【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫作“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 (1)方程的“对称二元一次方程”是________； (2)若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，求，的值． (3)观察方程组中两个方程“系数对称”，且常数项相同，可直接相加减消元： 解：两式相加：即 ， ③ 两式相减：即 ， ④ 代入求解：把④代入方程③，得：，解得，则． 所以这个方程组的解是：． 根据上述解题过程直接写出方程组的解： ①的解为____________． ②的解为____________． 题型3 二元一次方程组错解复原问题 11．小明和小文两人同解关于，的二元一次方程组，由于小明抄错了第一个方程，得到方程组的解为，小文抄错了第二个方程，得到方程组的解为，试求的值 12．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 13．已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 14．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 15．已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 题型4 同解问题 16．方程组和拥有完全相同的解，求、的值． 17．解答： (1)已知方程组与方程组的解相同，求、的值． (2)关于，的方程组的解满足，求． 18．已知关于的方程组的解也是方程的解． (1)求的值及方程组的解． (2)在（1）的条件下，方程组的解恰是平面直角坐标系中点的坐标，请直接写出点的坐标，并指出点所在的象限． 19．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的解； (2)求的值． 20．定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”． (1)下列方程是“阶梯方程”的是 ． ①        ②        ③        ④ (2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解． (3)若方程组的解为整数，求整数的值． 题型5 方案问题 21．某市生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨．现有洋葱32吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱．根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 22．上周六，一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．利用二元一次方程组的知识，求上周六咖啡店使用无人机配送了多少单? 23．张老师前后三次在同一文具店购买商品A、B（每次A、B两种商品都购买，且A、B都是购买整数个），其中第一、第二次购物时均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如下表所示： 购买次数 A的数量（个） B的数量（个） 购买总费用（元） 第一次 第二次 (1)求商品A、B的标价 (2)张老师第三次购物时，商品A、B同时打八折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 24．洛川苹果是陕西特色农产品，声名远播，今年又是一个丰收年，某经销商为了打开销路，对1000个精品苹果进行打包优惠出售．打包方式及售价如图所示． 1.纸盒装每箱8个苹果 2.编织袋装每袋18个苹果 3.纸盒装每箱售价64元 4.编织袋装每袋售价126元 (1)若销售箱纸盒装和袋编织袋装的苹果的收入共950元，求的值； (2)假设用这两种打包方式恰好装完全部苹果，当销售总收入为7280元时： ①若这批苹果全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋共包装了多少袋？ ②若该经销商留下（，为正整数）箱纸盒装送人，其余苹果全部售出，求的值； (3)若为回馈顾客，经销商推出优惠活动：每买一箱纸盒装赠送一个苹果，每买一编织袋装赠送两个苹果．若优惠后所有苹果（含赠送）恰好全部出完货且无剩余，且两种包装均有售卖，请直接写出纸盒装、编织袋装的包装数量的所有可能情况． 25．长沙市立信中学拟组织七、八年级师生去参观长沙博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到长沙博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车a辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题： (1)任务1：根据素材1、2，解决下列问题： 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)任务2：根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题： 七年级若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？ 题型6 分配问题 26．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 27．某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 28．某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 29．完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 30．【问题情景】 南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】 市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． 【解决问题】 (1)设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩． 请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑______亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑______亩． (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (3)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 题型 7 销售利润问题 31．某校计划从批发市场花6000元购买篮球和足球共240个，组织学生手绘设计后出售，并将利润全部捐给山区贫困儿童，已知篮球批发是20元/个，足球批发是30元/个． (1)该校购进篮球和足球各多少个？ (2)已知篮球零售价32元/个，足球零售价是43元/个，若这批篮球足球全部售出，求该校这次义卖活动所获的利润． 32．2026年中超联赛重燃战火，成都蓉城队表现卓越，在全市范围内引发了足球热潮．为弘扬体育精神，丰富校园文化，某校计划采购一批成都蓉城队纪念徽章与定制足球帆布袋．若采购2套纪念徽章和3个帆布袋，所需资金共计240元；若采购3套纪念徽章和2个帆布袋，所需资金共计260元． (1)求纪念徽章和帆布袋的售价分别为多少元？ (2)学校计划购进纪念徽章和帆布袋共120个，商场售出一套纪念徽章，利润率为．一个帆布袋的进价为25元．为了促销，商场决定每售出一个帆布袋，返还现金a元，纪念徽章售价不变，若所有采购方案获利相同，求a的值． 33．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案? 素材1 为落实劳动教育与美育融合育人的要求，玉溪市红塔区某非遗文创工作室依托本地文化资源，推出了一系列兼具实用性与文化内涵的文创商品，让学生在感受本土非遗之美的同时，体会工匠劳动的价值．该工作室有两种核心非遗文创商品：青花书签（融合玉溪青花瓷烧制技艺，学生可参与简易彩绘劳动体验）和瓦猫冰箱贴（源自瓦窑社区瓦猫非遗，承载传统美学与民俗文化）． 素材2 若小明在该工作室购买了4套青花书签和5个瓦猫冰箱贴，共花费114元；若小红购买了3套青花书签和2个瓦猫冰箱贴，共花费68元． 素材3 临近期中考试，某中学的数学王老师，计划用部分资金在该工作室购买上述两种文创商品作为奖品，奖励表现优秀的学生，既肯定学生的综合表现，也进一步传播本土非遗文化． 问题解决： (1)任务1：该工作室1套青花书签和1个瓦猫冰箱贴的售价分别是多少元？ (2)任务2：若王老师购买了青花书签和瓦猫冰箱贴，两种商品都必须购买，用于期中考试优秀的学生，且总花费恰好为180元，请设计出可行的购买方案． 34．某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送3根跳绳，买1个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为6元，某日售卖两款足球总计盈利300元，那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 35．按要求完成下列问题： 项目 内容 背景 某农副产品集散中心以4000元/吨的价格收购散装果蔬，经过精细化加工，分装成优质礼盒果蔬对外以6400元/吨批发销售（仅按果蔬净重计，礼盒重量不计入计价重量）． 素材1 加工流程与消耗： 1．第一道程序（分拣清洗）：每处理1吨散装果蔬，需要消耗“专用内衬保鲜袋”10个，“等级标识卡”5张． 2．第二道程序（精美包装）：每产出1吨优质礼盒果蔬（净重），需要消耗“精品礼盒箱”20个，“食品安全追溯码”20张． 素材2 数据统计与成本说明： 1．当日消耗：全程合计消耗“内衬保鲜袋”与“精品礼盒箱”共3500个；消耗“等级标识卡”与“追溯码”共2750张． 2．成本：所有包装耗材（袋子、箱子、卡片等）的平均采购单价为1．5元/个（或张）． 3．收支平衡：分拣产生普通果蔬的销售收入，恰好用于支付当日的人工、水电、场地租金等所有其他开支． (1)若设该集散中心当日收购散装果蔬x吨，加工出优质礼盒果蔬（净重）y吨，请填写下表， x吨当日收购散装果蔬 y吨礼盒果蔬（净重） 消耗“内衬保鲜袋”与“精品礼盒箱”数量 消耗“等级标识卡”与“追溯码”数量 (2)任务1：求该集散中心当日收购散装果蔬多少吨？加工出优质礼盒果蔬净重多少吨？ (3)任务2：求当日这批优质果蔬礼盒全部销售完毕后的利润是多少元？（利润=优质礼盒果蔬销售额-原果收购成本-包装物料成本） 题型8 几何问题 36．广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多，D的面积比B的面积的3倍少．设A的面积为，B的面积为． (1)C的面积为_____（用含的代数式表示），D的面积为_____（用含的代数式表示）； (2)若A的面积与B的面积之和为，C的面积比D的面积少，求和． 37．学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)如图3，已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图． 方案1：裁剪________块椅座，________块椅背； 方案2：裁剪________块椅座，________块椅背． (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ 38．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 39．定义：在解方程组时，我们可以先令，得，再令，得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组． (2)如图，小亮和小莹一起搭积木，小亮所搭的“小塔”高度为，小莹所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求A、B型积木的高分别是多少厘米？ 40．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $