湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

长沙市周南中学 2025 年上学期高二年级期末考试数学试题 分量: 150 分 时量: 120 分钟 一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 【答案】 【详解】 , . 故选: 2. 【答案】 【详解】由 可得: ,故其虚部为-1. 故选: . 3. 【答案】 【详解】由 可得 . 故选: . 4. 【答案】 【详解】等差数列 ,设等差数列的公差为 ,则 , 当 时, 恒成立,则由 不能推出 因为 , 则 , 则由 可以推出 . 所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 故选: . 5. 【答案】 【详解】 ,且 , ,且 , . 故选: . 6. 【答案】 【详解】 如图,依题意,连接 ,不妨设小正方形方格边长为 1,则 ,由余弦定理, ,因 ,故得 . 故选: . 7. 【答案】 【详解】 如图所示,因 ,则 即异面直线 与 所成角. 连接 ,在 中, , 则 ,即异面直线 与 所成角为 . 故选: . 8. 【答案】 【详解】因为非线性回归方程为: ,则有 , 令 ,即 ,列出相关变量 关系如下: 1 2 3 4 5 1 2 8 8 16 0 1 3 3 4 所以 , 所以 , 所以 ,所以 , 即 ,即 ,因为 ,所以 , 当 时, . 故选: 二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 【答案】 【详解】对于 ,由题意 ,所以该 10 个数据的下四分位数为第 3 个数 11 , 故 错误; 对于 ,则 ,故 正确; 对于 ,故 正确; 对于 的通项公式为 , 2,3,令 ,得 ,故 的系数是 ,故 正确. 故选: . 10. 【答案】 【详解】由题意有 对于 的最小值为 ,故 正确; 对于 ,故 不正确; 对于 : 由 可得 ,由 在 单调递 减,故 正确； 对于 ,令 ,则 , 因为 ,所以 ,所以函数 有 5 个零点,故 正确, 故选: . 11. 【答案】 【详解】对于 : 当 时, , 切线方程为 ,故 正确; 对于 : 当 时, ,令 ,得 当 时, ; 当 时, 的极小值为 ,故 正确; 对于 : 由 有 在 上恒成立,令 ,则 在 上单调递增, 即 在 上恒成立,所以 ,即 ,令 ,即 , 所以 ,当 时, ,所以 在 单调递 减,所以 ,所以 ,即 ,故 错误； 对于 : 由 ,令 有 ,解得 0 或 ,令 , 所以 ,令 得 ,由 有 有 , 所以 在 上单调递减,在 上单调递增, 当 时, 无解或有一解为 0,所以函数 恰有 1 个零点 0,所以 ,故 正确; 故选: . 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 【答案】 【详解】由圆柱的侧面积为 ,得母线长 , 所以该圆柱的体积为 . 故答案为: 13. 【答案】-4 【详解】依题意, 是定义在 上的奇函数,所以 ,所以 . 故答案为: -4 14. 【答案】 【详解】设一次抽奖所生成的奖券码为 ,共有 种情况, 生成的 5 个数字中有 个 个 1 ,则 ,由题可知 . 若获得二等奖,则 为 3 的正整数倍,故 可取的值为1,4,7. 当 时,(x, y)的取值为(0,1),共有 种情况; 当 时,(x, y)的可能取值为 ,共有 种情况; 当 时,(x, y)的取值为 ,共有 种情况, 由分类加法计数原理得符合条件的有 种情况,且设获得二等 奖的概率为 ,由古典概型概率公式得 . 故答案为: . 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 【详解】( 1 ) . 1 分 , . 5 分 (2) 由 (1) 知 . 令 ,则 , 在 上单调递增, 7 分 又 , 当 时, 单调递减; 9 分 当 时, 单调递增, 11 分 在 处取极小值也是最小值,无最大值, 即 的最小值为 ,无最大值. 13 分 16. 【详解】(1) 证明: 取线段 的中点分别为 ,连接 , 则 , 又底面 是正方形,则 , 即四边形 为平行四边形,则 , 又 平面 ,则 平面 . 5 分 (2) 设 为 中点,连接 , 又 ,底面 是边长为 1 的正方形, 则 ,且 , , 7 分 又二面角 的大小为 ,即平面 平面 , 9 分 又 平面 ,平面 平面 , 则 平面 , 11 分 则 是直线 与平面 所成角, 13 分 在 中, ,即 , 则直线 与平面 所成角的大小为 . 15 分 17. 【详解】( 1 )已知向量 , 2 分 , 4 分 (2) (i) 由 及 ,得 , 所以 ,解得 , 又 ,得 , 7 分 (ii) , 8 分 又在锐角 中 ,解得 , 所以 ,则有 , 14 分 即: .所以 的取值范围是 . 15 分 18.(本小题满分 17 分) 某单位有 400 名员工, 其中男员工 240 人, 女员工 160 人, 该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为 1.4 ,方差为 0.6 ,女员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为 1.5 ,方差为 0.3 . 为了让员工吃得更健康,该单位设立了营养餐厅 和素食餐厅 两家餐厅,经过统计分析发现:一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐,然后前一天选择了 餐厅的员工第二天选择 餐厅的概率为 ,第二天选择 餐厅的概率为 ; 前一天选择了 餐厅的员工第二天选择 餐厅的概率为 ,第二天选择 餐厅的概率为 ,如此往复. (1)求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值与方差； (2)按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取 5 名员工,再从这 5 名员工中随机选择 3 人参加座谈会,记抽到男员工的人数为 ,求 的分布列及数学期望; (3)设第 天选择 餐厅用餐的概率为 ,求 ；经过一年(365 天)后,在 餐厅和 餐厅就餐的员工趋于稳定,如果 餐厅准备每天 180 人的用餐,是否合理, 请说明理由. 【详解】(1)由题意知,该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为: 2 分 该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为: 4 分 (2)按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取 5 名员工,则抽取 3 名男员工,2 名女员工. 5 分 从这 5 名员工随机选择 3 人,记抽到男员工的人数为 ,可得 的取值为 1, 2,3. 6 分 可得 的分布列为: 9 分 1 2 3 所以期望 ; 10 分 (3) . , 12 分 ,且 , 所以 是以 为首项, 为公比的等比数列. , 14 分 当 时, , 所以一年以后,员工选择 餐厅的概率约为 . 设 400 名员工选择 餐厅的人数为 ,则 , 所以选择 餐厅的平均人数约为 , 16 分 餐厅每天准备 180 人的用餐是不合理的. 17 分 19. (本小题满分 17 分) 已知椭圆 过点 ,焦距为 2 . (1) 求 的方程; (2)过椭圆 的右焦点 作两条相互垂直的直线 , 与曲线 分别交于 四点,设线段 的中点分别为 . (i) 证明: 直线 过定点; (ii) 求四边形 面积的取值范围. 【详解】( 1 )由题意知椭圆过点 ,则 , 因为 ,所以 , 联立方程组 ,解得 ,则 , 所以椭圆 的方程为 . 4 分 (2) (i) 当两条直线的斜率都存在时,不妨设 , 设 , 联立直线 与椭圆 的方程,得 , 消去 整理得 , 易知 ,根据韦达定理可知 , , 6 分 即 . 同理 , 所以 , 所以 , 8 分 令 ,得 ,此时直线 恒过 . 9 分 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时, 易知 ,仍经过 , 所以直线 过定点 . -10 分 (ii) 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时,易知 , 11 分 当两条直线的斜率都存在时,不妨设 , 由 (i) 得: . 同理 , 则 13 分 因为 , 根据基本不等式 , 当且仅当 时等号成立, 所以 , 综上所述,四边形 面积的取值范围为 . 17 分 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市周南中学 2025 年上学期高二年级期末考试数学试题 分量: 150 分 时量: 120 分钟 一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 若 ,则 的虚部是 ( ) A. -1 B. 1 C. i D. 3. 已知 ,且 ,则实数 ( ) A. -2 B. -3 C. 3 D. 4. 已知等差数列 ,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知 ,则( ) A. B. C. D. 6. 兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称, 以千岛样式形成的垛田景观享誉全国,与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花海、京都樱花并称,跻身全球四大花海之列. 若将每个小岛近似看成正方形,在 正方形方格中 三位游客所在位置如图所示,则 的值为 ( ) A. B. C. D. 7. 长方体 中, ,则异面直线 与 所成角的大小为( ) A. B. 45° C. 60° D. 90° 8. 设两个相关变量 和 分别满足下表: 1 2 3 4 5 1 2 8 8 16 若相关变量 和 可拟合为非线性回归方程 ,则当 时, 的估计 值为( ) (参考公式: 对于一组数据 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ; A. 33 B. 37 C. 65 D. 73 二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 下列结论中,正确的有 ( ) A. 一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的下四分位数为 18 B. 若随机变量 ,则 C. 已知 ,则 D. 在 的展开式中, 的系数是 -8 10. 已知函数 ,则( ) A. 函数 的最小值为 B. 函数 的一个对称轴为 C. 函数 在区间 单调递减 D. 把函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象,函数 在 上有且仅有 5 个零点 11. 已知函数 . 则下列说法正确的是 ( ) A. 当 时, 在点(0,0)处的切线方程为 B. 当 时, 的极小值为 C. 若不等式 在 时恒成立, 则 . 若函数 恰有 1 个零点,则 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 已知圆柱的侧面积为 ,底面半径为 1 ,则圆柱的体积为_____ 13. 已知 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则 _____ 14. 某商场在有奖销售的抽奖环节时,采用 技术生成奖券码:在每次抽奖时,顾客连续点击按键 5 次,每次点击随机生成数字 0 或 1 或 2,点击结束后,生成的 5 个数字之和即为奖券码, 并规定: 如果奖券码为 0 , 则获一等奖; 如果奖券码为 3 的正整数倍, 则获二等奖; 其它情况不获奖. 已知顾客甲参加了一次抽奖, 则他获二等奖的概率为_____ 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 是 的导函数. (1) 求 的值; (2) 求 的最值. 16. (本小题满分 15 分) 如图,在四棱锥 中,底面 是边长为 1 的正方形, , 分别是 的中点. (1) 求证: 平面 ; (2)若二面角 的大小为 ,求直线 与平面 所成角的大小. 17. (本小题满分 15 分) 已知向量 ,函数 . (注: 表示向量 、 的夹角) (1) 求函数 ； ( 2 )若锐角 的三内角 的对边分别是 ,且 , (i) 求 ; (ii) 求 的取值范围. 18.(本小题满分 17 分) 某单位有 400 名员工, 其中男员工 240 人, 女员工 160 人, 该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为 1.4 ,方差为 0.6 ,女员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为 1.5 ,方差为 0.3 . 为了让员工吃得更健康,该单位设立了营养餐厅 和素食餐厅 两家餐厅,经过统计分析发现:一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐,然后前一天选择了 餐厅的员工第二天选择 餐厅的概率为 ,第二天选择 餐厅的概率为 ; 前一天选择了 餐厅的员工第二天选择 餐厅的概率为 ,第二天选择 餐厅的概率为 ,如此往复. (1)求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值与方差； (2)按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取 5 名员工,再从这 5 名员工中随机选择 3 人参加座谈会,记抽到男员工的人数为 ,求 的分布列及数学期望; (3) 设第 天选择 餐厅用餐的概率为 ,求 ; 经过一年 (365 天) 后,在 餐厅和 餐厅就餐的员工趋于稳定,如果 餐厅准备每天 180 人的用餐,是否合理, 请说明理由. 19. (本小题满分 17 分) 已知椭圆 过点 ,焦距为 2 . (1) 求 的方程; (2)过椭圆 的右焦点 作两条相互垂直的直线 , 与曲线 分别交于 四点,设线段 的中点分别为 . (i)证明:直线 过定点； (ii) 求四边形 面积的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$