期末应用题系列：长方体（一）长方体（二）（专项训练）-2025-2026学年数学五年级下册北师大版

**基本信息** 聚焦长方体正方体表面积与体积的实际应用，通过生活场景构建“观察-抽象-建模-计算”的解题体系，强化空间观念与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |表面积应用|11题（防尘罩/粉刷墙壁等）|部分面计算（无盖/四周/侧面积）、实际用料=理论面积×倍数|从表面积概念（6个面）到实际场景（扣除底面/门窗），形成“面数判断-公式选择-单位换算”的推导链| |体积应用|7题（切割正方体/排水法等）|排水法求不规则体积、切割最大正方体体积差|以体积公式为基础，通过“规则体计算-不规则体转化”发展几何直观| |综合拓展|1题（高增变正方体）|表面积变化与棱长关系推导|结合空间想象，建立“棱长变化-表面积增减-原几何体特征”的逻辑关联|

期末应用题系列：长方体（一）跟长方体（二）-2025-2026学年数学五年级下册北师大版 1．李叔叔家的空调长0.5米，宽0.3米，高1.8米，他想用布做一个长方体防尘罩（底面不做），做这个防尘罩至少需要多少平方米布？如果每平方米布需要15元，一共需要多少元？ 2．学校要粉刷会议室四周的墙壁，已知会议室的长是24米，宽是10米，高是3.5米，门窗的面积是64平方米。如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这间会议室四周的墙壁需要多少涂料费？ 3．某酒店要用油漆粉刷大厅里6根同样的长方体柱子，已知柱子的底面是边长为5分米的正方形，高是3米。若每平方米的油漆需花费8元，则刷完大厅里的这些柱子共需花费多少元？ 4．一个正方体铁皮盒子的棱长为5分米，做这个盒子的实际用料是其表面积的1.2倍。做好这个盒子至少要用多少平方分米的铁皮？ 5．幸福小区建造一个长40米，宽20米，深1.8米的游泳池。 (1)这个游泳池的占地面积是多少平方米？ (2)如果给这个游泳池的底面和四周贴上瓷砖，贴瓷砖部分的面积是多少平方米？ 6．一个长方体的底面是一个正方形，如果它的高增加3厘米，它的表面积就增加72平方厘米，同时它又变成了一个正方体，求原来长方体的表面积是多少？ 7．某海洋馆要打造一个儿童科普互动展区，需要定制一批棱长为厘米的小型正方体无盖玻璃鱼缸，用来展示小丑鱼、珊瑚等海洋生物。小张负责采购制作鱼缸的玻璃，已知每平方米玻璃的费用是150元，购买制作一个这种鱼位的玻璃一共需要付多少元？（玻璃厚度忽略不计） 8．电商大促销期间，快递仓库的李叔叔正忙着给商品包装箱做加固处理，防止运输途中破损。他要打包的是一个长方体包装箱，加固方式是沿着长、宽、高的方向横竖缠绕胶带（如图所示）。按照这样的加固方法，至少需要多少分米的胶带？（接头处忽略不计） 9．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是128厘米。（彩带打结处忽略不计） (1)做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ (2)如果在它的四周贴上宣传画（上、下不贴），需要多少平方厘米宣传画？ 10．火柴盒由内盒和外盒组成（外盒两侧是磷面擦火皮）。下图是一个长5厘米、宽3厘米、高1厘米的火柴盒。 (1)做一个这样的火柴盒至少需要多少材料？（接口处与厚度忽略不计） (2)做这一个火柴盒至少用了多少平方厘米的磷面？ 11．用铁皮做一个无盖的长方体水箱，长10分米、宽0.8米、高5分米，至少需要多少平方分米的铁皮？这个水箱的容积是多少升？ 12．有一块长方体木块，它的长是8分米，宽是6分米，高是5分米。如果把它锯成一个最大的正方体，体积减少多少立方分米？ 13．优优和果果从不同的角度观察爷爷做的一个无盖的长方体玻璃鱼缸。 优优从上面看：    果果从左面看： (1)根据她们看到的形状和测量的数据，你能计算出爷爷做这个鱼缸至少用多少平方分米玻璃吗？ (2)如果玻璃厚度忽略不计，那么这个鱼缸的容积是多少升？ 14．一条35米长的拦河大坝的横截面是梯形，它的上底长15米，下底长45米，高是4米，修建这条拦河大坝，一共需要土石多少方？ 15．下面图①的长方体容器底面是边长10厘米的正方形，容器中有一些水。放入一个长方体零件后，水面高度恰好与长方体零件高度相等，如图②。已知长方体零件的底面是边长为5厘米的正方形，原来容器中水面高度是多少？ 16．一辆汽车的油箱是一个从里面量长为8分米、宽为6分米、高为4分米的长方体，油箱中油面与油箱口的距离为1分米，若每升汽油够这辆汽车行驶15千米，则这箱汽油够这辆汽车行驶多少千米？ 17．妈妈去商场买了一个40克重的金手镯。把这个金手镯放入一个装有水的正方体容器中，已知容器的底面边长为5厘米，金手镯全部没入水中后，水面上升了0.2厘米，且水没有溢出。妈妈说这个金手镯是“空心”的。你同意妈妈的说法吗？请说明理由。 18．下面是奇思比较土豆和红薯的体积时做的实验。（单位：厘米） (1)土豆和红薯哪个体积大？请说出你的理由。 (2)计算出土豆的体积。 (3)计算出红薯和土豆的体积相差多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末应用题系列：长方体（一）跟长方体（二）-2025-2026学年数学五年级下册北师大版》参考答案 1．3.03平方米；45.45元 【分析】求需要布的面积就是求长方体的表面积，因为底面不做，所以只需计算长方体5个面的面积，先根据“”求出需要布的面积，再根据“总价＝单价×数量”求出需要的钱数。 【详解】0.5×0.3＋（0.5×1.8＋0.3×1.8）×2 ＝0.5×0.3＋（0.9＋0.54）×2 ＝0.5×0.3＋1.44×2 ＝0.15＋2.88 ＝3.03（平方米） 3.03×15＝45.45（元） 答：做这个防尘罩至少需要3.03平方米布，一共需要45.45元。 2．1044元 【分析】用长×高×2＋宽×高×2算出会议室四周的面积，再减去门窗的面积算出需要粉刷的面积；再乘每平方米的涂料费即可。 【详解】24×3.5×2＋10×3.5×2－64 ＝168＋70－64 ＝174（平方米） 174×6＝1044（元） 答：需要1044元。 3．288元 【分析】根据1米＝10分米，把长方体柱子的长和宽的单位换算成米；根据题意，需要粉刷的面是长方体柱子的前后左右面。用长乘高乘4算出1根长方体柱子需要粉刷的面积，再乘6算出6根长方体柱子一共需要粉刷的面积；再乘每平方米的油漆费用即可。 【详解】5分米＝0.5米 0.5×3×4×6×8 ＝1.5×4×6×8 ＝6×6×8 ＝36×8 ＝288（元） 答：共需花费288元。 4．180平方分米 【分析】正方体表面积＝棱长×棱长×6，求倍数，用乘法，实际用料＝正方体表面积×1.2。 【详解】5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 150×1.2＝180（平方分米） 答：做好这个盒子至少要用180平方分米的铁皮。 5．(1)800平方米 (2)1016平方米 【分析】（1）游泳池的占地面积就是地面面积，长方形面积＝长×宽。 （2）贴瓷砖部分的面积由下底面以及前后左右面的面积组成。 【详解】（1）40×20＝800（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是800平方米。 （2）40×20＋40×1.8×2＋20×1.8×2 ＝800＋144＋72 ＝944＋72 ＝1016（平方米） 答：贴瓷砖部分的面积是1016平方米。 6．144平方厘米 【分析】根据题意，长方体的长和宽相等；增加的72平方厘米是4个完全相同的长方形的面积之和；用增加的面积除以4算出一个长方形的面积，再除以3算出长方形的长，也是长方体的长。这时长方体变成了正方体；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，算出正方体的表面积，再减去72平方厘米就是原来长方体的表面积。 【详解】72÷4÷3＝6（厘米） 6×6×6－72 ＝216－72 ＝144（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是144平方厘米。 7．元 【分析】题目中正方体的棱长为厘米，价格单位是平方米，单位不一样，所以要先统一单位；题目定制一批棱长为厘米的小型正方体无盖玻璃鱼缸，所以只需算正方体的个面的面积之和，就可算出制作一个鱼缸所需的玻璃总面积；接着根据总费用等于玻璃总面积乘每平方米单价，计算即可。 【详解】厘米米 玻璃总面积： （平方米） 总费用：（元） 答：购买制作一个这种鱼位的玻璃一共需要付元。 8．35分米 【分析】分析图片，长方体包装箱的前、后、左、右四个面各有1条与长方体的高相等的胶带，上、下两个面各有1条与长方体的宽相等的胶带，上、下两个面还各有1条与长方体的长相等的胶带，据此计算所有胶带的和。 【详解】 （分米） 答：至少需要35分米的胶带。 9．(1)1536平方厘米 (2)1024平方厘米 【分析】（1）观察可知，彩带长度包括8条棱的长度，可以通过彩带长度÷8＝棱长求出棱长，再根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此解答即可； （2）在正方体的四周贴上宣传画，只需要计算4个面即可。 【详解】（1）128÷8＝16（厘米） 16×16×6 ＝256×6 ＝1536（平方厘米） 答：做这个礼品包装盒至少需要1536平方厘米的纸板。 （2）16×16×4 ＝256×4 ＝1024（平方厘米） 答：需要1024平方厘米宣传画。 10．(1)71平方厘米 (2)10平方厘米 【分析】（1）火柴盒由内盒和外盒组成，外盒共4个面，外盒的面积＝长×宽×2＋长×高×2，内盒共5个面，内盒的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，最后把外盒的面积和内盒的面积相加即可求出做一个这样的火柴盒至少需要的材料的面积； （2）外盒两侧是磷面，磷面的面积＝长×高×2，代入数据解答即可。 【详解】（1）5×3×2＋5×1×2 ＝30＋10 ＝40（平方厘米） 5×3＋5×1×2＋3×1×2 ＝15＋10＋6 ＝31（平方厘米） 40＋31＝71（平方厘米） 答：做一个这样的火柴盒至少需要71平方厘米材料。 （2）5×1×2＝10（平方厘米） 答：做这一个火柴盒至少用了10平方厘米的磷面。 11．260平方分米；400升 【分析】由题可知，已知长方体的长、宽、高，根据公式长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，可以得到长方体的表面积，但是这是一个无盖的长方体，表面积要去掉盖子的面积，可得到结果；水箱的容积就是长方体的体积，根据公式长方体的体积＝长×宽×高，即可得到结果。 【详解】0.8米＝8分米 10×8＝80（平方分米） （10×8＋10×5＋8×5）×2 ＝（80＋50＋40）×2 ＝170×2 ＝340（平方分米） 340－80＝260（平方分米） 答：至少需要260平方分米的铁皮。 10×8×5＝400（立方分米） 400立方分米＝400升 答：这个水箱的容积是400升。 12．115立方分米 【分析】将一个长方体木块锯成一个最大的正方体，则这个正方体的棱长是长方体长、宽、高中最短的边，即高是5分米。长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，用减法计算得出答案。 【详解】锯成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是5分米。 8×6×5－5×5×5 ＝240－125 ＝115（立方分米） 答：体积减少115立方分米。 13．(1)118平方分米 (2)120升 【分析】（1）根据图片，从上面观察可得：鱼缸的长是6分米，宽是5分米；从左面观察可得：鱼缸的高是4分米。鱼缸是无盖长方体，因此玻璃面积＝底面积 ＋ 4个侧面的面积。 （2）玻璃厚度忽略不计，容积＝长方体体积，再进行单位转换。 【详解】（1）6×5＋2×（4×6＋4×5） ＝30＋2×（24＋20） ＝30＋2×44 ＝30＋88 ＝118（平方分米） 答：爷爷做这个鱼缸至少用118平方分米玻璃。 （2）4×5×6 ＝20×6 ＝120（立方分米） 120立方分米＝120升 答：这个鱼缸的容积是120升。 14．4200方 【分析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2算出横截面的面积，再乘长度即可。1立方米＝1方。 【详解】（15＋45）×4÷2×35 ＝60×4÷2×35 ＝4200（立方米） ＝4200（方） 答：一共需要土石4200方。 15．30厘米 【分析】根据长方体体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，先求出放入零件后水和零件的总体积，再求出零件的体积，两者相减得到原来水的体积，原来水的体积÷长方体容器的底面积＝原来水面高度。 【详解】10×10×40 ＝100×40 ＝4000（立方厘米） 5×5×40 ＝25×40 ＝1000（立方厘米） 4000－1000＝3000（立方厘米） 3000÷（10×10） ＝3000÷100 ＝30（厘米） 答：原来容器中水面高度是30厘米。 16．2160千米 【分析】先求出汽油的实际高度，再利用，算出汽油的体积。总路程＝汽油升数×每升行驶千米数，求出一共可以行驶的路程。 【详解】（分米） （立方分米） （千米） 答：这箱汽油够这辆汽车行驶2160千米。 17． 同意；因为5立方厘米的纯金是96.6克，原比妈妈买的40克要重 【分析】从题意可知：上升的水的体积就是金手镯的体积。根据正方体的体积：V＝a3，代入数据，即可求出金手镯的体积。 再用求出的金手镯的体积乘每立方厘米纯金的克数。算出的结果比40克大，即为空心的。 【详解】5×5×0.2 ＝25×0.2 ＝5（立方厘米） 5×19.32＝96.6（克） 96.6＞40 答：同意；因为5立方厘米的纯金是96.6克，原比妈妈买的40克要重，所以是空心的。 18．(1)红薯；理由见详解 (2)144立方厘米 (3)96立方厘米 【分析】（1）从图中可知，长方体容器原有水深8厘米，放入土豆后，水面上升到9.5厘米，上升了（9.5－8）厘米；放入红薯后，水面从9.5厘米上升到12厘米，上升了（12－9.5）厘米；因为是同一个长方体容器，底面积相同，所以比较水面上升的高度，上升越高，说明放入物体的体积越大。 （2）放入土豆后，水面从8厘米上升到9.5厘米，水上升部分的体积等于土豆的体积；根据长方体的体积公式V＝abh，求出这个土豆的体积。 （3）放入红薯后，水面从9.5厘米上升到12厘米，水上升部分的体积等于红薯的体积；根据长方体的体积公式V＝abh，求出这个红薯的体积。再用红薯的体积减去土豆的体积，求出两者的体积差。 【详解】（1）9.5－8＝1.5（厘米） 12－9.5＝2.5（厘米） 2.5＞1.5 答：红薯的体积大。因为在同一个容器中红薯使水面上升的高度比土豆高。 （2）12×8×（9.5－8） ＝12×8×1.5 ＝96×1.5 ＝144（立方厘米） 答：土豆的体积是144立方厘米。 （3）12×8×（12－9.5） ＝12×8×2.5 ＝96×2.5 ＝240（立方厘米） 240－144＝96（立方厘米） 答：红薯和土豆的体积相差96立方厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $