重庆市2025-2026学年八年级下学期期末自编模拟二

**基本信息** 这份八年级下期末模拟卷以直播带货、AI竞赛等真实情境为载体，分层考查二次根式、四边形、一次函数等核心知识，突出数学思维与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次根式、勾股定理、箱线图分析|结合箱线图考查数据观念，折叠问题体现几何直观| |填空题|6/24|代数式意义、方差比较、新定义“第二十数”|通过“第二十数”定义考查抽象能力与运算能力| |解答题|9/86|几何证明、统计分析、函数应用、动点综合|AI竞赛统计分析培养数据意识，直播带货问题发展模型观念，动点面积函数提升推理能力|

重庆市2025-2026学年八年级下期末自编模拟二 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 一、单选题（每题4分） 1．下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（     ） A．地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B．地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C．地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D．地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 4．下列命题中，是假命题的是（   ） A．矩形的对角线互相平分且相等； B．菱形的对角线互相垂直； C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． 5．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．估计的值应在（   ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 7．如图，将矩形沿直线折叠，使点C落在点处，交于点E，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．一次函数（为常数，且）的图象经过点，则下列关于一次函数结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第三象限 C．该函数的图象可由正比例函数的图象平移得到 D．函数图象与轴的交点坐标为 9．如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 10．若x，y为任意正数，已知，进行如下操作：在A，B，C，D中任选两个作差后并求其绝对值．例如：选A，B作差并求其绝对值，即．则下列说法中： ①所有的操作结果中存在一个结果与另外一个结果的比值为常数；②若，存在两个整数y，使得所有操作结果的和为52；③若，x，y均为整数，且满足，则的值为842或389或368；正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（每题4分） 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围为______． 12．甲、乙两位射击运动员在一次射击训练中的射击成绩如下折线统计图．设甲、乙两组数据的方差分别为、，则______（填“”“”或“”）． 13．如图，直线与相交于点，已知点的横坐标为，则关于的不等式的解集为_____． 14．若一次函数不经过第三象限，则的取值范围是______． 15．如图，正方形中，点是边上一点，连接，若，，则_________．若点是边上一点，连接，，则_________． 16．一个四位正整数，各个数位均不为零，如果千位数字与个位数字之和的两倍等于百位数字与十位数字之和的三倍，且各个数位数字之和为，则称为“第二十数”，那么千位数字与个位数字之和为_________；并规定等于的千位数字与百位数字之和的两倍与十位数字与个位数字之和的和，且为完全平方数；对于另一个“第二十数”，等于的前两个数字组成的两位数与后两个数字所组成的两位数的和，且是一个整数，则的最大值是_________． 三、解答题 17．计算：（8分） (1)； (2) 18．先化简，再求值（8分）：，其中． 19．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，绳子始终绷紧且绳长保持不变．    (1)若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从处移动到岸边点的位置？ 20．（10分）学习过程中，轩轩发现：四边形是平行四边形，平分交于点，若过点作的垂线，交于点，交于点，连接，则必有四边形为菱形．为验证此规律的正确性，轩轩的思路：在图中，过点作的垂线，再通过证明全等得出结论，请完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规在图的基础上过点作的垂线，交于点，交于点，再连接．（只保留作图痕迹） (2)求证：四边形为菱形（请补全下列过程）． 证明：四边形是平行四边形， ， ①， 平分， ， ②， ． ， 在和中 ，， ， ③． 又， ④． 又， 四边形是菱形 21．（10分）学校开展了“人工智能素养”知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，87，88，84，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：62，67，69，72，75，75，77，79，82，84，84，84，89，92，92，92，92，96，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 84 众数 90 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________；__________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“人工智能素养”知识竞赛的成绩较好?请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有学生1000人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 22．（10分）云南特色农产品直播带货成为乡村振兴新路径，某主播直播间销售普洱茶和鲜花饼两种特产．已知销售盒普洱茶和盒鲜花饼，共可获利元；销售盒普洱茶和盒鲜花饼，共可获利元． (1)求每盒普洱茶和每盒鲜花饼的利润； (2)若该直播间计划购进两种特产共盒，其中普洱茶的数量不少于盒，且不超过鲜花饼数量的，该直播间如何进货，才能使销售完后获得的总利润最大？并求出最大利润． 23．（10分）如图1，在矩形中，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，设点的运动时间为的面积为． (1)直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围： (2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 24．（10分）如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线交于点E，． (1)求直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上一点，且在点E的右侧，满足的面积为，点Q为直线上一动点，请求出的最大值； (3)如图3，将直线向下平移4个单位得到直线，直线与x轴交于点F，连接，若点M为平面内一动点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出直线与y轴交点的坐标，若不存在，请说明理由． 25．（10分）在三角形中，，，线段和交于点，且．点为的中点．过点作的垂线交于点． (1)如图1，连接，若，求的度数； (2)如图2，连接，且的角平分线交于点．求证：； (3)如图3，若，点为的中点，点是线段上一动点，满足，请直接写出的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市2025-2026学年八年级下期末自编模拟二参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D C D D D D B 1．D 【分析】根据最简二次根式的定义，判断每个选项是否满足“被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式”两个条件，即可得到答案. 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 选项A，，被开方数是小数，不是最简二次根式； 选项B，，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项C，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项D，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件. 故选：D. 2．A 【分析】若三角形三边长满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，否则不能构成直角三角形，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、两短边平方和为，最长边平方为，，不能构成直角三角形，符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D 、，能构成直角三角形，不符合题意． 3．C 【分析】箱线图中，箱体的上下四分位数、中间的线是中位数，两端是最大值和最小值，数据越分散，方差越大． 【详解】解：A、A地的最大值接近20，B地的最大值在15左右，所以A地最大值大于B地，正确； B、A地的中位数比B地的中位数低，正确； C、A地的数据分布比B地更分散，所以A地的方差大于B地的方差，该选项说法错误； D、B地的最小值约为5，A地的下四分位数在5以下，说明有以上的数据低于5，即低于B地的最小值，正确； 所以不正确的是C． 4．D 【分析】根据初中所学相关定理，判断各命题的真假即可得到结果． 【详解】解：A．矩形的性质是对角线互相平分且相等，该命题是真命题，不符合题意． B．菱形的性质是对角线互相垂直平分，该命题是真命题，不符合题意． C．平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该命题是真命题，不符合题意． D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，因此该命题是假命题，符合题意． 5．C 【分析】根据勾股定理求出的长，则可得到的长，再用点C表示的数减去的长即可得到a的值． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得 ∴， ∴． 6．D 【分析】先根据二次根式的运算法则把化简为，然后估算的取值范围，再根据不等式的性质变形即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．D 【分析】先得出，再设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴，即， 解得， 即． 8．D 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及待定系数法求一次函数的解析式，求出一次函数解析式是解决问题的关键． 先由待定系数法，将代入一次函数，解二元一次方程组求出函数解析式，再由一次函数图象与性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：一次函数（为常数，且）的图象经过点， ， 解得， ∴一次函数解析式为， A：由，知函数值随的增大而减小，选项说法正确，不符合题意； B：由、，知一次函数图象过第一、二、四象限，则图象不经过第三象限，说法正确，不符合题意； C：将正比例函数的图象向上平移个单位长度即可得到图象，选项说法正确，不符合题意； D：当时，，则一次函数的图象与轴交点坐标为，选项说法错误，符合题意； 故选：D． 9．D 【分析】过点作于，于，利用正方形对角线的性质证，结合证，得，再利用等腰直角三角形性质与角度和差关系，推导的度数． 【详解】解：过点作于，于． 则， 四边形是正方形，是对角线， ，， ∴四边形是矩形， ∵，，， ， ∴四边形是正方形， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ，， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ． 10．B 【分析】本题考查了绝对值的化简、代数式的运算及整数解的探究，解题的关键是先列出所有操作结果，再结合条件逐一分析各说法的正确性． 先列出A、B、C、D两两作差的绝对值结果；对于①，观察结果中是否存在比值为常数的两个代数式；对于②，当时，代入结果并化简和式，结合整数y的取值判断是否存在满足和为的情况；对于③，明确M、N的表达式，结合方程及整数x、y的条件，求出可能的M、N值，进而判断的可能值． 【详解】解：根据题意可得，，，，，，， ∴，为常数，故①正确； 当时，，，， ，，， ∴所有操作结果的和为： ， 分情况讨论： 当时，， 当时，， 当时，， 令，得（非整数）， ∴无整数y满足所有操作结果的和为52，故②错误； ∵，且， ∴， ∴，即， ∴， ∵为正数且均为整数， ∴必为4的倍数且， ∴或5或9， 当时，，代入得, ∴， 当时，，代入得， ∴， 当时，，代入得， ∴， ∴的值为842或389或386，故③错误． 综上，正确结论为①，共1个． 故选：B． 11．且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出不等式，求解即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由题意可得 ，二次根式被开方数为非负数，得 分式分母不为零，得 解不等式，得 解不等式，得 因此实数的取值范围为． 12． 【分析】本题考查了方差，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据折线统计图可知甲、乙射击成绩，根据他们的成绩计算出他们的方差，再比较． 【详解】解：甲的成绩为、、、、、、、， ， ， 乙的成绩为、、、、、、、， ， ． 故答案为：． 13． 【分析】利用交点的横坐标，数形结合思想求解即可； 【详解】解：因为直线与相交于点， 且点的横坐标为， 故关于的不等式的解集为； 14．/ 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式组，由图象所在的象限得到关于的不等式组是解题的关键．由一次函数不经过第三象限可得到关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围． 【详解】解：∵一次函数不经过第三象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 15． 【分析】①根据勾股定理即可求解； ②延长到点，使，连接，通过论证， ，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】①解：∵正方形中，， ∴， ∴， ②解：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴解得：， ∴. 16． 【分析】根据题意得到，即可得到答案；要求的最大值，即使最大，最小，分别计算出和的临界值即可得到答案． 【详解】解：设四位正整数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则， ∵为“第二十数”， ∴， 解得：， ∴， ∵， 且， ∴， ∴， ∵为完全平方数， ∴或，即：或， 若使的值最大，需最小，即最小， ∵或，，， ∵最大为， ∴最小为，此时最小为，，最小为：； 设是“第二十数”， ∴， 解得：， ∴， ∵，是一个整数， ∴是整数， 即：是的倍数， ∵ ∴ ∴或或， 要使最大，需最大，最大，， 最大可取时，，或，或，最大可取， 故：的最大值是． 17．(1) (2)4 【分析】（1）根据二次根式的乘法，分母有理化进行计算，再计算加减即可； （2）先根据平方差公式，二次根式的乘法进行计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．， 【详解】解： ， 当时， 原式． 19．(1)米 (2)不能 【分析】（1）根据勾股定理求的长，然后作差求解即可； （2）先求出从A处移动到岸边点F的时间，比较大小，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴男子需向右移动的距离为米； （2）解：由题意知，需收绳的绳长（米）， ∴此人的收绳时间为（秒）， ∵， ∴该男子不能在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 20．(1)作图如下： 的垂线即为所作 (2)①，②，③，④四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，作垂线（尺规作图），全等三角形的判定与性质等知识． （1）以点D为圆心，以合适长度为半径画弧，并交于于点H、G，再分别以点H、G为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点M，交于点N，连接； （2）根据题干的思路作答即可． 【详解】（1）作图见答案； （2）解析略 21．(1)，92， (2)八年级，七年级中位数为，小于八年级的中位数84，表明八年级至少有一半的学生的成绩是要高于七年级学生的成绩 (3)人 【分析】（1）先求出七年级B组学生的占比，再结合扇形图求出A的组的占比，根据各组占比，确定七年级学生成绩的中位数落在哪一个具体的组，再根据中位数概念求解中位数；根据众数的概念作答即可； （2）结合表格中，各个参数的特点进行比较即可； （3）先求出这个竞赛中，七、八年级学生竞赛成绩不低于90分的学生人数的占比，再估计总体即可作答． 【详解】（1）解：七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，87，88，84，88，共计5个数， 从小到大依次排列为：83，84，87，88，88， 则其占比为：， ∴， 即D组的人数为：（人），C组的人数为：（人），A组的人数为：（人）， ∴七年级参赛人数是20人，将这20人的成绩从小到大依次排列，D组2人、C组7人、83，84，87，88，88，A组6人， ∴中位数刚好落在第10个数和第11个数上， ∴七年级学生成绩的中位数落在B组，即：， 根据众数概念，出现了4次，次数最多，即：． （2）略 （3）七年级中A组的学生人数为：（人），八年级此次竞赛成绩不低于90分的学生人数是7人， 则这七、八年级学生中，此次竞赛成绩不低于90分的学生人数一共有：， 其占比为：， 该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是：（人） 答该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是人． 22．(1)每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元 (2)购进普洱茶盒，鲜花饼盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为元 【分析】（1）通过列二元一次方程组求出两种产品的单位利润； （2）先列出总利润关于进货量的一次函数，再根据题目限制条件求出自变量的取值范围，最后根据一次函数的增减性求出最大利润． 【详解】（1）解：设每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元， 由题意得， 解得， 故每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元． （2）解：设购进普洱茶盒，则购进鲜花饼盒，销售总利润为元， 由题意得， ∵普洱茶的数量不少于盒，且不超过鲜花饼数量的， ， 解得， ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时，鲜花饼的数量为（盒）， 故购进普洱茶盒，鲜花饼盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为元． 23．(1) (2)见解析；当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小 (3) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题等知识． （1）分两段分别写出函数关系式及其自变量取值范围即可； （2）用两点法画出函数图象，写出性质即可； （3）根据图象进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴关于的函数关系式为； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴函数图象过点， 如图，即为所求，    当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小； （3）解：如图，当直线过点时，； 当直线过点时，； ∴当，直线与（2）中的函数图象有两个交点． 24．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出，，结合求出，然后代入求解即可； （2）首先求出，求出，设，然后利用的面积为求出，如图，取的中点，连接，，证明出，得到，当点在线段的延长线上时，取得最大值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可； （3）首先求出直线的表达式为，得到，然后分两种情况讨论：点M在右边和点M在右边，分别构造全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵直线， ∴当时，， ∴，即， ∵直线， ∴当时，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线， 当时，， 解得， ∴， ∴， 联立直线和直线得，， 解得， ∴， ∴， ∵点P为直线上一点，设， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得， ∴， 如图，连接， ∵， ∴轴，且 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 如图，取的中点，连接，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段的延长线上时，取得最大值，即的长度， ∴， ∴的最大值为； （3）解：∵将直线向下平移4个单位得到直线， ∴直线的表达式为， ∴当时，， 解得， ∴， 如图，当点M在右边时，过点F作且，过点G作轴于点N，连接，取中点H，作直线， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点H是的中点， ∴， ∴，符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴，即， 设直线的表达式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， ∴当时，， ∴直线与y轴交点的坐标为； 如图，当点M在左边时，过点F作且，过点G作于点N，过点B作于点I，连接，取中点H，作直线， 同理可证，， ∴，， ∴点G的横坐标为， ∴， ∵点H是的中点， ∴，即， 同理可得，直线的表达式为， ∴当时，， ∴直线与y轴交点的坐标为； 综上所述，直线与y轴交点的坐标为或． 25．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得，求出，得到，利用三角形的外角性质求出，再利用三角形的内角和定理即可求解； （2）证明，得，求出，证明，得到，利用线段的和差关系结合即可得证； （3）过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，连接，证明为等腰直角三角形，得，证明四边形为平行四边形，推出，证明，证明，进而得到，即得当、、三点共线时，有最小值，进而求解． 【详解】（1）解：，， ． ，， ． 在和中 ， ， ， ， ． ，E为中点， ， ， ， 中，， ． （2）证明：过点P作的垂线交于点K，连接 ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， 在中，，E为的中点， ， 在中，，为的中点， ， ，， 平分，， ， ， ， ， 在和中 ， ， 在中，，， ， ， ； （3）解：同（2）题可证， ∴ ， 过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，连接， 则， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ∵， ∴∥， 四边形为平行四边形， ， ∵垂直平分， ， ∴ 在和中 ∴， 当、、三点共线时，有最小值， ∵，M是中点， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线、熟练掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $