湖南长沙市明德中学2024-2025学年高二下学期数学期末试卷

**基本信息** 高二年级数学期末卷立足基础，融合数学眼光、思维与语言，通过志愿服务概率（数据意识）、函数性质推理（推理能力）、立体几何折叠（空间观念）等设计，实现知识与素养的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、统计|基础概念辨析，如中位数与众数结合| |多选题|3/18|圆锥、函数图像|空间几何与数形结合，如圆锥侧面展开最短路径| |填空题|3/15|不等式、向量投影、三次函数对称中心|创新应用，如三次函数对称中心探究| |解答题|5/77|概率分布、数列证明、导数零点、轨迹方程、立体几何折叠|综合素养，如志愿服务队概率分布（数据意识）、导数多问证明（推理能力）、折叠问题夹角与外接球（空间观念）|

明德中学2025年上学期期末考试 高二年级数学试卷 2025年7月 时量：120分钟 满分 150 命题:高二年级备课组 审定:高二年级备课组 一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案） 1.设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 2.已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，则“A在第二象限”是“B在第三象限”的（ ）． A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为1至10的整数）形成的一组数据中，中位数为7，唯一的众数为10，极差为5，则该组数据的平均数为（ ）． A. 7.6 B. 7.8 C. 8 D. 8.2 4.已知，则（ ）． A. B. C. D. 5.若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 6.已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（ ）． A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 7.方程表示的曲线可能是（ ）． A. B. C. D. 8.，不等式成立，则正实数的最大值是（ ）． A． B． C． D． 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分。选错得0分，部分选对得部分） 9.下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 10. 如图，圆锥的底面半径为2，母线为6，是圆锥的一个轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下列说法正确的是（ ） A．的面积为8 B．圆锥的侧面展开图的圆心角为 C．由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为6 D．若，则三棱锥的体积为 11. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，解决相关的问题，已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．若函数存在两个零点，且，则 C．若成立，则 D．当时，与存在两条公切线 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12.已知x，y为正实数，且，则的最小值为 13.已知满足，若在方向上的投影向量为，则 14. 设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 ；若，分别满足方程，则 . 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.） 15．已知明德中学有甲，乙两支志愿服务队，甲队由3名男生和3名女生组成，乙队由4名男生和1名女生组成． (1)先从两队中选取一队，选取甲队的概率为，选取乙队的概率为，再从该队中随机选取一名志愿者，求该志愿者是男生的概率； (2)在某次活动中，从甲队中随机选取2名志愿者支援乙队，记为乙队中男生与女生人数之差，求的分布列与期望． 16.已知数列满足 (1) 证明：数列是等差数列； (2) 设，求. 17.设 (1) 证明：在区间存在唯一极大值点； (2) 证明：在区间存在两个不同的零点； (3) 证明：，都有 18.在平面直角坐标系中，已知点，是直线右侧区域内的动点，到直线与轴的距离之和等于它到点距离的4倍，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线过点，与交于，两点， （i）若，求直线的方程： （ii）若，是点关于轴的对称点，延长线段交于点，延长线段交于点，直线交轴于点，求的最小值. 19．如图，平面四边形中，点是线段上一点，，，沿着将折叠得到四棱锥． (1)求证：平面平面． (2)若，且，，折叠后． ①求平面与平面夹角的余弦值的最大值． ②若三棱锥的四个顶点均在以为球心的球上，试问三棱锥的外接球的体积是否存在最小值？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $