上海市南洋模范中学2025-2026学年高二下学期期末摸底考试数学试题

南洋模范中学高二期末摸底考试 数学 2026.6 班级                   姓名                   学号                   一、填空题 1．抛物线的准线方程为            ． 2．已知事件与事件互斥，且，，则                 ． 3．若圆柱的高为，底面积为，则这个圆柱的侧面积为                 ． 4．若，其中，则          ． 5．有个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有                  种不同安排方式． 6．某中学举办思维竞赛，现随机抽取名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），则学生的平均成绩为                  分． 7．如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为               ． 8．点，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为                 ． 9．已知曲线：，曲线：，若的顶点的坐标为，顶点，分别在曲线和上运动，则周长的最小值为                  ． 10．如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架（、、、按照逆时针排布），若，一个半径为的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是                 ． 11．已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程都有两个相等的实根．若，则满足条件的不同实数的个数为                      个． 12．已知，设，，其中是整数．若对一切，都是区间上的严格增函数，则的取值范围是              ． 二、选择题 13．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A．“恰好有一个白球”与“都是红球” B．“至多有一个白球”与“都是红球” C．“至多有一个白球”与“都是白球” D．“至多有一个白球”与“至多有一个红球” 14．某社区通过公益讲座宣传交通法规．为了解讲座效果，随机抽取位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为分．他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（ ） A．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分 B．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散 C．讲座后答卷得分的第百分位数为 D．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差 15．已知棱长均为的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（ ） A． B． C． D． 16．已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么（ ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 三、解答题 17．已知数列是首项为，公比为的等比数列． （1）求的值； （2）设数列的前项和为，求的最大值，并指出取最大值时的取值． 18．如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，． （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 19．义卖活动中，某班举行有奖射击，共有次机会，每次满分为（单位：环），成绩满分为． 从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于，不大于）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图． （1）求实数的值； （2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取人，再从这人中选取人送出鼓励奖，求这人中至少有人成绩在中的概率； （3）样本中有名学生的成绩（记为，，，…，）平均值为，标准差，若删除其中的和这两个数据，求剩余名学生成绩的平均值与方差． 20．椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点． （1）求椭圆的离心率； （2）若为直角三角形，求的面积； （3）若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 21．设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线（），则称是函数的“度点”． （1）判断点与点是否为函数的度点，不需要说明理由； （2）已知，．证明：点是的度点； （3）求函数的全体度点构成的集合． 学科网（北京）股份有限公司 $