精品解析：湖南省株洲市天元区天元中学2025-2026学年下学期九年级拔尖创新测试 数学

2026年上学期九年级拔尖创新测试 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（ ） A. 512 B. 64 C. 128 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题是一道关于 “幻方”规则的理解和应用的题目，综合考查了有理数运算、方程思想以及逻辑推理等知识点．理解每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等是解题的关键．利用给出的数字和条件求解和，最终计算出的值 【详解】解：由题意得，即 ， 每个三角形的三个顶点上的数字之和中间正方形四个顶点上的数字之和. ，即. . 故选：． 2. 下列说法中：①1.804(精确到0.01)取近似数是1.80；②若a+b+c=0则可能的值为0或1或2；③两个三次多项式的和一定是三次多项式；④若a是8的相反数，b比a的相反数小3，则a+b=-13；正确的个数有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】将说法① ② ③ ④逐一分析，然后找到对的个数，即可求解． 【详解】说法①，正确； 说法②，若a+b+c=0，则a、b、c三个数一定是两正一负或者两负一正，若是两正一负，则，，若是两负一正，则，，故若a+b+c=0则始终只能为0，所以该说法错误； 说法③，错误；两个三次多项式的和有可能为0； 说法④，错误；． 【点睛】本题属于拔高题，综合性题目． 3. 正方形 在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为和，若正方形 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为0；则翻转2022次后，点C所对应的数是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】通过前面几次的分析、归纳，发现每4次一个循环，点C所对应的数有规律地变化；翻转为正整数）次后，点C所对应的数为；翻转次后，点C所对应的数为；翻转次后，点C所对应的数为；翻转次后，点C所对应的数为；于是令即可得解． 【详解】解：翻转1次后，点C所对应的数为0； 翻转2次后，点C所对应的数为0； 翻转3次后，点C所对应的数为1； 翻转4次后，点C所对应的数为3； 翻转5次后，点C所对应的数为4； 翻转6次后，点C所对应的数为4； 翻转7次后，点C所对应的数为5； 翻转8次后，点C所对应的数为7； 翻转9次后，点C所对应的数为8； …… 翻转次后，点C所对应的数为； 翻转次后，点C所对应的数为； 翻转次后，点C所对应的数为； 翻转次后，点C所对应的数为； 余2， 令， ， 翻转2022次后，点C所对应的数为2020； 故选：A． 【点睛】此题考查了数轴、图形上点在数轴上所对应的数的变化规律，正确理解题意，准确找出翻转的次数与点对应的数字的规律是解答此题的关键． 4. 有理数 ，， 在数轴上的对应点的位置如图所示．设，，．那么， ，计算结果最小的是（　　　） A. B. C. D. 根据 ，， 的值才能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数 ，， 在数轴上的对应点的位置，确定a-b，a-c，b-c的正负，计算出x、y、z的值，比较大小即可． 【详解】解：根据 ，， 在数轴上的对应点的位置可知， a-b＜0，a-c＜0，b-c＞0， ， ， ， ，∴， ，∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴上的点表示数的大小和绝对值的意义，体现了数形结合思想，根据数轴判断出 ，， 的大小，根据绝对值的意义进行计算化简，再用求差法比较的大小是解题关键． 5. 已知，对多项式任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含减法运算，称这种操作为“绝对领域”，例如：， 等，下列相关说法正确的个数是（ ） ①一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果为非负数；②一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果与原式互为相反数；③进行“绝对领域”操作后的式子化简的结果可能有11种结果． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据 ，“绝对领域”可理解为任意加了绝对值后，符号内外仍是大的数减小的数，因此符号不会因添加了绝对值而改变． 【详解】解：①因为，只需给添加绝对值即：，可得式子结果一定为非负数，故①正确； ②原式的相反数为，由于，故不可能得到，故②错误； ③，可得： 与的符号不变， ， ，符号会发生变化，举例法得到化简后的结果为： ，，， ，，，，共计8种，故③错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，整式的加减计算，弄清定义，按规律分类讨论是解题的关键． 6. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了的展开式的系数规律（其中，字母按 的降幂排列，b的升幂排列）．例如，在三角形中第2行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第三行的4个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数；第4行的五个数1，4，6，4，1；恰好对应着展开式中各项的系数，有如下结论： ①； ②“杨辉三角”中第9行所有数之和1024； ③“杨辉三角”中第20行第3个数为190； ④的结果是； ⑤当代数式的值是1时，实数a的值是 或 ，上述结论中，正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】把中换成后可得，，由此即可判断①；观察并计算可以发现第n行所有数字之和为，由此即可判断②；观察并计算可以发现第n行（n大于2）第三个数诶为，由此即可判断③；时，，即可判断④；当时，，再由的值为1，得到，解方程即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴把上述式子中的换成后可得，， ∴，故①正确； 第1行的所有数字之和为， 第2行的所有数字之和为， 第3行的所有数字之和为， 第4行的所有数字之和为， ……， ∴可以得到规律第n行所有数字之和为， ∴“杨辉三角”中第9行所有数之和，故②错误； 第2行第三个数为， 第3行第三个数为， 第4行第三个数为， 第5行第三个数为， ……， ∴第n行（n大于2）第三个数为， ∴“杨辉三角”中第20行第3个数为，故③正确； ∵， ∴当时，，故④正确； ∵， ∴当时，， ∵的值为1， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法中得规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 7. 如图，已知直线a： ，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，写出前几个坐标的横坐标，推导一般性规律为：的横坐标为，然后计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，，，，，，， ∴的横坐标为， 的横坐标为 ， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， …… ∴可推导一般性规律为：的横坐标为， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，一次函数等知识．解题的关键在于根据题意推导一般规律． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐A标为，点Q是直线上的一个动点，以A为旋转中心，将点Q顺时针旋转60°得等边三角形，连接 ．记点P的横坐标为x，点P的纵坐标为y，的周长为C，面积为S，则下列说法正确的是（　　） A. y随x的增大而增大 B. 当 时，y有最小值 C. 当 时，周长C有最小值 D. 面积S是关于x的二次函数 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，在直线上取点，连接，证明 是等边三角形，得到，再证明，推出，则，从而得到点P在直线上运动，由此即可判断A、B、D；作点O关于直线的对称点C，连接，则，则当三点共线时， 的周长有最小值，求出直线 的解析式为，在中，当时， ，则当 时，周长C有最小值，即可判断C． 【详解】解：如图所示，在直线上取点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P在直线上运动， ∴在Q运动过程中，不一定满足y随x的增大而增大，，故A、B、D不符合题意； 作点O关于直线的对称点C，连接，则， ∴， ∴ 的周长， ∴当三点共线时， 的周长有最小值， 设直线 的解析式为 ， ∴， ∴， ∴直线 的解析式为， 在中，当时， ， ∴当 时，周长C有最小值，故C符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键． 9. 如图，是 的内接三角形，将劣弧沿 折叠后刚好经过弦 的中点D．若，，则 的半径长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设折叠后的所在的圆心是，连接，，进而得出 ，设 的半径是r，作，根据勾股定理得出，在另一个图中作 ， 设，表示，，然后根据直角三角形的性质得出，即可求出的值，进而得出 和 ，再根据勾股定理求出 ，结合可得答案． 【详解】如图，设折叠后的所在的圆心是，连接，， ∴， 连接 ， ， 同理，， ∴． ∵ 和是等圆， ∴ ． 设 的半径是r，过点O作于点G． ∵ ，， ∴，， ∴， ∴． 过点A作 于点M， ∵ ， 设，则 ． ∵D是 的中点， ∴， ∴． ∵ ， ， ∴． 在 中，， ∴， 解得， ∴，． 在中，． ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题是一道关于圆的综合问题，难度较大，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含 直角三角形的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法． 10. 对于二次函数 ，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接 ，若线段 与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题， 分两种情况讨论：当线段 与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，令 ， ，求出n的值，当线段 与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围； 当线段 与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出n的值，当线段 与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求n的值，进而得出取值范围. 【详解】解：如图1所示：线段 与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当 时， ，即， 解得． 如图2所示：线段 与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线与y轴交点纵坐标为1， ∴， 解得： ． ∴当时，线段 与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段 与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线经过点， ∴． 如图4所示：线段 与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得：． ∴时，线段 与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是或， 故选：A． 二、填空题：共8道小题，每小题3分，共24分．（其中双空题第一空1分，第二空2分） 11. 已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象与x轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过判断④；根据当时函数取最大值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴， ∴②错误． ∵， ∴③正确． ∵当 时，， ∴． ∴④错误． 当时， 有最大值为， ∴对于任意实数m，总有， ∴对于任意实数m，总有． ∴⑤正确． 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键． 12. 计算：________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：∵，且一个数的算术平方根为非负数， ∴， ∵， ∴． 13. 若是一个完全平方式，则实数 的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求完全平方式中字母系数，关键是将一般形式变形为然后将其展开，对比一次项系数即可． 【详解】解：因为 是一个完全平方式， 所以可以变形为 所以． 故答案为：． 14. 对于实数 ，，定义运算“”如下：． （1）计算：_________ （2）若，则_________ 【答案】 ①. 24 ②. 【解析】 【分析】（1）根据新定义进行运算即可； （2）利用新定义得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：24； （2）解：， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，根据新定义正确列出算式或方程是解题的关键． 15. 如图，在矩形 中，对角线 ，相交于点 ， ，，点 在线段上，从点至点 运动，连接 ，以 为边作等边，点 和点分别位于 两侧． （1）当点 运动到点 时， 的长为______； （2）点 在线段上从点至点 运动过程中， 的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接 并延长至，使得，连接，证明，进而证明是等边三角形，，得出点 在线段上，从点至点 运动，则 在线段 上运动，即可求解； （2）根据垂线段最短，得出从点至点 运动过程中，运动到 的中点时， 的最小值为，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图所示，连接 并延长至，使得，连接， ∵在矩形 中，对角线 ，相交于点 ， ，， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴,， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∴即 ∴点 在线段上，从点至点 运动，则 在线段 上运动， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ， ∴当点 运动到点 时，点 运动到点，则 的长， 故答案为： ． （2）由（1）可知点 在线段上从点至点 运动过程中，运动到 的中点时， 的最小值为 ∵，则 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，得出点 在线段上，从点至点 运动，则 在线段 上运动是解题的关键． 16. 如图，已知数轴上有点A、B、C、D，A点对应的数是，D点对应的数是 13，，．动点M从点A出发以3单位/秒的速度向右运动，在从点B运动到点C期间速度变为原来的，之后恢复原来的速度．点M开始运动的同时点N从D点出发，以2单位/秒的速度向左运动，在从点C运动到点B期间速度变为原来的，之后恢复原来的速度．设点M的运动时间为秒，则____________秒时，． 【答案】6， 【解析】 【分析】由题意知，，，由，即，可得，，进而可知B点对应的数是，C点对应的数是4，由题意知， 从运动到需秒，从运动到需秒； 从运动到需秒，从运动到需秒； 分①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别表示出各情况先的， ，令，求出满足要求的 值即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵，即， 解得， ∴， ∴B点对应的数是，C点对应的数是4， 由题意知， 从运动到需秒，从运动到需秒； 从运动到需秒，从运动到需秒； ∴①当时，，，令，即，解得，（不合题意，舍去）； ②当时，，，令，即，解得，（不合题意，舍去）； ③当时，，，令，即，解得，（符合题意）； ④当时，，，令，即，解得，（符合题意）； ⑤当时，，，令，即，解得，（不符合题意，舍去）； 综上所述，当，秒时，， 故答案为：6，． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上点的距离，解一元一次方程等知识．解题的关键在于根据数轴表示出距离． 17. 对于函数，当时，______． 【答案】2 【解析】 【分析】令，得到，解之可得x的值． 【详解】解：当时，， 解得： ， 经检验： 是方程的解， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了求自变量，解分式方程，解题是要注意细心计算． 18. 已知是 的斜边 上的中线，点 是的中点，连接，点 是的中点，连接 ，若，则线段 的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到的长度，再利用全等三角形的判定与性质得到线段关系，结合等腰三角形性质和勾股定理求出高，再利用三角形中位线性质和面积法得到 与 的关系，最后在 中由勾股定理列方程求解。 【详解】解：连接，过点作于点，取 中点 ，连接 ， 为中点， ， ， ，，， 又，， ， 点 是的中点， ， 在 和中， ， ， ，， 是 斜边 上的中线， ， ，， 又，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 分别为的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， 代入得， 整理得，即， 设，则， 在 中，由勾股定理得， 即， 整理得， ， 解得或， 又， 或， 即或． 三、解答题：满分66分． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 20. 先化简：，再选取一个你喜欢的x的值代入求值． 【答案】，（答案不唯一，注意x不可取0，1，－1 ） 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再取一个合适的x的值代入计算即可． 【详解】原式 当 时，原式．（答案不唯一，注意x不可取0，1，－1 ） 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 21. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点P，Q的“芙蓉点”． 例如：，，当点满足：，，则点是点P，Q的“芙蓉点”． （1）已知点，，点T是点P，Q的“芙蓉点”，则点T的坐标为______； （2）如图，点P为，点是直线 上任意一点，点是点P，Q的“芙蓉点”． ①试确定y与x的关系式； ②若①中的函数图像交y轴于点M，直线 交y轴于点N，当以M，N，Q，T为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标； ③若直线PT与线段MN有交点，直接写出t的取值 范围． 【答案】（1）； （2）① ；②、；③． 【解析】 【分析】（1）由“芙蓉点”的定义可求解； （2）①由“芙蓉点”的定义可得：，即可求解； ②先求出点 、 的坐标，分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解； ③利用特殊位置，分别求出过点 和过点 时， 的值，即可求解． 【小问1详解】 解：，， 、 的“芙蓉点”点 的坐标为：； 【小问2详解】 ①点P为，点是直线l上任意一点，点是点P，Q的“芙蓉点”， 由“芙蓉点”定义得： 由得，， 将代入得，， ； ②点是直线 上任意一点， 当 时， 直线 的解析式为：， 直线 交y轴于点N， 点， 图像交 轴于点 ， ， 如图1，若以M，N，Q，T为顶点的四边形是平行四边形时，进行如下讨论： a．以 为对角线时，过 的中点， 则， 解得， ； b．以 为边时，且， 则， 解得， ． 综上所述，点Q的坐标是、． ③如图2，当过点时， 点，点 直线解析式为： ， 点在直线上， 解得：， 当过点时， 点，点， 直线的解析式为：， 点在直线上， 解得：， 直线PT与线段MN有交点， 的取值 范围是． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，一次函数图像上点的坐标特征，芙蓉点的定义，正确理解芙蓉点的定义，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 22. 设是，， ，的平均数，即，则方差，它反映了这组数的波动性． （1）证明：对任意实数 ，，， ，与，， ，方差相同． （2）证明：． （3）以下是我校初三（1）班 位同学的身高单位：厘米：169 172 163 173 175 168 170 167 170 171，计算这组数的方差． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，， ，的平均数是，方差为，，， ，的平均数为，方差为，然后根据方差公式计算即可解答； （2）根据方差公式计算即可解答； （3）运用（1）、（2）的结论计算即可解答． 【小问1详解】 解：设，， ，的平均数是，方差为，，， ，的平均数为，方差为，则， ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：由（1）得，将这 个数都减去得：，，，， ，，， ，，； 则， ∵， ， ∵对任意实数 ，，， ，与，， ，方差相同， ∴这组数的方差为． 【点睛】本题考查方差的定义与意义，平均数等知识点，一般地设个数据，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 23. 如图， 与的边 交于点E，是直径，与 相切于点E，连接 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 的半径为5， ，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，从而推出，，结合等边对等角进一步推出，证明，可得，即可证明； （2）过点O作于点F．根据三线合一推出，设，表示出，证明，得到，代入已知线段，解方程求出x值即可． 【小问1详解】 解：证明：如图，连接 ， ∵是 的切线， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 在和 中， ∴， ∴， ∴， ∴ 是 的切线； 【小问2详解】 如图，过点O作于点F． ∵， ∴．设， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 24. 平行四边形 的两个顶点、在反比例函数图象上，点、在轴上，且、两点关于原点对称， 交 轴于 点 （1）已知点的坐标是，求的值及点的坐标； （2）在（1）的条件下，若的面积为2，求点到直线 的距离． 【答案】（1）的值是6，点的坐标是； （2）点到直线 的直线得距离为． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据点的坐标是，平行四边形 的两个顶点、在反比例函数图象上，点、在轴上，且、两点关于原点对称，可以求得的值和点的坐标； （2）根据的面积为2，可以求得 的长，从而可以求得点 的坐标，进而可以求得直线 的解析式，从而可以求得点的坐标，再根据，可以求得 的长，即 的长就是点到直线 的距离． 【小问1详解】 解：点的坐标是，平行四边形 的两个顶点、在反比例函数图象上，点、在轴上，且、两点关于原点对称， ，点与点关于原点 对称， ，， 即的值是6，点的坐标是； 【小问2详解】 解：过点作轴于点 ，过点作，如图， 点， ， ， 的面积为2， ， 即，得， 点 ， 设过点， 的直线解析式为 ， ，得， 过点， 的直线解析式为， 当时，，得， 点的坐标为， 点， ， 点和点关于点 对称， ， ∵， ， 即， 解得，， 即点到直线 的直线得距离为． 25. 如图， 为 的直径，弦 于点 ，为劣弧 上一动点， 与的延长线交于点 ，连接 、 、 、 ． （为常数，且 ）． （1）求证：； （2）求的值（用含的式子表示）； （3）设，． ①求 与 的数量关系； ②当，且时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理，得到，进而得到，根据直径所对的圆周角等于 ，得到，进而得到，利用等角的余角相等，即可得证； （2）垂径定理，得到，证明，推出，在中，利用勾股定理得到，即可得解； （3）如图，设交于点 ，连接，过点作于点 ，过点作于点 ，则，①先证明，得到，由，得到，再由，得到，再根据，即可得证；②先推出，得到，推出是等腰直角三角形，得到，证明，得到，勾股定理求出，即可得解． 【小问1详解】 证明：如图，连接 ， 直径弦， ， ， 是 的直径， ， ， ， 即； 【小问2详解】 直径弦， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， 则， ∴， ； 【小问3详解】 如图，设交于点 ，连接，过点作于点 ，过点作于点 ，则， ①∵直径弦， ∴， 又 ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由①结论可得，， ， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 在中， 在 中，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度大，正确的作出辅助线，是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与 轴交于点，连接 ． （1）求二次函数的函数表达式； （2）设二次函数的图象的顶点为，求直线的函数表达式以及的值； （3）若点 在线段 上（不与 重合），点 在线段 上（不与重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）存在，点 的坐标为：或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的函数表达式为； （2）由，得，用待定系数法可得直线的函数表达式为：，设与 轴交于 ，过点作 于点 ，求得，，根据，得，及可得； （3）由待定系数法可得直线 解析式为，设，，根据是直角三角形，且，得到与相似，是直角三角形，且两直角边的比为，再分三种情况进行讨论即可得到答案． 【小问1详解】 解：将，代入得： ， 解得， 二次函数的函数表达式为； 【小问2详解】 解：， 抛物线顶点； 设直线的函数表达式为， ， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； 设与 轴交于 ，过点作 于点 ，如图， ， 在中，令 得 ， ， 在中，令 得， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：存在与相似，理由如下： 由得直线 解析式为， 设，， 是直角三角形，且， 与相似，是直角三角形，且两直角边的比为， ①点 在线段 上（不与 重合），点 在线段 上（不与重合），不可能是直角； ②若是直角，则或，过 作 轴于 ，如图， ， ， ， ∴，即， 若，则， 解得：， ∴； 若，则＝2， 解得：（此时 不在线段 上，舍去）； ③若为直角，则或，过 作轴于 ，过作于 ，如图， ， 同理可得， ∴， 当时，， 解得：， ∴， 当时， ， 解得：， ∴； 综上所述，点N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法，锐角三角函数，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论的思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期九年级拔尖创新测试 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为（ ） A. 512 B. 64 C. 128 D. 2. 下列说法中：①1.804(精确到0.01)取近似数是1.80；②若a+b+c=0则可能的值为0或1或2；③两个三次多项式的和一定是三次多项式；④若a是8的相反数，b比a的相反数小3，则a+b=-13；正确的个数有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 正方形 在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为和，若正方形 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为0；则翻转2022次后，点C所对应的数是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 4. 有理数 ，， 在数轴上的对应点的位置如图所示．设，，．那么， ，计算结果最小的是（　　　） A. B. C. D. 根据 ，， 的值才能确定 5. 已知，对多项式任意添加绝对值运算（不可添加为单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后仍只含减法运算，称这种操作为“绝对领域”，例如：， 等，下列相关说法正确的个数是（ ） ①一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果为非负数；②一定存在一种“绝对领域”操作使得操作后的式子化简的结果与原式互为相反数；③进行“绝对领域”操作后的式子化简的结果可能有11种结果． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了的展开式的系数规律（其中，字母按 的降幂排列，b的升幂排列）．例如，在三角形中第2行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第三行的4个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数；第4行的五个数1，4，6，4，1；恰好对应着展开式中各项的系数，有如下结论： ①； ②“杨辉三角”中第9行所有数之和1024； ③“杨辉三角”中第20行第3个数为190； ④的结果是； ⑤当代数式的值是1时，实数a的值是 或 ，上述结论中，正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. 如图，已知直线a： ，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐A标为，点Q是直线上的一个动点，以A为旋转中心，将点Q顺时针旋转60°得等边三角形，连接 ．记点P的横坐标为x，点P的纵坐标为y，的周长为C，面积为S，则下列说法正确的是（　　） A. y随x的增大而增大 B. 当 时，y有最小值 C. 当 时，周长C有最小值 D. 面积S是关于x的二次函数 9. 如图，是 的内接三角形，将劣弧沿 折叠后刚好经过弦 的中点D．若，，则 的半径长为（　　） A. B. C. D. 10. 对于二次函数 ，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接 ，若线段 与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：共8道小题，每小题3分，共24分．（其中双空题第一空1分，第二空2分） 11. 已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是______．（填序号） 12. 计算：________；________． 13. 若是一个完全平方式，则实数 的值为___________ 14. 对于实数 ，，定义运算“”如下：． （1）计算：_________ （2）若，则_________ 15. 如图，在矩形 中，对角线 ，相交于点 ， ，，点 在线段上，从点至点 运动，连接 ，以 为边作等边，点 和点分别位于 两侧． （1）当点 运动到点 时， 的长为______； （2）点 在线段上从点至点 运动过程中， 的最小值为______． 16. 如图，已知数轴上有点A、B、C、D，A点对应的数是，D点对应的数是 13，，．动点M从点A出发以3单位/秒的速度向右运动，在从点B运动到点C期间速度变为原来的，之后恢复原来的速度．点M开始运动的同时点N从D点出发，以2单位/秒的速度向左运动，在从点C运动到点B期间速度变为原来的，之后恢复原来的速度．设点M的运动时间为秒，则____________秒时，． 17. 对于函数，当时，______． 18. 已知是 的斜边上的中线，点 是的中点，连接，点 是的中点，连接 ，若，则线段 的长为________． 三、解答题：满分66分． 19. 计算：． 20. 先化简：，再选取一个你喜欢的x的值代入求值． 21. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点P，Q的“芙蓉点”． 例如：，，当点满足：，，则点是点P，Q的“芙蓉点”． （1）已知点，，点T是点P，Q的“芙蓉点”，则点T的坐标为______； （2）如图，点P为，点是直线 上任意一点，点是点P，Q的“芙蓉点”． ①试确定y与x的关系式； ②若①中的函数图像交y轴于点M，直线 交y轴于点N，当以M，N，Q，T为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标； ③若直线PT与线段MN有交点，直接写出t的取值 范围． 22. 设是，， ，的平均数，即，则方差，它反映了这组数的波动性． （1）证明：对任意实数 ，，， ，与，， ，方差相同． （2）证明：． （3）以下是我校初三（1）班 位同学的身高单位：厘米：169 172 163 173 175 168 170 167 170 171，计算这组数的方差． 23. 如图， 与的边 交于点E，是直径，与 相切于点E，连接 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 的半径为5， ，求 的长． 24. 平行四边形 的两个顶点、在反比例函数图象上，点、在轴上，且、两点关于原点对称， 交 轴于 点 （1）已知点的坐标是，求的值及点的坐标； （2）在（1）的条件下，若的面积为2，求点到直线 的距离． 25. 如图，为 的直径，弦 于点 ，为劣弧 上一动点， 与的延长线交于点 ，连接 、 、 、 ． （为常数，且 ）． （1）求证：； （2）求的值（用含的式子表示）； （3）设，． ①求 与 的数量关系； ②当，且时，求的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与 轴交于点，连接 ． （1）求二次函数的函数表达式； （2）设二次函数的图象的顶点为，求直线的函数表达式以及的值； （3）若点 在线段上（不与 重合），点 在线段 上（不与重合），是否存在与相似，若存在，请直接写出点 的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $