精品解析：上海市青浦区第一中学2025-2026学年高一下学期期末学业质量调研数学试卷

青浦一中2025学年第二学期期终学业质量调研 高一年级数学学科试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 考生注意： 本考试分设试卷和答题纸.答题前，务必在答题纸上填写姓名、座位号（考号），并填涂好准考证号.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题 1. 设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的概念可直接求出. 【详解】，， 故答案为： . 2. 在中，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 3. 已知，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】运用两角和的余弦公式展开并代入的值即可. 【详解】. 故答案为：. 4. 已知函数，则其最小正周期是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简已知条件，再求得函数的最小正周期. 【详解】由于， 所以的最小正周期. 故答案为： 5. 在复数范围内分解因式______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式以及复数运算来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 6. 已知向量，且，则实数 的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示可求. 【详解】，，解得. 故答案为：. 7. 已知的三边 ，， ，则角A的大小是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理可得角A余弦，即可得答案. 【详解】因 ，， ，由余弦定理， 则. ∵，∴． 故答案为：． 8. 已知i为虚数单位，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数z在复平面内对应点的轨迹，再利用几何意义求出范围. 【详解】由，得复数z在复平面内对应点Z的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 是点Z到定点的距离， 而，所以圆C外， ， 所以的取值范围为， 故答案为：. 9. 若点 在曲线上，点 在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得. 【详解】直线的方程化为：，显然， 所以. 故答案为： 10. 若向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的定义式，利用投影向量的计算，可得答案. 【详解】由题意可得，， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 11. 若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案. 【详解】由题，，又， 所以. 故答案为：. 12. 已知平面上、、、、五个点，满足，，求的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出，再用基本不等式求解出最小值即可得出取值范围. 【详解】因为，所以相邻的两条线段是互相垂直， 设 ，其中，根据， 时， ，则； 时， ，则 ； 时， ，则. 以为原点建立平面直角坐标系，设沿 轴正方向，则的坐标为. 由于，沿 轴方向，设的方向向量为或， 假设沿 轴正方向（若沿负方向，最终结果关于原点对称，距离不变）， 则的坐标为. 同理可得，沿 轴方向，可以向左也可以向右，沿 轴方向， 即，，，. ，综上所述，有四种可能的组合： ①，，， 此时， . ②，，， 此时， . ③，，， 此时， . ④，，， 此时， . 比较上述结果，最小值为，即的最小值为， 由于 可以取任意正实数，且各向量方向可以自由选择， 的值可以无限增大（例如当或 时）， 综上所述的取值范围为. 二、选择题 13. 虚数的平方是（ ） A. 正实数 B. 虚数 C. 负实数 D. 虚数或负实数 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算以及复数的分类即可判断. 【详解】设，则， 若，则，即负实数； 若，则，即虚数； 故选：D. 14. 已知均为非零向量，则成立的充要条件是（ ） A. B. 同向 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算及充要条件的定义求解即可. 【详解】因为 方向相同， 所以成立的充要条件是：同向. 故选：B. 15. 已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】比较直线到圆心距离与圆半径大小关系，据此可判断选项正误. 【详解】显然圆 圆心为，半径为 ，直线到圆心距离为：， 因在圆内部，则，从而 ，则直线与圆 相离. 16. 已知圆O的半径为2，弦AB的长度为.若动点P在圆O上运动，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取弦 的中点为辅助点，将向量数量积转化为与该中点到动点 的距离相关的表达式，结合圆的性质求距离范围即可得解. 【详解】取 的中点为 ，由垂径定理可知， 已知圆半径 ，，故， 所以 ， 所以 ， 又，即 ， 故，则. 三、解答题 17. 已知向量， （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先求出的坐标再计算其模长； (2)先表示出向量的坐标，再根据向量垂直则其数量积为零去计算即可. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ， ，因为， 所以， 即. 18. 已知方程有两个根，. （1）若是此方程的一个虚根，分别求实数的值； （2）若 且，求实数 的值. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）将代入方程，由复数相等列出等式求解即可； （2）由韦达定理求解即可. 【小问1详解】 因为是方程的一个虚根， 所以， ， 所以， 解得. 【小问2详解】 方程两个根为， 因为， 所以， ，进而， 所以， 解得： 或. 19. 已知函数． （1）求 ; （2）设函数，求的值域和单调区间． 【答案】（1） （2）值域为，单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【小问1详解】 由题意，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 20. 已知点、、． （1）求； （2）若C在以原点为圆心的单位圆上，求的取值范围； （3）若动点C满足，求的最小值及的值． 【答案】（1） （2） （3） 最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）由向量坐标运算结合题设可得答案； （2）设 ，然后由向量坐标运算可得的表达式，据此可得答案； （3）由题可得点 在直线上，则取最小值时，表示B到直线AP距离，据此可得答案. 【小问1详解】 由题可得，， 则； 【小问2详解】 设 ，由 ， 注意到，故，又， 则 ， 因为，则； 【小问3详解】 设，因，则， 即，解得，则， 当取最小值时，表示B到直线AP距离，此时， 所以 ， 则 ，解得，则， 即，则. 21. 在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． （1）求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． （2）若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． （3）已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 【答案】（1）证明：设，则，， 由，则， 即，又， 整理得，配方得， 故点P的曲线C为圆， 则圆心，半径为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设 ，将 两边平方，展开后对配方，即可化为圆的标准方程，即可直接读出圆心坐标和半径； （2）利用（1）中所得可得圆C方程，及其圆心坐标与半径，再利用切线性质计算即可得； （3）由题意可得为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形性质与点到直线距离公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则圆C为，圆心，半径为， 若切线斜率不存在，则为，此时圆心C到的距离为，不符； 若切线斜率存在，设过点A且与曲线C相切的直线方程为， 则有，化简得，解得， 故过点A且与曲线C相切的直线方程为； 【小问3详解】 由题意可得，又，则， 故为等腰直角三角形， 则点到直线的距离为， 即有，整理得，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青浦一中2025学年第二学期期终学业质量调研 高一年级数学学科试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 考生注意： 本考试分设试卷和答题纸.答题前，务必在答题纸上填写姓名、座位号（考号），并填涂好准考证号.作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题 1. 设，则______． 2. 在中，______． 3. 已知，则__________． 4. 已知函数，则其最小正周期是___________. 5. 在复数范围内分解因式______． 6. 已知向量，且，则实数 的值为_________． 7. 已知的三边 ，， ，则角A的大小是 ________． 8. 已知i为虚数单位，若，则的取值范围为__________. 9. 若点 在曲线上，点 在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________. 10. 若向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 11. 若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为__________. 12. 已知平面上、、、、五个点，满足，，求的取值范围为______． 二、选择题 13. 虚数的平方是（ ） A. 正实数 B. 虚数 C. 负实数 D. 虚数或负实数 14. 已知均为非零向量，则成立的充要条件是（ ） A. B. 同向 C. D. 15. 已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 16. 已知圆O的半径为2，弦AB的长度为.若动点P在圆O上运动，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知向量， （1）求； （2）若，求实数的值． 18. 已知方程有两个根，. （1）若是此方程的一个虚根，分别求实数的值； （2）若 且，求实数 的值. 19. 已知函数． （1）求 ; （2）设函数，求的值域和单调区间． 20. 已知点、、． （1）求； （2）若C在以原点为圆心的单位圆上，求的取值范围； （3）若动点C满足，求的最小值及的值． 21. 在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． （1）求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． （2）若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． （3）已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $