专项2第八章实数压轴题型 2025-2026学年人教版数学七年级下册期末复习专项

**基本信息** 以“概念理解-方法提炼-综合应用”为主线，系统覆盖实数核心考点，通过题型分类与规律总结培养抽象能力、推理意识和应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |算术平方根非负性|5题|特例探究-规律总结-学以致用|从非负性本质到代数与几何综合应用| |实际应用|5题|表格数据分析、方程建模|平方根性质与实际问题的转化| |平方根与立方根综合|5题|定义迁移（四次方根）、估算技巧|概念拓展与运算规则的统一| |无理数整数部分|5题|夹逼法确定范围|无理数性质与实数运算的结合| |实数与数轴|5题|图形剪拼、翻滚轨迹分析|实数与几何直观的对应关系| |大小比较|5题|作差法、平方比较法|实数性质的灵活应用| |程序设计|5题|流程图逻辑分析|算法思想与实数运算的融合| |新定义运算|5题|定义迁移与规则转化|抽象能力与创新意识的培养| |规律题|5题|等式观察-归纳-验证|推理意识与数学表达能力的提升|

专项2 第八章实数压轴题型 目录 题型1 利用算术平方根的非负性解题 1 题型2 算术平方根的实际应用 9 题型3 算术平方根和立方根的综合应用 12 题型4 无理数整数部分的有关计算 17 题型5 实数与数轴 22 题型6实数大小的比较 29 题型7 程序设计与实数运算 36 题型8 新定义下的实数运算 41 题型9 与实数运算相关的规律题 48 题型1 利用算术平方根的非负性解题 1．探究以下问题： (1)【特例探究】 _______，_______，______． (2)【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． (3)【学以致用】 计算：． 【答案】(1)5，0，6 (2)a， (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值； （2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：，，． （2）解：根据算术平方根的非负性，， 当时，； 当时，． （3）解：∵，，，， ∴ ． 2．已知，，为实数，且，求的值 【答案】 【分析】根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求解、、，再代入求值即可． 【详解】解：， ，，， ，，， ． 3．已知，在平面直角坐标系中，点，，且，满足． (1)则 ； ． (2)如图，已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发沿轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以2个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动．的中点的坐标是，设运动时间为秒． ①连接，是否存在这样的，使三角形的面积等于三角形的面积？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． ②连接，过点作交于点，请直接写出，，的数量关系． 【答案】(1)4；2 (2)①存在，； ②当时，；当时， 【分析】（1）根据算术平方根以及绝对值非负性质求解即可． （2）①由题意知，，，则，，由，可得，计算求解即可； ②分两种情况，当时和当时，过点作交与点N，利用平行线的判定和性质以及角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． （2）解：①∵， ∴， ∴，， ∵点的坐标是， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴存在，当时，； ②当时，过点作交与点N， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 当时，过点作交与点N， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 4．已知：在平面直角坐标系中点，点，且a，b满足． (1)点A，点B的坐标分别为：A______，B____________． (2)已知点，点P从B点出发沿x轴负方向以1个单位长度的速度移动，同时，点Q从点C出发，沿y轴负方向以个单位长度的速度移动．（P，Q分别在x，y的负半轴）如图1，求点P移动的时间； (3)在（2）的条件和结论下，如图2所示，若，设交x轴于点M，作，的角平分线交于点N，此时是否为定值．若是，求出这个定值，若不是请说明理由． 【答案】(1) (2)点P移动的时间为6秒 (3)是为定值， 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）设点P的运动时间为t秒．则，，，，根据，构建方程即可解决问题； （3）由平分，平分，推出，，推出，过点N作，则，可得，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）可知，， 即， 则，， 如图，过点Q作的延长线于H． 设点P的运动时间为t秒．则，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴； 答：点P移动的时间为6秒； （3）解：是定值，为，理由如下： ∵平分，，平分， ∴， ， ∴， 过点N作，则 ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴． 5．防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况．如图1，探照灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，探照灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是秒，探照灯射出的光束的转动速度是秒，且，满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时开始转动，在探照灯射出的光束到达之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 【答案】(1) (2) (3)当或时，两探照灯的光束互相平行 【分析】（1）根据非负性，得到，，解方程组即可； （2）设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质，计算即可． （3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）解：过点C作，如图所示： ∵， ∴， 设A灯转动时间为t秒， 则，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． ①当时， 由题意得， 解得； ②当时， 解得； ③当时， ， 解得（不合题意） 综上所述，当或时，两探照灯的光束互相平行． 题型2 算术平方根的实际应用 6．根据下表所提供的信息解答问题． x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 (1)10.89的平方根是________． (2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的意义结合表格求解即可； （2）先求出时间，再根据算术平方根的意义结合表格求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， 的平方根是， 故答案为：； （2）解：物体自由下落的高度（单位：与下落时间（单位：之间的关系是． 由题意知，， ∴，又， 由表格知，， 该物体到达地面需要． 7．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，长为，宽为 【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得大正方形的面积为， 所以大正方形的边长为； （2）能，理由如下： 设裁得的长方形的纸片的长为，宽为， 由题意可得，， 解得：， ， ， ， ， ， 能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 8．为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮． A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中 【分析】设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：∵长方形封皮的长与宽的比为， 设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程，即，，， ， ，，， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 9．某学校计划建造一个面积为长方形生态园．如图所示，该生态园有如下具体要求： （1）生态园仅有一面靠墙（墙的长度为10m），其余三边均由篱笆围成； （2）平行于墙的篱笆长度必须小于墙的长度； （3）平行于墙的篱笆的长度要大于垂直于墙的篱笆的长度． 数学兴趣小组给出的设计方案是：长与宽之比为3∶2．请通过计算判断该设计方案是否符合要求，并求出所需篱笆的总长度． 【答案】符合要求，所需篱笆的总长度为 【分析】分别设出长方形的长和宽，利用面积公式列出方程，再利用算术平方根求解，然后比较大小作出判断即可． 【详解】解：设兴趣小组的长与宽分别为和， 由题意得， ， ， ， 长与宽分别为和， ， 符合要求， 所需篱笆的总长度为． 10．按照国际标准，系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……将纸按如图1所示的方式折叠，你有什么发现？ (1)你的发现： ； (2)你能据此估算纸的长与宽分别是多少毫米吗（结果取整数）？参考数据：，，，，， 【答案】(1)A系列纸矩形的长是宽的倍（答案不唯一） (2)长为毫米，宽为毫米 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）设纸的长为毫米，宽为毫米，根据面积得到，然后求解即可； 设纸的宽为b毫米，长为毫米，根据面积得到，然后求解即可；． 【详解】（1）解：我的发现：A系列纸矩形的长是宽的倍； （2）解：设纸的长为毫米，宽为毫米，则． 解得，（毫米） 设纸的宽为b毫米，长为毫米，则． 解得，（毫米）． 题型3 算术平方根和立方根的综合应用 11．已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2），， ， 的平方根为. 12．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 13．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 14．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 15．（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81． 【分析】（1）直接利用解方程的基本步骤求解； （2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可． 【详解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3; ②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8， ∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1． （2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27 （ⅱ）①； ②；③． 故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． 题型4 无理数整数部分的有关计算 16．【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用夹逼法估算无理数的大小即可； （2）夹逼法求出，再进行计算即可； （3）夹逼法求出，再进行计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，其中是整数，， ∴，， ∴. 17．若正数的两个平方根是和，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据平方根的定义，立方根的定义求出a，b的值，再估计的大小即可求出c的值即可． （2）把，，，代入计算得出结果，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数的两个平方根是和， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 把代入得，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴的平方根是． 18．阅读理解：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列问题： (1)如果的整数部分为，小数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，即， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 19．同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 例如：，即， 的整数部分为4，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分_____，小数部分_____，则的值为_____． (2)已知的立方根为的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)2，，4 (2) 【分析】（1）结合阅读材料可求出a和b的值，再代入求值即可； （2）根据算术平方根和立方根的定义可求出m和n的值，再结合阅读材料可求出z的值，从而可求出的值，最后计算其平方根即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分，小数部分， ∴ ； （2）解：∵的立方根为， ∴， 则， ∵的算术平方根是， ∴， 则， ∵是的整数部分，， ∴， ， 的平方根为． 20．素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间．例如，因为，即，所以，的整数部分是． 素材2：国际标准的系列长方形纸张（常用于信封）遵循长宽比为的规则．假设某定制纸的面积为．每降低一个号数（如从到），是将上一号纸张沿长边对折而成，面积减半．参考数据：，，． 【问题】 (1)设纸（由对折一次得到）的宽为． ①求纸的面积； ②求纸宽的整数部分． (2)请估算纸的宽（单位：）介于哪两个相邻整数之间？ 【答案】(1)①；② (2)介于和两个相邻整数之间 【分析】（1）①根据纸由对折一次得到可知，即可求解；②设纸的宽为，则长为，利用面积列方程求解即可； （2）设纸的宽为 ，长为 ，已知面积为，列方程求解即可. 【详解】（1）①解：∵从到，共对折了次， ∴； ②解：设纸的宽为，则长为， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 结论：纸宽的整数部分是； （2）解：设纸的宽为 ，长为 ，已知面积为， ， 即：， ， ∴， ， ∵ ∴， 结论：纸的宽介于和两个相邻整数之间. 题型5 实数与数轴 21．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (3)计算． 【答案】(1)2， (2) (3)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （3）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （3）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 22．用如图①所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)把图①中的正方形放到数轴上，如图②，点表示的数为．若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①第一次翻滚后，点表示的数为多少 ②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与数轴上的重合若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．的长在2和3之间； (2)①第一次翻滚后，点B表示的数为1+；②不存在．见解析． 【分析】（1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）①根据点表示的数和正方形的边长即可得到一次翻滚后，点表示的数；②设存在正整数，则，由进行判断即可求解 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴的长在和之间； （2）解：①∵点表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后，点表示的数为； ②不存在，理由如下： 设存在正整数，则， ∴， ∵为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数． 23．解答下列问题：       (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)如图3，某同学把长为2、宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成一个正方形，求里面小正方形的边长； (3)若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片？若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能；理由见解析 【分析】（1）设边长为1的小正方形的对角线长为x，利用面积求出对角线为，然后结合数轴求解； （2）求出小正方形的面积，然后求算术平方根即可； （3）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积求出，然后得到长为，进而求解即可． 【详解】（1）解：设边长为1的小正方形的对角线长为x，由图1得：， ∴对角线为， ∴图2中A、B两点表示的数分别为和； （2）解：∵大正方形的面积为，两个小长方形的面积之和为 ∴小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为； （3）解：不能．理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 依题意，得， 解得， 此时． ∴不能裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片． 24．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． (1)【问题发现】 图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为_____________，边_____________； (2)【问题探究】 将图②放置在如图③所示的数轴中，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点位于原点右侧），则点表示的数的值为_____________； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，试比较与1的大小，并说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）分割法求出正方形的面积，进而求出正方形的边长即可； （2）根据两点间的距离进行求解即可； （3）作差法比较大小即可. 【详解】（1）解：格点正方形的面积为， 故边； （2）解：由（1）和作图可知：，点表示的数为1， ∴点表示的数为； （3）解：，理由如下： 由（2）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 25．如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也为正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1． (1)图中正方形的面积为___________，边长为___________． (2)若正方形从当前状态沿数轴向右无滑动滚动，当点B第一次落在数轴上时，与点B重合的点P表示的数为___________；若正方形从当前状态沿数轴向左无滑动滚动，当点D第一次落在数轴上时，与点D重合的点Q表示的数为___________． (3)能否用一块面积为的正方形纸片，沿着纸片的边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为？请通过计算说明是否可行． 【答案】(1)13， (2)， (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据割补法求出正方形的面积，即可解答； （2）先推导出，得到，，即可解答； （3）设长方形纸片的长为，宽为，依题意得到，求出，得到长方形纸片的长为，根据，得到不能裁出一块面积为的长方形纸片，即可解答． 【详解】（1）解：由图，可知正方形的面积为， ∴正方形的面积为13，边长为． （2）解：由图及题意，得 ， ∴，， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为； （3）解：不能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，依题意，得 ， 由边长的实际意义，得 因此，长方形纸片的长为， ∵ ∴ ∴ 又∵，， ∴不能裁出一块面积为的长方形纸片． 题型6实数大小的比较 26．阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两数作差，根据可求； （2）根据，且，求得，两式作差进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．综合与实践 (1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____． (2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；长方形的对角线长为_____． (3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【答案】(1) (2)1；13； (3)小思说得对，小明说得不对；说明见解析 【分析】（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，则，计算、比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为； （2）解：由题意得：所得到的小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：；长方形的对角线长为； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∵， ∴， 由于面积为的正方形纸片边长为， ∴ ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 28．按要求解答问题： (1)如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，大正方形的边长为__________________． (2)爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为和的长方形沿对角线剪开，将所得到的个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到大正方形的面积为___________，边长为______________________． (3)小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 【答案】(1) (2)， (3)解：不可行，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 由题意得，， 解得（负值舍弃）； 所以截出的长方形纸片的长为，宽为， 由于正方形纸片的面积为，则这个正方形纸片的边长为； ∵， 故， ∴， 故边长为的正方形纸片，无法裁出一个长为的长方形纸片； 即不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【分析】（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）小正方形的边长等于直角三角形两直角边的长的差，大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积，据此即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程，计算即可解答． 【详解】（1）解：由拼图可得大正方形面积为，其边长为． （2）解：由拼图可知，小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：， 所以正方形的边长为． （3）略 29．解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 【答案】(1) ，  a (2) ， 3 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了图形的折叠，实数的计算． （1）根据折叠的特点可知小正方形的对角线是大正方形的边长，作答即可； （2）设卡纸宽为，根据折叠的特点可知第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合，即可作答即可； （3）确定出卡纸的长与大正方形的边长的大小，即可判定． 【详解】（1）解：∵小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴当小正方形卡纸边长均为时，大正方形的边长为； ∵大正方形的边长为，小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴小正方形卡纸边长均为：； （2）设卡纸宽为，如下图， 根据折叠可知：第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合， 根据正方形的特点，可得第一次的折痕长度为：，即卡纸的长边长为：， ∵卡纸的面积为， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴卡纸的长边为：， 故答案为： ， 3； （3）不能剪出，理由如下： 面积为的大正方形，边长为， 而（2）中卡纸的长为， 计算得：， 若卡纸需沿大正方形卡纸的边的方向剪出， 则卡纸的长和宽都必须小于大正方形的边长才能剪出， ∵卡纸的长为，大于， ∴卡纸不能按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出． 30．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1的第1个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 如图2的第2个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 如图3的第3个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 小明同学制作了一张边长为的正方形贺卡想给朋友，现有一个长方形信封如图所示．长、宽之比为，面积为．能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． (2) (3)设的整数部分是，的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)；； (2)能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的面积与边的关系，直接求解即可； （2）设长方形信封的长为，宽为，列方程可求出信封的长与宽，与贺卡的边长比较大小即可得解； （3）估算无理数的大小得到，，的值，然后代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：当时，正方形的面积为， 拼成的大正方形的边长为； 当时，正方形的面积为， 拼成的大正方形的边长为； 当时，正方形的面积为， 拼成的大正方形的边长为； （2）解：能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由如下： 长、宽之比为， 设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， 解得（负值已舍去）， 长方形信封的长为，宽为， ， ， ，， 正方形贺卡的边长是， 信封的宽与长均大于正方形贺卡的边长， 能将这张贺卡不折叠就放入此信封； （3）解：， ，即， 的整数部分是，即； ， ，即， 的整数部分是，小数部分是，即； ， ，即， 的整数部分是，小数部分是，即； ． 题型7 程序设计与实数运算 31．有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)输入的数据可能是负数，理由见解析 (4)输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据负数没有算术平方根即可解答； （4）找到使得输出值为的最小的两个数即可． 【详解】（1）解：当时，，是无理数， ∴输出的； （2）解：存在，当或时，始终输不出值， ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，一定是有理数， ∴始终输不出值； （3）解：输入的数据可能是负数，理由如下： ∵负数没有算术平方根， ∴屏幕显示“该操作无法运行”， ∴输入的数据可能是负数； （4）解：4的算术平方根是2，2的算术平方根是， 故输入的值不唯一，最小的2个满足题意的值为2，4． 32．如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， ∴当或1时，始终输不出值． 33．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2)输入x的值可能是，理由见解析 (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 34．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】(1) (2)输入的x不能是任何实数，理由见解析 (3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值 (4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、． 【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键． （1）把代入程序中计算即可确定出y的值； （2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答； （3）根据程序确定出x的值即可； （4）举反例即可解答； 【详解】（1）解：当时，， ，4不是无理数不能输出 ，2不是无理数不能输出 是无理数，输出． 所以输出y是． （2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下： 当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数． （3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值； ∵0和1的算术平方根是0和1 ∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值． （4）解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一． 35．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 题型8 新定义下的实数运算 36．已知，都是正整数，现定义新运算：． (1)计算：= ， ； (2)若 ，则的值为 ． 【答案】(1)； (2)64或4 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：，则； ，则 ，则； （2）解：当时， 解得， 经检验，符合题意； 当时， 解得， 经检验，符合题意 综上：的值为64或4． 37．小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质：的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 【答案】(1)；；不存在； (2)；；或． 【分析】（）根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； 根据四次方根即可求解； （）利用无理数的估算方法即可较大小； 根据四次方根和立方根定义即可求解； 根据四次方根即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； ∵， ∴的四次方根是， 故答案为：； 不存在， 故答案为：不存在； （2）解：由， ∴，即， 由， ∴，即， ∴， 故答案为：； ； ， ∴或． 38．阅读与思考： 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如．善思小组的同学根据上述定义，求的值．解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到．由此善思小组得出结论：若为正整数，则． 任务： (1)填空：___________，___________． (2)求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据定义，直接可得到答案； （2）仿照例题求解，估算的大小，结合定义，即可求解； （3）根据进行化简，即可求解． 【详解】（1），； （2）， ． ， ． （3）据材料，得， ． 39．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 【答案】(1)6 (2)或或（答案不唯一，符合题意即可） (3) (4)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的x的整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （4）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，且x为整数， ∴或或（答案不唯一，符合题意即可）． （3）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （4）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 40．请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为x，则不大于x的最大整数表示为，例如，．善思小组的同学根据上述定义，求的值． 解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到，，，． 任务： (1)填空：请你根据善思小组的计算，帮助他们得出结论：当n为正整数，则 ； (2)计算：____，____， ； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）根据材料找到规律即可解答； （2）根据定义，直接可得到和的值，估算的大小，结合定义，即可得到的值； （3）根据进行化简，求出，求出即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∴若为正整数，则； （2）解：，， ∵， ∴， ∴； （3）解：根据材料，得 ， ， ∵， ∴， ∴， ． 题型9 与实数运算相关的规律题 41．先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3)，过程见解析 【分析】（1）根据题干中提供的信息进行解答即可； （2）根据题目中的式子找出一般规律即可； （3）将变形为，然后再根据解析（2）中得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：由题目中的例子可知， 第6个等式为：； （2）解：； ； ； …… 用n（n为正整数）表示的等式为：． （3）解： ． 42．观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) ；见解析 【分析】（1）根据规律计算的值即可； （2）根据题意，找到前2025个等式求和，再与2026比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，，， ， ， ， ∵， ． 43．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察3个等式得出第5个等式和第个等式； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：第5个等式：， 第个等式：； （2）解： ． 44．请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据前面几个等式的特点写出第6个等式，可得答案； （2）由（1）归纳可得答案； （3）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （4）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （5）将变形为，结合所给规律代入进行计算即可得到答案； （6）根据材料阅读一和材料阅读二所给的规律，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； （2）解：由（1）归纳可得： 第个等式：. （3）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， ； （4）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， 观察可知，等式右边最后一个乘数为， ∴； （5）解： ； （6）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； 第99个等式：； 个等式的和为：； ∴ ； . 45．综合与实践 活动主题 认识进位制，探究不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法．十进制数一般不标注基数． 材料2 在数学中：规定除了零，任何数的零次幂都为1，即 如．由此，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，如： 材料3 不同进位制的数之间可以相互转换．下面对“十进制数与二进制数之间的转换”进行举例说明．十进制数转换成二进制数，如： 所以换成二进制数是，记为∶； 二进制数转换成十进制数， 如： 所以二进制数转换成十进制数为，记为 根据以上信息，解决下列问题： (1)①十进制数7转换成二进制数为( )₂； ②二进制数转换成十进制数为 ． (2)若一个十进制两位数转化成三进制数后是一个各数位上的数字全都为m的三位数，请求出这个十进制两位数； (3)已知a，b，c均是大于2的正整数，且，将，，转换成十进制数分别记为x，y，z．猜想x，y，z之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，等式的性质以及单位进制的转化． （1）①根据题干中十进制数转换成二进制数的方法计算即可；②仿造题干中二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （2）仿造题干中二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （3）仿造题干中二进制数转换为十进制数的方法求出x、y、z，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：①； ②． 故答案为：； （2）解：依题意得，这个三进制数， 转换为十进制数为 因为这个数是十进制两位数，所以 ． 当时，，是两位数， 当时，，是两位数； 当时，，但三进制数每一位数字最大是2，所以m不能为3及更大的数． 所以这个十进制两位数是或． （3）解：，理由如下 依题意得： ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项2 第八章实数压轴题型 目录 题型1 利用算术平方根的非负性解题 1 题型2 算术平方根的实际应用 3 题型3 算术平方根和立方根的综合应用 5 题型4 无理数整数部分的有关计算 6 题型5 实数与数轴 7 题型6实数大小的比较 9 题型7 程序设计与实数运算 12 题型8 新定义下的实数运算 14 题型9 与实数运算相关的规律题 16 题型1 利用算术平方根的非负性解题 1．探究以下问题： (1)【特例探究】 _______，_______，______． (2)【规律总结】 对于实数a，当时，_______，当时，______． (3)【学以致用】 计算：． 2．已知，，为实数，且，求的值 3．已知，在平面直角坐标系中，点，，且，满足． (1)则 ； ． (2)如图，已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发沿轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以2个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动．的中点的坐标是，设运动时间为秒． ①连接，是否存在这样的，使三角形的面积等于三角形的面积？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． ②连接，过点作交于点，请直接写出，，的数量关系． 4．已知：在平面直角坐标系中点，点，且a，b满足． (1)点A，点B的坐标分别为：A______，B____________． (2)已知点，点P从B点出发沿x轴负方向以1个单位长度的速度移动，同时，点Q从点C出发，沿y轴负方向以个单位长度的速度移动．（P，Q分别在x，y的负半轴）如图1，求点P移动的时间； (3)在（2）的条件和结论下，如图2所示，若，设交x轴于点M，作，的角平分线交于点N，此时是否为定值．若是，求出这个定值，若不是请说明理由． 5．防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况．如图1，探照灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，探照灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是秒，探照灯射出的光束的转动速度是秒，且，满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时开始转动，在探照灯射出的光束到达之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 题型2 算术平方根的实际应用 6．根据下表所提供的信息解答问题． x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 (1)10.89的平方根是________． (2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到） 7．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 8．为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮． A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 9．某学校计划建造一个面积为长方形生态园．如图所示，该生态园有如下具体要求： （1）生态园仅有一面靠墙（墙的长度为10m），其余三边均由篱笆围成； （2）平行于墙的篱笆长度必须小于墙的长度； （3）平行于墙的篱笆的长度要大于垂直于墙的篱笆的长度． 数学兴趣小组给出的设计方案是：长与宽之比为3∶2．请通过计算判断该设计方案是否符合要求，并求出所需篱笆的总长度． 10．按照国际标准，系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……将纸按如图1所示的方式折叠，你有什么发现？ (1)你的发现： ； (2)你能据此估算纸的长与宽分别是多少毫米吗（结果取整数）？参考数据：，，，，， 题型3 算术平方根和立方根的综合应用 11．已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 12．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 13．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 14．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 15．（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 题型4 无理数整数部分的有关计算 16．【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 17．若正数的两个平方根是和，的立方根是，是的整数部分． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 18．阅读理解：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列问题： (1)如果的整数部分为，小数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 19．同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 例如：，即， 的整数部分为4，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分_____，小数部分_____，则的值为_____． (2)已知的立方根为的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 20．素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间．例如，因为，即，所以，的整数部分是． 素材2：国际标准的系列长方形纸张（常用于信封）遵循长宽比为的规则．假设某定制纸的面积为．每降低一个号数（如从到），是将上一号纸张沿长边对折而成，面积减半．参考数据：，，． 【问题】 (1)设纸（由对折一次得到）的宽为． ①求纸的面积； ②求纸宽的整数部分． (2)请估算纸的宽（单位：）介于哪两个相邻整数之间？ 题型5 实数与数轴 21．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (3)计算． 22．用如图①所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)把图①中的正方形放到数轴上，如图②，点表示的数为．若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①第一次翻滚后，点表示的数为多少 ②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与数轴上的重合若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 23．解答下列问题：       (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)如图3，某同学把长为2、宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成一个正方形，求里面小正方形的边长； (3)若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为2的长方形纸片？若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 24．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． (1)【问题发现】 图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为_____________，边_____________； (2)【问题探究】 将图②放置在如图③所示的数轴中，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点（点位于原点右侧），则点表示的数的值为_____________； (3)【拓展延伸】 在（2）的条件下，试比较与1的大小，并说明理由． 25．如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也为正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1． (1)图中正方形的面积为___________，边长为___________． (2)若正方形从当前状态沿数轴向右无滑动滚动，当点B第一次落在数轴上时，与点B重合的点P表示的数为___________；若正方形从当前状态沿数轴向左无滑动滚动，当点D第一次落在数轴上时，与点D重合的点Q表示的数为___________． (3)能否用一块面积为的正方形纸片，沿着纸片的边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为？请通过计算说明是否可行． 题型6实数大小的比较 26．阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：________；（填“<”、“=”或“>”） (2)已知，且，若，，试比较A和B的大小． 27．综合与实践 (1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____． (2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；长方形的对角线长为_____． (3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 28．按要求解答问题： (1)如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，大正方形的边长为__________________． (2)爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为和的长方形沿对角线剪开，将所得到的个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到大正方形的面积为___________，边长为______________________． (3)小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．请通过计算说明是否可行． 29．解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 30．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1的第1个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 如图2的第2个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 如图3的第3个图形，当时，拼成的大正方形的边长为__________； 小明同学制作了一张边长为的正方形贺卡想给朋友，现有一个长方形信封如图所示．长、宽之比为，面积为．能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． (2) (3)设的整数部分是，的小数部分是，的小数部分是，求的值． 题型7 程序设计与实数运算 31．有一个数值转换器，原理如图所示． (1)当输入的的值为36时，输出的______． (2)是否存在输入有效的的值后，始终输不出的值的情况？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由． (3)小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”．请你推算输入的数据可能是什么情况，并说明理由． (4)若输出的的值是，试判断输入的的值是否唯一．若不唯一，请写出满足题意的最小的2个不同的值． 32．如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 33．如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 34．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 35．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 题型8 新定义下的实数运算 36．已知，都是正整数，现定义新运算：． (1)计算：= ， ； (2)若 ，则的值为 ． 37．小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作； 探究性质：的四次方根________； 的四次方根________； ________（填“存在”或“不存在”） (2)巩固应用： 比较________（填、或） 计算：； 解方程：． 38．阅读与思考： 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如．善思小组的同学根据上述定义，求的值．解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到．由此善思小组得出结论：若为正整数，则． 任务： (1)填空：___________，___________． (2)求的值． (3)已知，求的值． 39．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 40．请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为x，则不大于x的最大整数表示为，例如，．善思小组的同学根据上述定义，求的值． 解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到，，，． 任务： (1)填空：请你根据善思小组的计算，帮助他们得出结论：当n为正整数，则 ； (2)计算：____，____， ； (3)已知，，求的值． 题型9 与实数运算相关的规律题 41．先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 42．观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 43．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 44．请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 45．综合与实践 活动主题 认识进位制，探究不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法．十进制数一般不标注基数． 材料2 在数学中：规定除了零，任何数的零次幂都为1，即 如．由此，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，如： 材料3 不同进位制的数之间可以相互转换．下面对“十进制数与二进制数之间的转换”进行举例说明．十进制数转换成二进制数，如： 所以换成二进制数是，记为∶； 二进制数转换成十进制数， 如： 所以二进制数转换成十进制数为，记为 根据以上信息，解决下列问题： (1)①十进制数7转换成二进制数为( )₂； ②二进制数转换成十进制数为 ． (2)若一个十进制两位数转化成三进制数后是一个各数位上的数字全都为m的三位数，请求出这个十进制两位数； (3)已知a，b，c均是大于2的正整数，且，将，，转换成十进制数分别记为x，y，z．猜想x，y，z之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $