2025-2026学年江苏省扬州市广陵区八年级下册期末数学模拟试卷

**基本信息** 结合智慧农业滴灌、古代“买椽多少”问题、智能分拣机器人等现实与文化情境，通过选择、填空、解答题的梯度设计，考查八年级下册核心知识与数学眼光、思维、语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|统计图表、分式、二次根式|基础概念辨析，如第2题以智慧农业情境考统计图表选择| |填空题|10/30|因式分解、概率统计、几何计算|文化传承，如第16题古代数学问题列分式方程| |解答题|10/96|统计应用、几何证明、实际问题|综合应用，如第26题智能分拣机器人考分式方程与方案优化，第28题“对直四边形”定义探究考创新意识|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新苏科版八年级下册全部内容。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列结论，你能肯定的是(    ) A. 今天是晴天，明天必然还是晴天 B. 三个连续正整数的积一定能被整除 C. 小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛他必然能获得一等奖 D. 两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的 2.我国正在推广“智慧农业”滴灌技术．某次实验中，研究人员从一批种苗中随机抽取了若干株，统计其高度．若想直观展示各高度区间的频数分布，最适合的统计图是(    ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 3.下列分式中是最简分式的是(    ) A. B. C. D. 4.下列二次根式中，能与合并的是(    ) A. B. C. D. 5.小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式中“”的部分，若该二项式能分解因式，则“”不可能是(    ) A. B. C. D. 6.如图， 中，点为 的中点，连接 ， ，点为 的中点，连接 交 于，若 ，则 的长为     ． A. B. C. D. 7.对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为(    ) ； ，则； ； 对任意大于的正整数，有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.已知中，，，，点是的中点，将沿着直线翻折，使点翻折到点，则的长为(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ． 10.若长方形的长为，宽为，则此长方形的面积为          ． 11.分解因式：           ． 12.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如下表： 累计抛掷次数 盖面朝上次数 盖面朝上频率 下面有三个推断：通过上述试验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；第次试验的结果一定是“盖面朝上”；随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近其中正确的是          填序号 13.如图是根据甲、乙两城市一周的日平均气温绘制的折线统计图，根据统计图判断本周的日平均气温较稳定的城市是          填“甲”或“乙” 14.如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为          ． 15.如图，在梯形中，，，，，则的度数为          ． 16.我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？若设这批椽的数量为株，则可列分式方程为          ． 17.实数、满足，则的最大值为          ． 18.如图，在正方形中，，两线段将正方形分割成甲、乙、丙、丁四块如图，经重新拼接恰能围成一个大正方形如图若，点为的中点，则的长是          ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分计算  ；  ． 20.本小题分解分式方程： ； ． 21.本小题分先化简，再求值：，其中． 22.本小题分 某商场去年月的销售总额共计万元，这个月的月销售额统计图如图所示统计信息不全，该商场家电部各月销售额占商场当月销售额的百分比的折线统计图如图所示． 请根据以上信息，补全条形统计图． 该商场家电部月份的月销售额的中位数是          万元． 该商场家电部下设，，，，五个卖区，如图所示的扇形统计图表示月份家电部各卖区销售额占月份家电部销售额的百分比情况． 卖区月份销售额在图扇形统计图中所占的圆心角的度数是          ； 根据各卖区的销售信息，请你为该商场的家电部提一条合理化建议． 23.本小题分 我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅形象．小明将关于地域特产的个形象云雾茶、豆丹、沙光鱼、东海水晶，制作成个玩具盲盒，每个盲盒中只有个形象玩具． 若从这个盲盒中随机抽取个，盲盒中玩具是“云雾茶”的事件是          填序号；必然事件    随机事件    不可能事件 若从这个盲盒中随机抽取个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“豆丹”和“东海水晶”的概率． 24.本小题9分 如图，为锐角三角形，平分． 请用无刻度的直尺和圆规分别在，上取点，，使得，保留作图痕迹，不写作法 在的条件下，求证：四边形是菱形． 25.本小题10分 【阅读理解】 爱思考的小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 计算：           ； 计算：； 若，求的值． 26.本小题12分 郑州航空港经济综合实验区作为全国重要的航空物流枢纽，近年来大力推进智慧物流园区建设．某智能仓储企业为响应园区号召，计划购进，两种型号的智能分拣机器人，负责园区内快递的自动分拣工作．已知每台型智能分拣机器人比每台型智能分拣机器人每小时多分拣件快递，且每台型智能分拣机器人分拣了件快递的时间与每台型智能分拣机器人分拣件快递的时间相等． 求每台型、型智能分拣机器人每小时分别能分拣多少件快递． 该企业计划采购，两种型号的智能分拣机器人共台，要求型智能分拣机器人数量不超过型智能分拣机器人数量的倍，若每台型智能分拣机器人的价格为万元，每台型智能分拣机器人的价格为万元，实际采购时厂家给予优惠，每台型智能分拣机器人降价万元，型智能分拣机器人价格不变，则如何采购最省钱？最少费用是多少？ 27.本小题12分 如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． 根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是          ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． 因式分解：其中，则           ，           ．【拓展延伸】 若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出的值：          ． 若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式每个一次式的系数与常数项都为整数，直接写出所有正整数的值． 28.本小题13分 【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 在平行四边形矩形菱形正方形中，是“对直四边形”的是          ；填序号 如图，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是          ； 【操作探究】如图，在菱形中，，，于点，请在边上找一点，使得以点、、、组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是          ； 【拓展延伸】如图，在正方形中，，点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动保持，再分别过点、作、的垂线交于点，连接、试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，其中米，米，，现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是           第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新苏科版八年级下册全部内容。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列结论，你能肯定的是(    ) A. 今天是晴天，明天必然还是晴天 B. 三个连续正整数的积一定能被整除 C. 小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛他必然能获得一等奖 D. 两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的 【答案】B  【解析】略 2.我国正在推广“智慧农业”滴灌技术．某次实验中，研究人员从一批种苗中随机抽取了若干株，统计其高度．若想直观展示各高度区间的频数分布，最适合的统计图是(    ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 【答案】D  【解析】根据题干展示各区间频数分布的需求，结合各类统计图的作用即可选出正确答案． 【详解】解：不同统计图的作用不同：条形统计图便于体现各组数据的具体数量，方便比较差异； 折线统计图反映数据的变化趋势； 扇形统计图表示各部分占总体的百分比； 频数分布直方图可以直观展示数据在不同区间的频数分布情况， 本题要求直观展示各高度区间的频数分布，最适合的统计图是频数分布直方图． 3.下列分式中是最简分式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】根据“分子与分母没有公因式的分式是最简分式”，对各选项分别判断即可得到结果． 【详解】解：对选项A：分母无法分解因式，分子与没有公因式，不能约分，所以是最简分式． 对选项B：，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 对选项C：因为，所以，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 对选项D：因为，所以，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 4.下列二次根式中，能与合并的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 5.小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式中“”的部分，若该二项式能分解因式，则“”不可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】运用提公因式法和平方差公式，逐个代入选项判断二项式能否分解因式，即可得到答案． 【详解】解：当时，，可以分解，本选项不符合题意； 当时，，该多项式不能分解因式，本选项符合题意； 当时，，可以分解，本选项不符合题意； 当时，，可以分解，本选项不符合题意． 6.如图， 中，点为 的中点，连接 ， ，点为 的中点，连接 交 于，若 ，则 的长为     ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】取 中点，根据平行四边形的性质对边平行且相等及三角形中位线得出四边形 是平行四边形，利用平行四边形对角线平分且相等进而求出 的长． 【详解】解：取 中点为，连接 ，如图所示， 点为 的中点，点为 的中点，  是 的中位线，  ， ， 四边形 是平行四边形，  ， ，  ， 点为 的中点，  ，  ， ， 四边形 是平行四边形，  ，  ，  ． 7.对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为(    ) ； ，则； ； 对任意大于的正整数，有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C  【解析】本题考查了代数式求值、解分式方程、数字类规律题等知识点，找出相关规律是解题的关键． 将代入即可判断，解方程，即可判断，分别计算，，，，即可判断，同理分别求得，找到规律，进而即可判断． 【详解】解：， 当时，，故错误， ，即，解得：，经检验是原方程的解，故正确； ，，，， ，故正确； ，，， ，故错误， 综上，正确的有个． 故选：． 8.已知中，，，，点是的中点，将沿着直线翻折，使点翻折到点，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】利用直角三角形斜边中线定理求出长，结合翻折性质可知垂直平分，利用面积法求出到的距离，通过构造全等三角形和矩形求解的长． 【详解】解：如图，连接交直线于点， 过点作交直线于点， 为中点 由翻折性质可知，垂直平分 又 ，解得 在中， ， 点，在直线异侧，点，关于直线对称 点，在直线同侧 ， 四边形是平行四边形 又 四边形是矩形 ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得被开方数大于，据此列不等式求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 移项得， 系数化为得 10.若长方形的长为，宽为，则此长方形的面积为          ． 【答案】  【解析】略 11.分解因式：           ． 【答案】  【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式即可作答． 【详解】  ， 故答案为： ． 12.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如下表： 累计抛掷次数 盖面朝上次数 盖面朝上频率 下面有三个推断：通过上述试验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；第次试验的结果一定是“盖面朝上”；随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近其中正确的是          填序号 【答案】  【解析】通过上述试验的结果，发现盖面朝上的次数多于累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；试验是随机的，第次试验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近，故正确故答案为． 13.如图是根据甲、乙两城市一周的日平均气温绘制的折线统计图，根据统计图判断本周的日平均气温较稳定的城市是          填“甲”或“乙” 【答案】乙  【解析】略 14.如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为          ． 【答案】  【解析】略 15.如图，在梯形中，，，，，则的度数为          ． 【答案】  【解析】略 16.我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？若设这批椽的数量为株，则可列分式方程为          ． 【答案】  【解析】这批椽的数量为株，少了一株椽之后的运费为文这批椽的价钱为文，每株椽的价钱为文由题意可得． 17.实数、满足，则的最大值为          ． 【答案】  【解析】解：， ， ， ，， ，， ，， 的最大值为： ． 故答案为：． 首先化简，可得：；然后根据，，判断出、的取值范围，求出的最大值是多少即可． 此题主要考查了二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确化简二次根式的步骤：把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数或因式都开出来；化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数． 18.如图，在正方形中，，两线段将正方形分割成甲、乙、丙、丁四块如图，经重新拼接恰能围成一个大正方形如图若，点为的中点，则的长是          ． 【答案】  【解析】略 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分计算  ；  ． 【答案】(1)解：  ；   (2)解：  ．   【解析】 详细解答和分析过程见【答案】．  详细解答和分析过程见【答案】． 20.本小题分解分式方程： ； ． 【答案】(1)解：去分母得， 去括号得， 解得， 经检验，是原方程的解；   (2)解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的增根，故原方程无解．   【解析】 详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 21.本小题分先化简，再求值：，其中． 【答案】，．  【解析】解： ． 当时， 原式． 根据分式的运算法则化简求值即可． 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 22.本小题分 某商场去年月的销售总额共计万元，这个月的月销售额统计图如图所示统计信息不全，该商场家电部各月销售额占商场当月销售额的百分比的折线统计图如图所示． 请根据以上信息，补全条形统计图． 该商场家电部月份的月销售额的中位数是          万元． 该商场家电部下设，，，，五个卖区，如图所示的扇形统计图表示月份家电部各卖区销售额占月份家电部销售额的百分比情况． 卖区月份销售额在图扇形统计图中所占的圆心角的度数是          ； 根据各卖区的销售信息，请你为该商场的家电部提一条合理化建议． 【答案】(1)补全条形统计图如图：   (2)  (3)解：①18°；  ； ②D区销售额占比最低，可通过优化产品结构、开展主题促销活动提升销量（答案不唯一，合理即可）   【解析】  用总数减去前个月的销售额求出月份的销售额，即可补全条形统计图； 【详解】解：月份的销售额为 万元． 补全条形统计图见答案；   先分别求出每个月家电的销售额，再根据中位数的定义求解； 解：家电销售额月份： 万元；月份： 万元；月份： 万元；月份： 万元；月份： 万元， 将数据排列为：，，，，， 那么中位数是第个数，为 万元；  用 乘以占比即可； 根据扇形统计图分析即可． 23.本小题分 我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅形象．小明将关于地域特产的个形象云雾茶、豆丹、沙光鱼、东海水晶，制作成个玩具盲盒，每个盲盒中只有个形象玩具． 若从这个盲盒中随机抽取个，盲盒中玩具是“云雾茶”的事件是          填序号；必然事件    随机事件    不可能事件 若从这个盲盒中随机抽取个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“豆丹”和“东海水晶”的概率． 【答案】(1)②  (2)解：树状图如图所示： 由图可以看出一共有12种等可能结果， 其中抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的结果有2种． （抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”）． 答：抽取的盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海水晶”的概率是．   【解析】  直接根据随机事件的概念可得答案； 【详解】解：从这个盲盒中随机抽取个，盲盒中玩具是“云雾茶”的事件是：随机事件；   画树状图展示所有种等可能的结果，再找出抽取的盲盒中玩具是“豆丹”和“东海水晶”的结果数，然后根据概率公式求解． 24.本小题9分 如图，为锐角三角形，平分． 请用无刻度的直尺和圆规分别在，上取点，，使得，保留作图痕迹，不写作法 在的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)解:如图,点E,F即为所求作.   (2)证明:由(1)知DE//AF,AE//DF,四边形AEDF为平行四边形. 又AD平分BAC,BAD=CAD. DE//AF,EDA=DAC.EAD=EDA.AE=DE. ​​​​​​​四边形AEDF为菱形.   【解析】 略  略 25.本小题10分 【阅读理解】 爱思考的小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 计算：           ； 计算：； 若，求的值． 【答案】(1)​​​​​​​  (2)解：对原式中每一项分母有理化，可得， 原式   (3)解：， ， 两边平方得，即， 整理得 代入得．   【解析】  本题参照例题方法，利用分母有理化、裂项相消和整体代入思想解题． 利用平方差公式对原式进行分母有理化即可得到结果； 解：  先对每一项进行分母有理化，再通过裂项相消合并计算得到结果；  先将分母有理化，再变形得到的值，整体代入所求代数式计算即可． 26.本小题12分 郑州航空港经济综合实验区作为全国重要的航空物流枢纽，近年来大力推进智慧物流园区建设．某智能仓储企业为响应园区号召，计划购进，两种型号的智能分拣机器人，负责园区内快递的自动分拣工作．已知每台型智能分拣机器人比每台型智能分拣机器人每小时多分拣件快递，且每台型智能分拣机器人分拣了件快递的时间与每台型智能分拣机器人分拣件快递的时间相等． 求每台型、型智能分拣机器人每小时分别能分拣多少件快递． 该企业计划采购，两种型号的智能分拣机器人共台，要求型智能分拣机器人数量不超过型智能分拣机器人数量的倍，若每台型智能分拣机器人的价格为万元，每台型智能分拣机器人的价格为万元，实际采购时厂家给予优惠，每台型智能分拣机器人降价万元，型智能分拣机器人价格不变，则如何采购最省钱？最少费用是多少？ 【答案】(1)解：设每台型智能分拣机器人每小时能分拣件快递，则每台型智能分拣机器人每小时能分拣件快递． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每台型智能分拣机器人每小时能分拣1000件快递，每台型智能分拣机器人每小时能分拣800件快递．   (2)解：设购买型智能分拣机器人台，则购买型智能分拣机器人台． 由题意，得， ∴， 设总费用为，则． ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，最小，最小值为． 此时． 答：购买型智能分拣机器人5台、型智能分拣机器人15台时最省钱，最少费用是万元．   【解析】  设每台型智能分拣机器人每小时能分拣件快递，则每台型智能分拣机器人每小时能分拣件快递，根据每台型智能分拣机器人分拣了件快递的时间与每台型智能分拣机器人分拣件快递的时间相等列出分式方程求解即可得出答案．   设购买型智能分拣机器人台，则购买型智能分拣机器人台．根据型智能分拣机器人数量不超过型智能分拣机器人数量的倍，求出的取值范围，设总费用为，则，最后由一次函数的图象和性质求解即可． 27.本小题12分 如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． 根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是          ． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． 因式分解：其中，则           ，           ．【拓展延伸】 若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出的值：          ． 若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式每个一次式的系数与常数项都为整数，直接写出所有正整数的值． 【答案】(1)​​​​​​​  (2)1;4  (3)-27  (4)解：∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，4，11．   【解析】  分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； 解：由甲图可得，长方形的面积为， 由乙图可得，长方形的面积为， 故得到的等式是．  由得到，，即可求解； 解：， 又， ，， ，或，， ， ，．  设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； 解：可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为， 设另一个因式为， ， ，，， ，，．  设这两个一次式为和，则从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 28.本小题13分 【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 在平行四边形矩形菱形正方形中，是“对直四边形”的是          ；填序号 如图，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是          ； 【操作探究】如图，在菱形中，，，于点，请在边上找一点，使得以点、、、组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是          ； 【拓展延伸】如图，在正方形中，，点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动保持，再分别过点、作、的垂线交于点，连接、试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，其中米，米，，现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是           【答案】(1)②④  (2)  (3)​​​​​​​  (4)拓展延伸： 证明：如图，   延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度运动， ， 四边形是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为对直四边形；   (5)或4  【解析】  本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 矩形和正方形的对角是直角； 解：矩形和正方形的四个角都是直角， 矩形和正方形是“对直四边形”， 故答案为：   连接，根据勾股定理求得结果； 如图，   连接，， ， ， ， 故答案为：；  操作探究：连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； 操作探究：解：如图，   取的中点，连接， 则四边形是“对直四边形”，， 故答案为：；  拓展延伸：延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论；  实践应用：作于，作于，可得四边形是矩形，和是腰长相等的等腰直角三角形；另一种情形：作，同上可知：四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰直角三角形． 实践应用：解：如图，   作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， 如图，   作于，作于， 同上可知：，四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形，， 综上所述：等腰三角形的腰长为：或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：新苏科版八年级下册全部内容。 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列结论，你能肯定的是() A.今天是晴天，明天必然还是晴天 B.三个连续正整数的积一定能被6整除 C.小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛他必然能获得一等奖 D.两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的 2.我国正在推广“智慧农业”滴灌技术.某次实验中，研究人员从一批种苗中随机抽取了若干株，统计其 高度.若想直观展示各高度区间的频数分布，最适合的统计图是() A.条形统计图 B.折线统计图 C.扇形统计图 D.频数分布直方图 3.下列分式中是最简分式的是() A B告 c号 D 4.下列二次根式中，能与V3合并的是() A月 B.V⑧ c.√0.5 D.V12 5.小贤在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式a2一·b2中“口”的部分，若该二项式能分解因式，则 “口”不可能是() A.a B.-16 C.49 D.a2 第1页，共9页 6.如图，□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE,CE,点F为BE的中点，连接DF交CE于G,若GE=2, 则CG的长为() E E B A.4 B.5 C.6 D.8 7对任意非负数x,若记f()= x+11 给出下列说法，其中正确的个数为() ①f(0)=1: ②f()=2则x=3: ③f(2)+f(④++f(2223)+f(⑤+f(（目++f(2)=0: ④对任意大于3的正整数n,有f2)f3)…fm-1)fm)=元是 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点D是AB的中点，将△ABC沿着直线CD翻折，使 点B翻折到点E,则AE的长为() E D B A.1 B.1.2 C.1.4 D.√2 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9若一在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 10.若长方形的长为（√32+√⑧cm,宽为√⑧cm,则此长方形的面积为_cm2, 11.分解因式：xy2-6xy+9x=一· 12.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如下表： 第2页，共9页 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300 下面有三个推断：①通过上述试验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的：②第2000 次试验的结果一定是“盖面朝上”；③随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53.其中正确的 是 (填序号) 13.如图是根据甲、乙两城市一周的日平均气温绘制的折线统计图，根据统计图判断本周的日平均气温较稳 定的城市是 (填“甲”或“乙”) 4温度/℃ 甲 40 --.乙 10 0 周一周二周三周四周五周六周日一 14.如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形 ABCD,小宇测得这个菱形的对角线AC=8cm,BD=16cm,则这个菱形的面积为cm2. 15.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,∠A=90°，∠ABD=15°，∠C=60°，则∠BDC的度数为 B 16.我国古代著作四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽每株脚钱三文 足，无钱准与一株椽.”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文如果每株椽的运费是3文， 那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数 量为x株，则可列分式方程为一· 17.实数a、b满足Va2-2a+1+V25-10a+a2=10-1b+4-|b-2,则a2+b2的最大值为 第3页，共9页 18.如图，在正方形中，AE1BF,两线段将正方形ABCD分割成甲、乙、丙、丁四块（如图①），经重新拼 接恰能围成一个大正方形GH凹K(如图②)若AB=2√5，点E为BC的中点，则GH的长是一· G M N 丁 R 网丁 图① 图② 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题8分)计算 v=+√x2-Va: (2)(W2-1)+V8-(W5-2)(V5+2) 20.(本小题8分)解分式方程： 四÷+品=2： (四+品=品 21.(体小腰8分)先化简，再求值：(+)÷m其中m=-5. 第4页，共9页 22.(本小题8分) 某商场去年1-5月的销售总额共计600万元，这5个月的月销售额统计图如图1所示（统计信息不全）， 该商场家电部各月销售额占商场当月销售额的百分比的折线统计图如图2所示， 百分比 50% 月销售额/万元 40% 40% E A 180 180 30 30%30%30% 25% 25% 150 20% 120 115 90 95 20% 5%D B 6 10% 17% 0 28% 0 0% 1月2月3月4月5月月份 1月2月3月4月5月月份 图1 图2 图3 (1)请根据以上信息，补全条形统计图 (2)该商场家电部1一5月份的月销售额的中位数是万元. (3) 该商场家电部下设A,B,C,D,E五个卖区，如图3所示的扇形统计图表示5月份家电部各卖区销售额 占5月份家电部销售额的百分比情况. ①D卖区5月份销售额在图3扇形统计图中所占的圆心角的度数是； ②根据各卖区的销售信息，请你为该商场的家电部提一条合理化建议， 23.(本小题8分) 我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅P形象.小明将关于地域特产的4个 IP形象(A云雾茶、B豆丹、C沙光鱼、D东海水晶)，作成4个玩具盲盒，每个盲盒中只有1个IP形象 玩具. A云雾茶 B豆丹 C沙光鱼 D东海水晶 第5页，共9页 (1)若从这4个盲盒中随机抽取1个，盲盒中玩具是“A云雾茶”的事件是（填序号）：①必然事件② 随机事件③不可能事件 (2)若从这4个盲盒中随机抽取2个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B豆丹”和“D东海 水晶”的概率. 24.(本小题9分) 如图，△ABC为锐角三角形，AD平分LBAC. (1)请用无刻度的直尺和圆规分别在AB,AC上取点E,F,使得DE//AC,DF/AB.(保留作图痕迹，不写作 法) (2)在(1)的条件下，求证：四边形AEDF是菱形 第6页，共9页 25.(本小题10分) 【阅读理解】 爱思考的小明在解决问题：已知a=2,求2a2-8a+1的值.他是这样分析与解答的： 2-V3 a=2752+V0-阿=2-V3,a-2=-V3. ∴(a-2)2=3,即a2-4a+4=3. .a2-4a=-1. .2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 1 (①)计算：V2+=—: 1 1 (2)计算：V2本1+3+V2+4+W5+…+72026+V202 (3)若a=23求a2-4a+5的值. 26.(本小题12分) 郑州航空港经济综合实验区作为全国重要的航空物流枢纽，近年来大力推进智慧物流园区建设，某智能仓 储企业为响应园区号召，计划购进A,B两种型号的智能分拣机器人，负责园区内快递的自动分拣工作.已 知每台A型智能分拣机器人比每台B型智能分拣机器人每小时多分拣200件快递，且每台A型智能分拣机 器人分拣了3000件快递的时间与每台B型智能分拣机器人分拣2400件快递的时间相等. (1)求每台A型、B型智能分拣机器人每小时分别能分拣多少件快递. (2)该企业计划采购A,B两种型号的智能分拣机器人共20台，要求B型智能分拣机器人数量不超过A型 智能分拣机器人数量的3倍，若每台A型智能分拣机器人的价格为1.2万元，每台B型智能分拣机器人的 价格为0.8万元，实际采购时厂家给予优惠，每台A型智能分拣机器人降价0.1万元，B型智能分拣机器 人价格不变，则如何采购最省钱？最少费用是多少？ 第7页，共9页 27.(本小题12分) 如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为x+α，宽为x+b. -x+a- ←X x+b b 甲 乙 (1根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解， (2)因式分解：x2+5x+4=(x+a)(x+b),其中a<b,则a=,b=·【拓展延伸】 (3)若x2-6x+q可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为x+3,请写出q的值： (4)若2x2+kx-6可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直 接写出所有正整数k的值. 28.(本小题13分) 【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”· 【判断尝试】 Q 图2 图3 图4 备用图 (1)在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是；（填序号） 第8页，共9页 (2)如图1，四边形ABCD是对直四边形，若LA=90°，AB=V√3，AD=2,CD=1,则边BC的长是： (3)【操作探究】如图2，在菱形ABCD中，AB=6,LB=60°，AE1BC于点E,请在边CD上找一点F, 使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出EF的长是一： (④)【拓展延伸】如图3，在正方形ABCD中，AB=6,点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别 以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边BA、BC、CD方向运动（保持CG≤CD),再分别过 点E、F作AB、BC的垂线交于点H,连接AH、HG.试说明：四边形AHGD为对直四边形 (5)【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中AB=2米，BC=6米，∠B=∠C=90°， ∠D=45°现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形” 板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余，请直接写出分割后得到的等腰三角形 的腰长是一 第9页，共9页 2025-2026学年八年级下学期期末模拟试卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13. 乙  14.   15.   16.   17.   18.   19. 【小题】 解：  ； 【小题】 解：  ．   20. 【小题】 解：去分母得， 去括号得， 解得， 经检验，是原方程的解； 【小题】 解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的增根，故原方程无解．   21. ，．  22. 【小题】 补全条形统计图如图： 【小题】 【小题】 解：；  ； 区销售额占比最低，可通过优化产品结构、开展主题促销活动提升销量答案不唯一，合理即可   23. 【小题】 【小题】 解：树状图如图所示： 由图可以看出一共有种等可能结果， 其中抽取的盲盒中玩具是“豆丹”和“东海水晶”的结果有种． 抽取的盲盒中玩具是“豆丹”和“东海水晶”． 答：抽取的盲盒中玩具是“豆丹”和“东海水晶”的概率是．   24. 【小题】 解：如图，点，即为所求作． 【小题】 证明：由知，，四边形为平行四边形． 又平分，． ，．．． 四边形为菱形．   25. 【小题】 【小题】 解：对原式中每一项分母有理化，可得， 原式 【小题】 解：， ， 两边平方得，即， 整理得 代入得．   26. 【小题】 解：设每台型智能分拣机器人每小时能分拣件快递，则每台型智能分拣机器人每小时能分拣件快递． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每台型智能分拣机器人每小时能分拣件快递，每台型智能分拣机器人每小时能分拣件快递． 【小题】 解：设购买型智能分拣机器人台，则购买型智能分拣机器人台． 由题意，得， ， 设总费用为，则． ， 随的增大而增大． 当时，最小，最小值为． 此时． 答：购买型智能分拣机器人台、型智能分拣机器人台时最省钱，最少费用是万元．   27. 【小题】 【小题】 【小题】 【小题】 解：可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， 设这两个一次式为和， ， ，，， 、、、均为整数， 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，是正整数，符合题意； 当，，，时，此时，不是正整数，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为，，．   28. 【小题】 【小题】 【小题】 【小题】 拓展延伸： 证明：如图，   延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度运动， ， 四边形是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为对直四边形； 【小题】 或   【解析】 1. 略 2. 根据题干展示各区间频数分布的需求，结合各类统计图的作用即可选出正确答案． 【详解】解：不同统计图的作用不同：条形统计图便于体现各组数据的具体数量，方便比较差异； 折线统计图反映数据的变化趋势； 扇形统计图表示各部分占总体的百分比； 频数分布直方图可以直观展示数据在不同区间的频数分布情况， 本题要求直观展示各高度区间的频数分布，最适合的统计图是频数分布直方图． 3. 根据“分子与分母没有公因式的分式是最简分式”，对各选项分别判断即可得到结果． 【详解】解：对选项A：分母无法分解因式，分子与没有公因式，不能约分，所以是最简分式． 对选项B：，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 对选项C：因为，所以，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 对选项D：因为，所以，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 4. 略 5. 运用提公因式法和平方差公式，逐个代入选项判断二项式能否分解因式，即可得到答案． 【详解】解：当时，，可以分解，本选项不符合题意； 当时，，该多项式不能分解因式，本选项符合题意； 当时，，可以分解，本选项不符合题意； 当时，，可以分解，本选项不符合题意． 6. 取 中点，根据平行四边形的性质对边平行且相等及三角形中位线得出四边形 是平行四边形，利用平行四边形对角线平分且相等进而求出 的长． 【详解】解：取 中点为，连接 ，如图所示， 点为 的中点，点为 的中点，  是 的中位线，  ， ， 四边形 是平行四边形，  ， ，  ， 点为 的中点，  ，  ， ， 四边形 是平行四边形，  ，  ，  ． 7. 本题考查了代数式求值、解分式方程、数字类规律题等知识点，找出相关规律是解题的关键． 将代入即可判断，解方程，即可判断，分别计算，，，，即可判断，同理分别求得，找到规律，进而即可判断． 【详解】解：， 当时，，故错误， ，即，解得：，经检验是原方程的解，故正确； ，，，， ，故正确； ，，， ，故错误， 综上，正确的有个． 故选：． 8. 利用直角三角形斜边中线定理求出长，结合翻折性质可知垂直平分，利用面积法求出到的距离，通过构造全等三角形和矩形求解的长． 【详解】解：如图，连接交直线于点， 过点作交直线于点， 为中点 由翻折性质可知，垂直平分 又 ，解得 在中， ， 点，在直线异侧，点，关于直线对称 点，在直线同侧 ， 四边形是平行四边形 又 四边形是矩形 ． 9. 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得被开方数大于，据此列不等式求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 移项得， 系数化为得 10. 略 11. 先提取公因式，再利用完全平方公式即可作答． 【详解】  ， 故答案为： ． 12. 通过上述试验的结果，发现盖面朝上的次数多于累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；试验是随机的，第次试验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近，故正确故答案为． 13. 略 14. 略 15. 略 16. 这批椽的数量为株，少了一株椽之后的运费为文这批椽的价钱为文，每株椽的价钱为文由题意可得． 17. 解：， ， ， ，， ，， ，， 的最大值为： ． 故答案为：． 首先化简，可得：；然后根据，，判断出、的取值范围，求出的最大值是多少即可． 此题主要考查了二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确化简二次根式的步骤：把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数或因式都开出来；化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数． 18. 略 19.  详细解答和分析过程见【答案】．  详细解答和分析过程见【答案】． 20.  详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 21. 解： ． 当时， 原式． 根据分式的运算法则化简求值即可． 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 22.   用总数减去前个月的销售额求出月份的销售额，即可补全条形统计图； 【详解】解：月份的销售额为 万元． 补全条形统计图见答案；   先分别求出每个月家电的销售额，再根据中位数的定义求解； 解：家电销售额月份： 万元；月份： 万元；月份： 万元；月份： 万元；月份： 万元， 将数据排列为：，，，，， 那么中位数是第个数，为 万元；  用 乘以占比即可； 根据扇形统计图分析即可． 23.   直接根据随机事件的概念可得答案； 【详解】解：从这个盲盒中随机抽取个，盲盒中玩具是“云雾茶”的事件是：随机事件；   画树状图展示所有种等可能的结果，再找出抽取的盲盒中玩具是“豆丹”和“东海水晶”的结果数，然后根据概率公式求解． 24.  略  略 25.   本题参照例题方法，利用分母有理化、裂项相消和整体代入思想解题． 利用平方差公式对原式进行分母有理化即可得到结果； 解：  先对每一项进行分母有理化，再通过裂项相消合并计算得到结果；  先将分母有理化，再变形得到的值，整体代入所求代数式计算即可． 26.   设每台型智能分拣机器人每小时能分拣件快递，则每台型智能分拣机器人每小时能分拣件快递，根据每台型智能分拣机器人分拣了件快递的时间与每台型智能分拣机器人分拣件快递的时间相等列出分式方程求解即可得出答案．   设购买型智能分拣机器人台，则购买型智能分拣机器人台．根据型智能分拣机器人数量不超过型智能分拣机器人数量的倍，求出的取值范围，设总费用为，则，最后由一次函数的图象和性质求解即可． 27.   分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； 解：由甲图可得，长方形的面积为， 由乙图可得，长方形的面积为， 故得到的等式是．  由得到，，即可求解； 解：， 又， ，， ，或，， ， ，．  设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； 解：可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为， 设另一个因式为， ， ，，， ，，．  设这两个一次式为和，则从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 28.   本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 矩形和正方形的对角是直角； 解：矩形和正方形的四个角都是直角， 矩形和正方形是“对直四边形”， 故答案为：   连接，根据勾股定理求得结果； 如图，   连接，， ， ， ， 故答案为：；  操作探究：连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； 操作探究：解：如图，   取的中点，连接， 则四边形是“对直四边形”，， 故答案为：；  拓展延伸：延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论；  实践应用：作于，作于，可得四边形是矩形，和是腰长相等的等腰直角三角形；另一种情形：作，同上可知：四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰直角三角形． 实践应用：解：如图，   作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， 如图，   作于，作于， 同上可知：，四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形，， 综上所述：等腰三角形的腰长为：或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $