上海市第二中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷

2025学年第二学期市二中学期末考试 高一数学试卷 （考试时间100分钟，总分100分） 一、填空题（本大题满分36分，共有12题，每题3分） 1．函数的最小正周期是___________． 2．若点是角终边上的一点，则_________． 3．若复数满足（为虚数单位），则_________． 4．已知向量，，且，则_________． 5．在中，角、、所对应的边分别为、、，已知，，，则_________． 6．已知，则_________． 7．若无穷等比数列的各项和为1，各项的绝对值之和为2，则首项的值为__________． 8．已知函数的最大值为2，则__________． 9．已知数列是公差为的等差数列，首项，若，，按顺序成等比数列，则公差为__________． 10．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为__________． 11．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置． 十字测天仪的结构如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动． 十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从点观察．滑动横档使得直线平行于水平面，此时视线恰好经过点，即眼睛恰好能观察到太阳且的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．在某次测量中，，横档的长度为20，则此时的太阳高度角为___________．（精确到） 12．若点，，都在圆上，若圆的直径为且，则的最小值为__________． 二、选择题（本大题满分12分，共有4题，每题有且只有一个正确选项每题3分） 13．点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．下列有四个结论，其中说法正确的结论是（ ） A．模为0的向量与任意向量平行 B．若，则 C．若，，则 D．不存在和，使得且 15．已知复数满足：，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 16．已知数列对任意正整数，数列均为严格增数列，关于数列有如下两个命题 命题1：对任意恒成立； 命题2：已知且，不等式成立的充要条件是． 关于这两个命题，下列说法正确的是（ ） A．命题1和命题2都是真命题 B．命题1和命题2都是假命题 C．命题1是真命题，命题2是假命题 D．命题1是假命题，命题2是真命题 三、解答题（本大题满分52分，共有5题） 17．（本题满分10分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分 在数列中，，，，． （1）证明数列为等比数列，并求的通项公式； （2）求的前项和． 18．（本题满分10分）本题共有2小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 已知两不同点，的坐标分别是，，若点在直线上，且． （1）求证：； （2）已知，，点在直线上，且，求点的坐标．（提示：可直接使用（1）中的结论） 19．（本题满分10分）本题共有2小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 已知虚数和虚数是关于的方程（，且，）的两个根． （1）若，且满足，求虚数的虚部； （2）若且，求实数的值． 20．（本题满分10分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分 如图所示，点D，E，F分别在线段AB，AC，BC上，，，E为线段AC中点，设，． （1）用，表示，，； （2）若，，且，求点A与点B的距离． 21．（本题满分12分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第4小题满分4分 已知，，令，常数． （1）若函数与分别在和处取到最大值，求的最小值； （2）是否存在实数，使得函数的最大值为2？若存在，求出实数的值及对应x的值，若不存在，请说明理由； （3）若函数在（，）内恰有2027个零点，求实数与n的所有取值，及对应的零点． 学科网（北京）股份有限公司 $