湖南省耒阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 以AI工具熟练度统计、利润预测等现实情境为载体，通过数列、立体几何、统计概率等知识考查抽象能力、空间观念与数据观念，适配高二期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|等差数列、正态分布、排列组合|动态立体几何问题（第9题）考查空间观念| |填空题|3/15|平均变化率、正态分布应用、外接球表面积|活塞销直径合格品概率（第13题）体现数据应用| |解答题|5/77|等比数列证明、面面夹角、独立性检验、线性回归|AI工具使用统计（第17题）与利润预测（第19题）强化模型观念|

湖南省耒阳市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 3．已知随机变量满足，，则（    ） A． B． C．8 D．24 4．除以8的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 5．用数字0，2，5，7组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，则7052是（     ） A．第15个数 B．第12个数 C．第13个数 D．第14个数 6．二项式的展开式中，的系数为（ ） A． B． C．10 D．15 7．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，则不同站法的种数有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．60种 8．已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段和线段上的动点，且，则下列说法正确的有（    ）    A． B．三棱锥的体积最大值为1 C．若为中点时，则点到直线的距离为 D．三棱锥外接球球心轨迹的长度为 10．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解 C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解 11．对于维向量，，，，二者夹角的余弦值现有一组点，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（   ） 附：，，，. A． B．在上的投影向量为 C． D．这组点的线性相关性弱 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若函数在区间上的平均变化率为，则等于___________. 13．某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为.根据生产规定：活塞销的直径在到之间为合格品，则从该汽车制造厂生产的活塞销中随机抽取一个，其为合格品的概率为______. 参考数据：若随机变量，则，，. 14．如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在数列中，，． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求的前项和． 16．如图，直三棱柱中，，，是的中点．    (1)证明：直线平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 (1)根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ (2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．判断下列二元二次方程是否表示圆，如果是，请求出圆的圆心坐标及半径． (1)； (2)； (3)． 19．某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示. 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)计算出与之间的相关系数（精确到），并求出关于的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润. 参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省耒阳市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C D A C C AC ABD 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】根据等差数列项的性质计算即可. 【详解】因为是等差数列， 所以,所以. 故选：D. 2．A 【详解】根据正态分布性质可知，所以， 所以. 3．C 【分析】先利用二项分布的概率公式求出参数，计算的方差，最后根据方差的运算性质计算即可. 【详解】已知随机变量，则，解得. 所以. 根据方差的性质，. 4．C 【分析】根据二项式定理求解即可. 【详解】， 易知为8的整数倍， 所以除以8的余数为， 则除以8的余数为1. 5．D 【分析】先计算千位小于7的无重复四位数总数，再计算千位为7时小于7052的数的个数，求和后加1即为答案. 【详解】当四位数千位为2时，剩余三位从0、5、7中全排列，排列数为个； 当四位数千位为5时，剩余三位从0、2、7中全排列，排列数为个. 当四位数千位为7时，小于的数字只有一个，故7052是第14个数字. 6．A 【分析】首先求出二项式展开式的通项，再令求出，再代入计算可得； 【详解】解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以，故的系数为； 故选：A 7．C 【分析】根据题意，分2步进行分析:由于老师站在正中间，易得老师的站法，将甲、乙、丙、丁全排列，安排在两边4个位置，由分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，若老师站在正中间，则站法只有1种，将甲、乙、丙、丁全排列，安排在两边4个位置，有种情况， 由分步乘法计数原理知共有种，故选：C. 【点睛】本题主要考查排列组合的应用，注意优先满足受到限制的元素，属于基础题. 8．C 【分析】法一：由互斥事件和事件概率公式、条件概率计算公式即可求解；法二：确定事件与事件相互独立，得到即可求解. 【详解】法1：因为，所以， 所以， 所以． 法2：因为，所以， 所以， 所以，所以事件与事件相互独立， 所以事件与事件独立，所以. 故选：C 9．AC 【分析】建立空间直角坐标系，选项A，通过计算向量的数量积是否为来判断线线垂直；选项B，利用三棱锥体积公式，结合均值不等式求最值；选项C，利用向量法计算点到直线的距离；选项D，分析外接球球心的坐标特征，确定轨迹，求出度. 【详解】    如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，， 则，， 因，所以，故A正确； ， 当且仅当，即时成立，故B错误； 若为中点时，则,，， ，， ，，， ，故C正确； 设三棱锥的外接球球心为， 因为平面，则， 因为为直角三角形，球心在与平行的中垂线上， 所以，， 则球心为，球心的轨迹为一条线段， 当时，球心为，当时，球心为， 轨迹长度为，故D错误. 10．ABD 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或; 令,, 因为，所以， 由数形结合可知：,都有一个根， 故方程有且仅有3个解，故选项A正确; 对于选项B：由数形结合可知：令, ;令， 因为，由数形结合可知：都有3个根， 方程有且仅有3个解，故选项B正确; 对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或; 令,, 由题可知：，， 由数形结合可知，,各有三解， 故方程有且仅有9个解,故选项C错误； 对于选项D：由数形结合可知：令, ;令， 因为，所以只有1解， 故方程有且仅有1个解,故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数，则可得到函数的零点个数. 11．AC 【分析】对于A，根据样本中心点过，再联立得到，对于B，在上的投影向量为，又即可判断；对于C，根据向量夹角的定义可得 ；对于D，由，再结合题意判断即可． 【详解】已知经验回归方程为和， 设， ，解得，则，故A正确； 在上的投影向量为， ， ， 而回归方程中，中，二者不相等， 因此投影向量为，B错误； 相关系数， ， 所以 ，C正确； 由回归方程中，中，， ， ， 所以这组点的线性相关性强，D错误． 12． 【分析】根据函数的平均变化率的公式，求解即可. 【详解】在区间上的平均变化率为 ，故 13． 【分析】先确定正态分布的均值与标准差，将合格品区间转化为均值加减若干倍标准差的形式，利用正态分布的对称性结合参考数据计算概率． 【详解】依题意，设活塞销的直径为随机变量，则， 其中，，即 合格品直径范围为，将端点变形为，， 即求 由正态分布的对称性可得： , 所以． 14． 【分析】根据外接球的性质，确定球心在过中点，且垂直于平面的直线上，再以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，设三棱锥的外接球球心为，利用，求出的值，即可求得答案. 【详解】 由题意得：，,则的外接圆圆心为中点. 则三棱锥的外接球球心在过点且垂直于平面的直线上. 平面，则易得,又， 故可以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系. ,,,,，设， 则， 由，解得. 所以外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积. 15．(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）已知，，. 对递推式变形： 即（常数）. 当时，. 因此数列是以为首项，为公比的等比数列. 由等比数列通项公式得： . 整理得的通项公式：. （2）由，前项和：. 等比数列求和：. 常数项求和：. 因此. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以为原点建系，证明，，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）得出平面与平面的法向量，，再利用面面角与向量夹角之间的关系计算即可. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 设， 则，，，，，， 则，，， 则，， 则，， 又，平面，平面，则直线平面. （2）由（1）知平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．(1)性别与使用AI工具的熟练度无关； (2) 0 1 2 3 数学期望为1. 【分析】（1）根据给定条件，求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）求出12名男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数，进而求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【详解】（1）设零假设：性别与使用AI工具的熟练度无关， 由统计表得， 则， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关. （2）男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为， 按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为，抽取的不能够熟练使用的人数为4， 因此的可能取值为， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 18．(1)表示圆，圆心坐标是，半径是2的圆 (2)答案见解析 (3)方程不表示任何图形． 【分析】利用配方法，结合圆的标准方程进行求解. 【详解】（1）方程可变形为，表示圆心坐标是，半径是2的圆． （2）方程可变形为． 当时，方程表示点； 当时，方程表示圆心坐标是，半径是的圆． （3）方程可变形为，即， 方程不表示任何图形． 19．(1)相关系数约为，回归方程为. (2)第、年的利润约为亿元、亿元. 【分析】（1）求出、的值，将参考数据代入相关系数公式，可求出相关系数的值，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归直线方程； （2）将、分别代入回归直线方程，可得结果. 【详解】（1）由题中数据可得， ， ， 因此， ，， 故回归直线方程为. （2）在回归直线方程中令，得. 令，得， 因此预测第、年的利润约为亿元、亿元. 学科网（北京）股份有限公司 $