精品解析：湖南师大附中芙蓉中学等校2025-2026学年九年级下学期期中测试 数学(问卷)

九年级下学期期中测试 数学（问卷） 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 把下列字母看作图形，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年1月30日，长沙市统计局公布了2025年长沙经济运行情况．经初步核算，2025年，长沙市实现地区生产总值约为15738亿元，同比增长．将15738用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 磁器口古镇的宝轮寺梁柱全凭榫卯结构搭建，未用一颗钉子，展现了古代匠人的精湛技艺．燕尾榫是“万榫之母”，榫头呈梯形，形似燕尾．如图是燕尾榫正面的榫头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平分，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. 36 B. 9或 C. D. 9 8. 京剧作为中国戏曲的瑰宝，因其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴，深受大众喜爱．正面印有京剧人物的两张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这两张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一个圆锥的底面半径为5，母线长为10，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 10. 九章算术是中国古代数学专著，九章算术方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是　　 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义．则的取值范围是______． 12. 分解因式：________． 13. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是_____________． 14. 如图是可回收垃圾的标志，其形状为等边三角形，将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为_______． 15. 如图，在四边形中，，，分别是边的中点，则四边形的周长是______． 16. 如图，正方形的边长为，顶点，分别在轴，轴的正半轴上，正方形的边长为，顶点在轴的负半轴上，若双曲线恰好同时经过点和点，则的值是___________． 三、解答题（本大题共9个小题，17，18，19题每小题6分，20，21题每小题8分，22，23题每小题9分，24，25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度 项目背景 长沙“山水洲城”申遗工作正在持续推进中，岳麓山作为核心景观，其主峰（禹王峰）的精确高度是测绘工作的重要内容． 测量工具 测角仪 测量示意图 测量过程 1．在距离禹王峰一定距离的地面处放置测角仪，测得禹王峰山顶的仰角为； 2．在与地面处水平距离为的地面处放置另一测角仪，测得禹王峰山顶的仰角为．（C，B，D在同一水平直线上） 请根据表中的测量数据，计算禹王峰的高度．（测角仪高度忽略不计，参考数据：，，，） 20. 如图，在中，，是边上的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 21. 为了了解某市九年级学生每周课外阅读时长（单位：小时）的情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）在这次调查活动中，一共抽取了多少名九年级学生？ （2）若该市有102000名九年级学生，请你估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的人数； （3）每周课外阅读时长恰好在“”范围内的九年级学生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 22. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 23. 如图，为的切线，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若半径，，求阴影部分面积． 24. 如图1，已知矩形，以为直径作圆，在圆上运动（不与点，重合），连接，，，，其中，． （1）当的面积最小时，求的长； （2）如图2，以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点横坐标为． ①当线段与圆相切时，求点的坐标； ②将，，的面积分别记为，,，令，在点运动过程中，对任意满足条件的实数都满足恒成立，求实数的取值范围． 25. 定义：将函数图象上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的倍（为常数，，），得到新的函数图象，则称为的“倍函数”．例如：对于：，求它的“3倍函数”的解析式．求法：设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上，则，即，所以的解析式为． （1）判断下列说法是否正确？对的打“√”，错的打“×”； ①：的“3倍函数”是：；（ ） ②：是：的“2倍函数”；（ ） ③若：是：的“倍函数”，则（ ） （2）如图1，若，且二次函数的顶点为，与轴的交点为点，二次函数的“倍函数”的顶点为，与轴的交点为点．连接，，，．当四边形为矩形时，求此矩形的面积； （3）如图2，抛物线：的顶点为，与轴的正半轴交于点，的“倍函数”记作，的顶点为，点是上一点，若，且，当时，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下学期期中测试 数学（问卷） 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 把下列字母看作图形，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形无法找到一条直线，沿该直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则A不是轴对称图形； B、该图形沿着中间横直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则B是轴对称图形； C、该图形无法找到一条直线，沿该直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则C不是轴对称图形； D、该图形无法找到一条直线，沿该直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，则D不是轴对称图形． 2. 2026年1月30日，长沙市统计局公布了2025年长沙经济运行情况．经初步核算，2025年，长沙市实现地区生产总值约为15738亿元，同比增长．将15738用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂运算、幂的乘方运算法则、合并同类项运算法则，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C正确； 选项D、，则D错误． 4. 磁器口古镇的宝轮寺梁柱全凭榫卯结构搭建，未用一颗钉子，展现了古代匠人的精湛技艺．燕尾榫是“万榫之母”，榫头呈梯形，形似燕尾．如图是燕尾榫正面的榫头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看得到的图形即可得出结果． 【详解】解：由图可得，该图形的主视图为： 5. 如图，平分，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直的意义，角平分线的有关计算，角的和差计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据垂直得到，再根据角平分线得到，由求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 利用垂径定理得到，根据勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：是的半径，， 、， 在中，由勾股定理得：， ． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. 36 B. 9或 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程根的判别式可知，求出解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：D． 8. 京剧作为中国戏曲的瑰宝，因其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴，深受大众喜爱．正面印有京剧人物的两张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这两张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片正面相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解∶将这两张卡片分别记为A，B，列表如下： 共有4种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有2种， 两次抽取的卡片正面相同的概率为． 故选∶C． 9. 已知一个圆锥的底面半径为5，母线长为10，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据底面半径求出圆锥底面周长，再利用圆锥侧面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵圆锥底面半径， ∴圆锥底面周长， 设圆锥母线长为，由题得， 根据圆锥侧面积公式， ∴该圆锥侧面积为． 10. 九章算术是中国古代数学专著，九章算术方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人， 根据题意得：． 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，列方程是关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义．则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零得到不等式，即可求解． 【详解】解：由题意，， 解得． 故答案为：． 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法分解因式，利用平方差公式进行分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是_____________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．根据两组对边平行的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】解：如图所示， 根据题意得，，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 14. 如图是可回收垃圾的标志，其形状为等边三角形，将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为_______． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据图形的对称性，用除以3计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴旋转的角度是的整数倍， ∴旋转的角度至少是． 15. 如图，在四边形中，，，分别是边的中点，则四边形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得分别为的中位线，则有，，然后通过周长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形中，，，分别是边的中点， ∴分别为的中位线， ∴，， ∴四边形的周长为：． 16. 如图，正方形的边长为，顶点，分别在轴，轴的正半轴上，正方形的边长为，顶点在轴的负半轴上，若双曲线恰好同时经过点和点，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出点、，将两点坐标代入中进行求解即可． 【详解】解：设与轴的交点为点， 四边形是正方形， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 顶点在轴的负半轴上， 的横坐标为， ， 将、代入得： ， 整理得：， 解得：或， 、是正数， ． 三、解答题（本大题共9个小题，17，18，19题每小题6分，20，21题每小题8分，22，23题每小题9分，24，25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】利用负整数指数幂、二次根式、绝对值的性质，结合进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 19. 下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度”之后撰写的项目报告． 项目主题 测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度 项目背景 长沙“山水洲城”申遗工作正在持续推进中，岳麓山作为核心景观，其主峰（禹王峰）的精确高度是测绘工作的重要内容． 测量工具 测角仪 测量示意图 测量过程 1．在距离禹王峰一定距离的地面处放置测角仪，测得禹王峰山顶的仰角为； 2．在与地面处水平距离为的地面处放置另一测角仪，测得禹王峰山顶的仰角为．（C，B，D在同一水平直线上） 请根据表中的测量数据，计算禹王峰的高度．（测角仪高度忽略不计，参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】设，得到是等腰直角三角形，进而得到，在中，，利用列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， 解得， ， 答：禹王峰的高度为． 20. 如图，在中，，是边上的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据垂线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到、，利用勾股定理求出，根据平行四边形的性质得到，根据得到，即，进而得到是的中位线，最后利用进行求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：在中，，是边上的中线， ，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 点E是的中点， 是的中位线， ， ． 21. 为了了解某市九年级学生每周课外阅读时长（单位：小时）的情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）在这次调查活动中，一共抽取了多少名九年级学生？ （2）若该市有102000名九年级学生，请你估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的人数； （3）每周课外阅读时长恰好在“”范围内的九年级学生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）500名 （2）30600名 （3） 【解析】 【分析】（1）利用B类的人数除以所占百分比得到样本总量； （2）利用“样本估计总体”进行计算即可； （3）根据题意画出树状图，得到所有等可能的结果数，再找出符合题意的结果数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：（名）， 答：在这次调查活动中，一共抽取了500名九年级学生； 【小问2详解】 解：类的人数为：（名）， 名， 答：估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的九年级学生共有30600名； 【小问3详解】 解：根据题意，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种， 恰好选中甲和乙的概率为． 22. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】（1）甲型充电桩的单价是元，乙型充电桩的单价是元； （2）购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需最少费用为28万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点， （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【小问1详解】 解：设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价是元，乙型充电桩的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时， ∴w取得最小值为28万元， 此时，， 答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需最少费用为28万元． 23. 如图，为的切线，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若半径，，求阴影部分面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、解直角三角形、含角的直角三角形的性质、勾股定理、扇形面积公式，熟练掌握相关性质定理及锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，根据，设的半径，则，利用勾股定理求出长，进而求出、长，从而得出结论； （2）根据题意得到，进而求出的度数，在中，，利用扇形面积公式求出、，利用求解即可． 【小问1详解】 解：连接， 为的切线，为切点， ， 在中，， 设的半径，则， 在中，由勾股定理得， 由题意可知，， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 在中，， 又， ， ， 又是直角三角形， ， ， 在中，， ， ，， ． 24. 如图1，已知矩形，以为直径作圆，在圆上运动（不与点，重合），连接，，，，其中，． （1）当的面积最小时，求的长； （2）如图2，以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点横坐标为． ①当线段与圆相切时，求点的坐标； ②将，，的面积分别记为，,，令，在点运动过程中，对任意满足条件的实数都满足恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据的面积得到，当最小时，的值最小，利用“圆上一点到直线的距离最小”得到，当在线段上时，最小，根据矩形的性质证明四边形为矩形，进而求出、的长，最后利用勾股定理求解即可； （2）①连接，，过点作交于点，根据圆周角定理得到，易证得，进而得到，根据切线的性质得到垂直平分，证明，进而得到，据此列出等式，求出的值，进而得到点N的坐标； ②过点作，，垂足分别为点，，则，，用含的代数式表示出各个三角形的面积，进而得到关于的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值，从而解决不等式恒成立问题． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，连接， ， 当最小时，的值最小， 当在线段上时，最小，如图， 四边形为矩形， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 在Rt中，； 【小问2详解】 ①连接，，过点作交于点， ， ， 是圆的直径， ，即， ， ， ， ， ， 线段，分别与圆相切于点，， ， 又， 垂直平分， ， ， ， ， ， ，即， 又， ， 整理得， 解得或（舍）， ， 点坐标为； ②如图，过点作，，垂足分别为点，， 则，， ，， ， 由①知，， ， ， ， 有最大值， 当时，， 对任意满足条件的实数都满足恒成立， ， ． 【点睛】本题考查矩形的性质、圆的切线性质、勾股定理、平面直角坐标系中点的坐标表示、三角形面积、二次函数的性质、一元二次不等式恒成立问题，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 25. 定义：将函数图象上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的倍（为常数，，），得到新的函数图象，则称为的“倍函数”．例如：对于：，求它的“3倍函数”的解析式．求法：设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上，则，即，所以的解析式为． （1）判断下列说法是否正确？对的打“√”，错的打“×”； ①：的“3倍函数”是：；（ ） ②：是：的“2倍函数”；（ ） ③若：是：的“倍函数”，则（ ） （2）如图1，若，且二次函数的顶点为，与轴的交点为点，二次函数的“倍函数”的顶点为，与轴的交点为点．连接，，，．当四边形为矩形时，求此矩形的面积； （3）如图2，抛物线：的顶点为，与轴的正半轴交于点，的“倍函数”记作，的顶点为，点是上一点，若，且，当时，求实数的值． 【答案】（1）①×；②√；③× （2）10 （3） 【解析】 【分析】（1）利用“倍函数”的定义逐一计算判断即可； （2）先求出的“倍函数”，得到点A、B、C、D的坐标，根据矩形的性质得到，据此列出方程，求出的值，再利用求解即可； （3）分情况讨论：当或时，先求出点M、N坐标，进而得到是等边三角形，根据“倍函数”的定义求出的表达式，进而得到点G的坐标，过点作轴交于点，过点作交于点，证得四边形是矩形，进而得到，在中，、，进而求出点坐标，利用点在上，求出的值． 【小问1详解】 解：①设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上， 则，即， 所以的解析式为， 故答案为：×； ②设上的任意一点为，则变换之前的点在的图象上， 则，即， 故答案为：√； ③由于为的“倍函数”， 则， 整理得：， ，即， 故答案为：×； 【小问2详解】 解：由题可知，函数， 、， 设的“倍函数”上点为，则在原函数上， 则， 整理得：， 、， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得：， 、， ，点A、C到轴距离均为2， ； 【小问3详解】 解：（）如图，当时， 由题意知，抛物线， 顶点， 令得：， 解得， ， 、、， ， 是等边三角形， ， 是的“倍函数”， 设上的点，则在上， 则， 整理得：， 顶点， ， 过点作轴交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， 、， ， 轴， ， ， ， 在等边中，， 、， ， 、， 在中，， 、， ， ， 将点P坐标代入表达式得： ， 解得； （）如图，当时， 由（）抛物线的解析式为， 由题可知，，，三点共线，且顶点为， 作关于轴对称的，交于点， 同（）可证四边形是矩形、是边长为2的等边三角形， ，，， 在中，，， ， ，， ， 点坐标， 将点P坐标代入表达式得： ， ， 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质、矩形的判定与性质、等边三角形的性质、解直角三角函数、勾股定理、“倍函数”的定义，正确理解新的定义，熟练掌握相关性质定理、数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $