山东枣庄市2025-2026学年高二下学期数学期末自编模拟卷3

**基本信息** 聚焦高二选择性必修统计概率与导数内容，以医学研究、环保研讨等真实情境设计问题，考查数据分析、逻辑推理与数学建模能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|线性回归、方差、导数切线|基础概念与运算结合，如第2题用最小二乘法预测| |多选题|3/18|独立性检验、组合计数|分层设问，如第9题结合临界值考查统计推断| |填空题|3/15|二项式系数、条件概率|逆向思维，如第12题由常数项求系数最大项| |解答题|5/77|独立性检验、分布列、导数应用|综合情境，如15题医学抽样考概率与检验，18题对比有放回与不放回抽样，体现数学建模|

山东省枣庄市2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版选择性必修第二册（第五章）、选择性必修第三册（全册） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如表所示，则（　　） 0 1 2 A． B． C． D． 2．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（     ） x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A．10 B．11 C．12 D．13 3．设一组样本数据的方差为4，则数据的方差为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 4．设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 5．的展开式中的系数为（     ） A． B． C．48 D．288 6．七名同学站成一排照毕业留念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（    ） A．240种 B．192种 C．120种 D．96种 7．定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．一个不透明的袋子中装有9个除颜色外均相同的小球，其中4个红球，3个绿球，2个蓝球．现进行如下操作：从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，并再向袋中加入一个相同颜色的小球．如此重复操作，则在第一次和第三次摸到红球的条件下第二次摸到绿球的概率为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．某中学为更好地开展素质教育，现对选修外出研学课程是否和性别有关进行调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的．若依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关，则调查的男生可能有（    ） 0.05 0.01 3.841 6.635 附： ，其中． A．150人 B．220人 C．300人 D．350人 10．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（    ） A．选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种 B．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种 C．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种 D．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种 11．已知随机事件A，B，C满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A．事件A，B相互独立 B． C．若，则 D．若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知展开式中的常数项是第五项，则系数最大项为第________项． 13．甲、乙两人各自从“跑步”“游泳”“跳绳”三种运动项目中随机选择一项进行锻炼（假设每个项目被选中的概率相等，且两人的选择相互独立）．记事件为“甲选择跑步”，事件为“甲、乙选择的项目不同”，则____． 14．已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解高中学生的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某中学的高中学生进行了随机抽样，得到列联表． 性别 患病情况 合计 感冒 不感冒 男 6 14 20 女 4 26 30 合计 10 40 50 (1)从样本男生中抽2人，求恰有1人感冒的概率； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为高中学生的体质健康与性别有关． 参考数据及公式：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16（15分）．在的二项展开式中，所有奇数项的二项式系数和为，所有项的系数和为，且． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的有理项． 17（15分）．已知函数． (1)若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求的单调递增区间； (2)若函数在上为增函数，求实数k的取值范围． 18（17分）．已知件产品中有件合格品和件次品，现从这件产品中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取件，设采用有放回的方式抽取的件产品中合格品数为，采用无放回的方式抽取的件产品中合格品数为． (1)求； (2)求的分布列及数学期望； (3)比较数学期望与的大小． 19（17分）．已知函数． (1)当时，求在区间内的最小值； (2)若函数，对于，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省枣庄市2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版选择性必修第二册（第五章）、选择性必修第三册（全册） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如表所示，则（　　） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得． 故选：A. 2．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（     ） x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】由题意可得：， 因经验回归方程经过样本中心点,故，解得， 所以经验回归方程为， 当时，． 故选：B. 3．设一组样本数据的方差为4，则数据的方差为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】因为的方差为，平均数, 所以的平均数: , 所以数据的方差为: , 故选：C. 4．设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导后代入求得切线的斜率，进而可求得切线的倾斜角. 【详解】由题意得，则， 即在点处的切线的斜率为， 设该处切线的倾斜角为，则，因为，所以. 故选：A. 5．的展开式中的系数为（     ） A． B． C．48 D．288 【答案】B 【详解】的展开式通项为：， 要得到的展开式中的系数，分两类讨论： ①取1乘的项：令，解得，对应系数为， ②取乘的项：令，解得，对应系数为， 将两类系数求和，得的总系数为. 故选：B. 6．七名同学站成一排照毕业留念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的排法有（    ） A．240种 B．192种 C．120种 D．96种 【答案】B 【分析】先确定甲站在正中间，然后分乙、丙都在甲的左手边和乙、丙都在甲的右手边计数，最后利用分类加法计数原理求排法总数. 【详解】由题知，当甲站在正中间，其左右各有3个位置， 若乙、丙两位同学站在一起且都在甲的左手边，则其余4个位置的人站法可按全排列计算，有种， 若乙、丙两位同学站在一起且都在甲的右手边，则其余4个位置的人站法可按全排列计算，有种， 由分类加法计数原理知，共有种排法. 故选：B. 7．定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造函数，利用已知、导数来研究函数的单调性，利用单调性解不等式. 【详解】 构造函数，则， 因为对任意都有，所以， 即在上是增函数，又，即， 即，又，所以，所以， 所以，即不等式的解集为：.故A，B，D错误. 故选：C. 8．一个不透明的袋子中装有9个除颜色外均相同的小球，其中4个红球，3个绿球，2个蓝球．现进行如下操作：从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，并再向袋中加入一个相同颜色的小球．如此重复操作，则在第一次和第三次摸到红球的条件下第二次摸到绿球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设事件A为第一次和第三次摸到红球，事件B为第二次摸到绿球，分别求解,P(A)，再结合条件概率公式计算. 【详解】设事件A：第一次和第三次摸到红球，事件B：第二次摸到绿球，可得： 第一次摸红球：初始9球，4红，概率，摸后加1红，总球变为10，红球5个； 第二次摸绿球：10球中3绿，概率，摸后加1绿，总球变为11，红球仍为5个； 第三次摸红球：11球中5红，概率； 所以 . 因为连续三次摸到红球的概率：； 三次摸球顺序为红，绿，红的概率：； 三次摸球顺序为红，蓝，红的概率：， 所以 , 故 . 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．某中学为更好地开展素质教育，现对选修外出研学课程是否和性别有关进行调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的．若依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关，则调查的男生可能有（    ） 0.05 0.01 3.841 6.635 附： ，其中． A．150人 B．220人 C．300人 D．350人 【答案】BC 【分析】为方便计算，可设男生和女生人数均为，列出列联表，求出，根据题意可知，据此可求出范围，从而得到答案. 【详解】设男生和女生人数均为，根据题意可得列联表如下： 男生 女生 合计 选修外出研学课程 不选修外出研学课程 合计 零假设为：选修外出研学课程与性别无关， 则， ∵依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关， ∴，解得， 则． 故选：BC． 10．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（    ） A．选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种 B．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种 C．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种 D．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种 【答案】AD 【分析】A选项只在女生5人中选取4人，直接列式求解；B选项男、女生选取各2人，则分别选取即可列式求解；C用间接法列式求解；D分情况讨论. 【详解】选取的4名学生都是女生的不同选法共有种，故A正确； 恰有2名女生的不同选法共有=100种，故B错误； 至少有1名女生的不同选法共有种，故C错误； 选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种，故D正确. 故选：AD. 11．已知随机事件A，B，C满足，，，，则下列说法正确的是（   ） A．事件A，B相互独立 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用条件概率公式，相互独立事件概率公式，并事件概率公式来进行求解即可. 【详解】利用概率加法公式： 由， 代入，，得： ， 又，所以算， 所以事件相互独立，故A正确； 根据条件概率公式计算：​， 则，故B错误； 由，且，得， 因为，所以，即 ，故C正确； 由可得：， 代入，，可得， 又因为，两式消元解得： ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知展开式中的常数项是第五项，则系数最大项为第________项． 【答案】9 【分析】先根据常数项是第5项，求出，然后求系数最大项只需要满足，解不等式即可求出结果. 【详解】展开式中的通项公式为，因为常数项是第五项，所以时，，则，所以， 则，即，又因为为正整数，则，所以系数最大项为第9项， 故答案为：9. 13．甲、乙两人各自从“跑步”“游泳”“跳绳”三种运动项目中随机选择一项进行锻炼（假设每个项目被选中的概率相等，且两人的选择相互独立）．记事件为“甲选择跑步”，事件为“甲、乙选择的项目不同”，则____． 【答案】 【详解】记事件=“甲选择跑步”，记事件=“甲、乙选择的项目不同”，甲从“跑步”“游泳”“跳绳”三种运动项目中随机选择一项有3种选择方法，乙同样从三种运动项目中随机选择一项有3种选择方法， 根据分步乘法计数原理，甲、乙选择运动项目的总情况数有种，甲、乙选择项目不同的情况数为种，由古典型概率公式有， 事件=“甲选择跑步且甲乙选择项目不同”，共有2种情况，由古典概型有，由条件概率公式得，. 故答案为： 14．已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用导数结合函数单调求出最值，然后解不等式即可． 【详解】若使得， 则，， 时，，则在上单调递增， ， 又在单调递增，所以， ，解得，则实数a的取值范围为． 故答案为： . 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为了解高中学生的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某中学的高中学生进行了随机抽样，得到列联表． 性别 患病情况 合计 感冒 不感冒 男 6 14 20 女 4 26 30 合计 10 40 50 (1)从样本男生中抽2人，求恰有1人感冒的概率； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为高中学生的体质健康与性别有关． 参考数据及公式：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）由题可知，样本中男生共20人，其中感冒6人，不感冒14人. 从20名男生中随机抽取2人，总样本点数为； 抽取的人中恰有1人感冒包含的样本点数为. 根据古典概型概率式可得. （2）提出零假设：高中学生的体质健康与性别无关. 代入卡方统计量公式得 小概率值对应的临界值为. 由于，没有充分证据拒绝零假设. 因此依据小概率值的独立性检验，不能认为高中学生体质健康与性别有关. 16（15分）．在的二项展开式中，所有奇数项的二项式系数和为，所有项的系数和为，且． (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中的有理项． 【分析】（1）应用二项式系数和性质列式计算得出，再应用二项式系数最大的性质计算求解； （2）利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】（1），令，得，由，得，解得． 所以展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项． ，． （2）二项式的展开式的通项公式为， 当时，为有理项， 当时，，此时有理项为， 当时，，此时有理项为， 当时，，此时有理项为， 所以有理项为、、. 17（17分）．已知函数． (1)若函数的图象在点处的切线与直线垂直，求的单调递增区间； (2)若函数在上为增函数，求实数k的取值范围． 【分析】（1）求导，根据直线垂直得，即可得，进而根据导数正负即可确定函数的单调性， （2）根据导数恒为正，可将问题转化为在区间上恒成立，构造函数，利用基本不等式即可求解最值. 【详解】（1）的定义域为，， 由题意可知，解得， 所以． 由，得或， 所以函数的单调递增区间是，； （2）函数的定义域为，要使函数在定义域内为增函数， 只需在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令， ， 则，当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 18（17分）．已知件产品中有件合格品和件次品，现从这件产品中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取件，设采用有放回的方式抽取的件产品中合格品数为，采用无放回的方式抽取的件产品中合格品数为． (1)求； (2)求的分布列及数学期望； (3)比较数学期望与的大小． 【分析】（1）根据二项分布结合对立事件的概率运算求解； （2）根据题意结合超几何分布求分布列和期望； （3）根据二项分布求期望，进而比较大小. 【详解】（1）因为采用有放回的方式抽取，可知每次取到合格品的概率， 由题意可知：， 所以. （2）由题意可知：的可能取值为，则有： ， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望. （3）由（1）可知：的数学期望，所以. 19（17分）．已知函数． (1)当时，求在区间内的最小值； (2)若函数，对于，求的取值范围． 【分析】（1）求导得，令，求导可得在区间内恒成立，从而可得的单调性，可求最小值． （2）利用导数，求得，求得，由题意可得，求解即可. 【详解】（1）当时，，求导得， 令，则在上恒成立，则， 则在区间内恒成立． 则当时，单调递减；当时，单调递增， 故． （2）由，可得， 则当时，，单调递增； 当时，单调递减，则， 结合（1）可得，由题得， 即，可得， 则的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $