期末考试高频重难点易错题检测卷一2025-2026学年七年级数学下册（北师大版）

**基本信息** 聚焦七年级下册高频重难点，以蚂蚁爬长方体、阶梯水价等生活情境和三角板摆放、纸带折叠等探究活动为载体，考查几何直观、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|概率（转盘）、几何展开（长方体）、函数关系（海拔气温）|情境化（地理海拔数据）、易错点（三角形三边关系）| |填空|6|整式运算（幂的计算）、统计（频率估计概率）、几何探究（丝带打结、台球反弹）|规律探究（丝带长度关系式）、跨学科（螳螂简笔画角度）| |解答|8|综合应用（阶梯水价函数）、几何证明（平行线折叠）、探究创新（三角板叠放全等）|分层设计（基础运算到动态探究）、思维进阶（纸带折叠多问推理）|

2025-2026学年七年级数学下册期末考试高频重难点易错题检测卷一 一、选择题 1．如图，转动三个可以自由转动的转盘（转盘均被等分），当转盘停止转动后，根据“指针落在灰色区域内”的可能性的大小，将转盘的序号按事件发生的可能性从大到小排列为（     ） A．①③② B．②①③ C．③①② D．②③① 2．如图是一个底面为正方形的长方体容器，顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从顶点A处出发沿侧面爬向点B处．现将顶点A，B所在的两个侧面展开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度与此高度处的气温之间的关系： 海拔高度 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 下列说法错误的是（   ） A．海拔高度为自变量，气温为因变量 B．在一定范围内，海拔高度每增加，气温就下降 C．在一定范围内，气温t与海拔高度h之间的关系式为 D．当海拔高度为时，此高度处的气温是零下 4．若 ，则代数式M 应为（     ） A． B． C． D． 5．若展开的结果中不含的一次项，则满足的关系式是(     ) A． B． C． D． 6．如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．在中，，，，a的值可能是（     ） A．1 B．5 C．3 D．7 8．已知一个角比它的余角的4倍还多，则这个角的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，，，．点在上，连接，，将三角形沿直线折叠，得到三角形，交于点，将三角形沿直线折叠得到三角形，若点恰好落在上，则下列结论正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．一天课间，小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间（如图所示），这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算：________． 12．在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，这些球除颜色外都完全相同，小明通过大量重复摸球实验后，发现摸到红色、蓝色球的频率分别稳定在和，则箱子里黄色球的个数很可能是_____个． 13．如图，是丝带连接后的示意图，把一些长度为的丝带按图中打结的方式连接起来，每打一个结，丝带总长度减少，则打结连接后的丝带总长度与用到的丝带数量的关系式为______． 14．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 15．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则的度数为_____． 16．如图，在等边三角形中，，，点D为边上一点且．点P为边上的动点，从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，到达点C后停止运动；点Q为边AC上的动点，从点C出发向点A运动，到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，P、Q两点同时出发．若在点Q返回过程中存在与全等，点Q的运动速度为______． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共24个，它们除颜色外完全相同，其中红球6个，黄球数量是白球数量的2倍． (1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率； (2)向袋中放入若干个红球，使摸出红球的概率为，求放入红球的个数． 19．某同学在比较的大小时，发现44，33都是11的倍数，于是他将这两个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这两个数的大小． 解：因为， 所以 即 请根据上述解题思路完成下题：若，试比较a，b的大小． 20．为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费．每月用水量不超过20吨时，按每吨3元计费；每月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按每吨3元计费，超过部分按每吨3.2元计费．设每户家庭月用水量为x吨时，应缴水费y元． (1)分别求出和时，y与x之间的函数关系式； (2)小颖家四月份、五月份分别缴水费63.2元、57元，则小颖家五月份比四月份节约用水多少吨? 21．如图，直线，相交于点，． (1)若，判断与的数量关系是_________，依据是________； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 22．如图1，直线与直线互相平行，A、B分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点C，满足，． (1)如图1，若，则　　　　　°； (2)如图2，在直线上方平面内取一点F，直线交于E，满足，，求． 23．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立） 操作探究： (1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°； (2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由； (3)如图3，若，求的度数． 24．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】 (1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则__________； 【类比】 (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上，且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，连接，求的面积． 参考答案 1．B 【分析】指针落在阴影区域内的可能性是：，比较灰色部分的面积即可． 【详解】解：由图可知：①“指针落在灰色区域内”的可能性为；②“指针落在灰色区域内”的可能性为；③“指针落在灰色区域内”的可能性为； 因为， 所以指针落在灰色区域内的可能性从大到小的顺序为：②①③． 2．B 【分析】本题考查了长方体的侧面展开，掌握两点之间线段最短是解题关键．根据长方体的侧面展开特征，两点之间线段最短判断即可． 【详解】解：蚂蚁爬行的最短路线如图所示： 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查常量与变量；根据表格数据，逐一判断选项，海拔高度每增加，气温下降，得到关系式在给定范围内成立，再把代入关系式计算，即可得出结果． 【详解】解：∵从表格数据可得， 海拔高度为自变量，气温为因变量，故A正确， 在一定范围内，海拔高度每增加，气温就下降，B正确， 当时，时，时，时，时，时，， ∴关系式成立．故C正确， 对于选项D，当时，，但选项D是，与计算不符， ∴选项D错误． 选项A、B、C均正确． 故选：D． 4．A 【分析】依次代入，根据平方差公式和完全平方公式进行运算，即可得出答案． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 5．D 【分析】本题考查多项式乘多项式中不含某一项时字母关系式的求解，先利用多项式乘多项式法则展开式子，合并同类项后，根据不含的一次项即一次项系数为，整理即可得到，的关系式． 【详解】解： ， 又∵ 展开结果中不含的一次项，因此一次项系数为0 ∴ ，整理得 故选：D． 6．C 【分析】根据长方形对边平行的性质，利用平行线的性质求出内错角相等，再结合折叠前后对应角相等的性质，建立关于的等式求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴． 7．C 【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得出答案． 【详解】解：中，，，， ∴． ∴． 故选：C． 8．D 【分析】根据题意设未知数列方程求出这个角的度数，再计算该角的补角即可得到答案． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵互余两角的和为， ∴这个角的余角为， 由题意列方程得：， 展开整理得， 解得， ∵互补两角的和为， ∴这个角的补角为． 9．C 【分析】根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，据此可得①正确；先求出，则，再根据平行线的性质可得，进而可得②正确；先得出，再得出，进而可得③正确；先得出，则可得，再得出，进而可得④错误． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，结论①正确； ∵，， ∴，即， 由折叠的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴，结论②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴，结论③正确； ∵，，， ∴都是两条平行线之间的距离， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴，结论④错误； 综上，结论正确的有3个． 10．B 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意易得，，根据余角的性质得到，进而证得，根据全等三角形的性质得到和，从而得到的长． 【详解】解：每块砖的厚度， ，， 由题意可知，，， ， ， 在和中， ， ，， ， 故选：B． 11． 【分析】先将原式中变形为，再逆用积的乘方运算法则进行计算． 【详解】解： 12．8 【分析】根据利用频率估计概率的知识，先求出摸到黄色球的概率，再结合总球数，利用概率公式计算黄色球的个数． 【详解】解：∵摸到红色球的频率为，摸到蓝色球的频率为， ∴摸到黄色球的频率为：， ∴摸到黄色球的概率为：， ∵球的总个数为20， ∴黄色球的个数为：． 13． 【分析】用丝带总长度减去与所打的结的数量的乘积即可． 【详解】解：∵每条丝带的长度为， ∴条丝带的总长度为， ∵每打一个结，总长度减少， 又∵连接条丝带需要个结， ∴丝带总长度． 14．/度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 15．/度 【分析】过拐点作平行线，利用平行线的传递性与性质，分别求出与已知角相关的内错角和同旁内角，再通过角度差计算出所求角的度数，体现了平行线性质在折线型问题中的 “辅助线构造法”． 【详解】过点作， ， ， ， 又 ， ， ． 16．或10个单位长度 【分析】点Q到达点A后折返一次，回到点C后停止运动，在运动过程中存在与全等，推出，或，根据点P求出运动时间，利用路程除以时间得出Q的运动速度． 【详解】解：点P以每秒2个单位长度向点C运动，点Q返回过程中存在与全等， ， ，或， 或， 点Q的运动路程为或， 点Q的速度为：或． 17．(1)16 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．(1) (2) 【分析】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）设白球个，则黄球个，根据三种颜色的球共个求得黄球的数量，进而利用概率公式计算即可； （2）设放入个红球，根据题意列出比例方程，即可求解． 【详解】（1）解：设白球个，则黄球个，依题意得， 解得：， 则黄球有个， ∴从袋中摸出一个球是黄球的概率p= （2）解：设放入个红球，则， 解得． 19． 【分析】根据题干给出的解题思路，将两个数转化为指数相同的幂，通过比较底数的大小即可得到结果． 【详解】解： 已知 ， ，观察指数可知，． 所以 ，． 因为 ， 所以 ， 即 . 20．(1)当时，；当时， (2)小颖家五月份比四月份节约用水2吨 【分析】（1）根据所给的收费标准，列出对应的函数关系式即可； （2）根据（1）所求函数关系式，分别求出四月和五月的用水量即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：当时，， 当时，； （2）解：∵， ∴四月的用水量大于20吨，五月的用水量小于20吨， ∴，， 解得， ∵， ∴小颖家五月份比四月份节约用水2吨， 答：小颖家五月份比四月份节约用水2吨． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键． 21．(1)，同角的余角相等 (2) 【分析】（1）由垂直的定义，依据同角的余角相等即可得到答案； （2）由已知条件和平角定义列方程求解得到，再结合对顶角相等求出，最后由垂直的定义，数形结合表示出要求的角度即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则，依据是同角的余角相等； （2）解：，， ， 则， ， ， ． 22．(1)80 (2) 【分析】（1）设，则，再利用平角的定义求出 ， ，再根据平行线的性质得到，建立方程求解即可： （2）过点F作，设，，求出，根据已知结合平行线的性质得到，，，进而得到，即可求解； 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； （2）解：过点F作，设，， ∵，，， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴ ∴， ∴， ∴． 23．(1)，45 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据内错角的定义即可得到与是内错角，先推导出，再根据折叠的性质，得到，即可解答； （2）先推导出，，则，即可解答； （3）先推导出，再求出，根据将纸片沿折痕EF折叠，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图1 ∵点E与点A重合，使点恰好落在线段上， ∴与是内错角， 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图 ， ， ， ， ； （3）解：如图 ， ， ， ， ∵将纸片沿折痕折叠， ， ， ． 24．(1) (2)解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 即（该数量关系的变形也可）； (3) 【分析】（1）根据全等三角形求出，进而即可求出； （2）先证明，再结合全等三角形性质分析推理，即可得出线段，，的之间的数量关系； （3）过点作的延长线于点，由（2）同理可证，结合全等三角形性质，以及三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ； （2）略 （3）解：过点作的延长线于点， 由（2）同理可证：， ， ， 的面积为：． 学科网（北京）股份有限公司 $