山东滨州市邹平市第一中学2025-2026学年高二下学期6月期末检测数学试题

**基本信息** 聚焦知识综合与能力梯度，通过函数图像折叠、双曲线轨迹方程等创新设计，考查数学眼光、思维与语言，适配高二期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5题|概率期望、向量几何、函数与立体几何、双曲线综合、导数应用|17题函数图像折叠结合二面角，体现空间观念；18题双曲线轨迹方程探究，发展模型观念|

邹平一中高二期末检测 数学 2026.6 一、单选题 1.设集合0<<4xe9,g=到x≤5，则心8- A.s 1 B.{5<4 C.1,2,3} D.{x0<x≤5} 2.已知向量a=(（←3,1)，b=1,3),c=2a+kb.若a∥c,则k= A.-1 B.0 C.1 D.2 3.抛物线x2=10y的焦点坐标是 B.( D.(0,5) 4.已知数列{an}满足：4=1，a2=1,a=a-1+4-2(n≥3，n∈N),若将数列{an}的每 一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前段圆弧所在正方形的面积 之和为S,第n段圆弧与其所在的正方形所围成的扇形面积为Cm现有如 下命题： P1:S+=a+anan:p2:a+ag+...+an-i=an-1; p3:4+a+43+…+a.=a+2-1;P4:4(cn-C-1)=πa+1a-2 则下列选项为真命题的是 A.PAP2 B.pV-P3 C.P2∧P3 D.P2VPa 5.己知正八棱锥P-ABCDEFGH,设PA=a,PB=b,PC=c,则PD= A.a-(1+√2)b+(1+√2)c B.(1+2)a-b+1+V2)c c.a-(2+V2)b+(2+2)d D.(2+2)a-i+(2+V2)c 6.设4,4，a是1,2,3.·n的一个排列，把排在a的左边且比a:小的数的个数称为a （i=1,2,…n)的顺序数，如在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1,3的顺 序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2,7的顺序数为3,5的顺序数为3 的不同排列的种数为 A.48 B.120 C.144 D.192 数学试题第1页共4页 7.直线xsin6+√3y+2=0的倾斜角的取值范围是 8。已知及是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠RP明=背若椭 圆的离心率为e,双曲线的离心率为e2,则 e 3e +1'e+3 的最小值是 A.2+5 B.1+V5 C.23 D.43 3 3 3 3 二、多选题 9.己知a>b>0,且a+3b=1,则 A.b的最大值为立 1 B.b的最小值为2 1 c.1+2的最小值为16 a b D.+156的最小值为】 10,已刻双唐线手芳-b:0右在点为尽，过天且垂直于：抽的直线与风自线交于A B两点，点F(-4,O),若△ABF为锐角三角形，则下列说法正确的是 A.双曲线过点(-2,0) B.直线3x-y=0与双曲线有两个公共点 C.双曲线的一条渐近线y=)x的斜率小于3V3 b 2 1+13 D.双曲线的离心率取值范围为 2 11.已知函数f(x)=a(a>0且a≠1)，若f(-3)<f(4),则使不等式f(x-2)≤f(x+1) 成立的解可能是 A.-1 B.1 C.2 D.3 三、填空题 12.设x1-)=ax+a2x2+ax23+a4x+asx3+ax+ax+x,则为 a+3a3+7a3+15a4+31a+63a+127a,+255ag=_ 13.设向量ā，6的夹角为5，同=L,6=(13),则(a+b列五=一 14.已知点A是椭圆若+若=1a>b>0)止一点，F为椭圆的一个焦点，且AF1x轴， 2 AF=c(c为椭圆的半焦距)，则椭圆的离心率是 数学试题第2页共4页 四、解答题 15.己知盒子中共有N个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有(n>1) 个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出， (1)求第二次取出的球是黄球的概率. (2)若N=20,n=5,且红球和黑球的个数比为1：2，求黄球最先被全部取出（取出最后一个 黄球时盒子里还有红球和黑球)的概率. (3)记随机变量X为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，E()是X的数学期望，证 明：E(X)= n(N+1) n+1 16,如图，已知Q4=1o=201与0的夹角为，点C是 △ABO的外接圆优弧AB上的一个动点（含端点A,B),记0A与0C 的夹角为0， (1)求△ABO外接圆的直径2R: (2)试将OC表示为0的函数： (3)设点M满足AM=AB,求OC.OM的最大值. 31 17.己知函数f(x)=V3sin(ox+p)(o>0,0<p<)的部分图象如图1所示，A,B分别为 因象们最高点和最低点，过4〔子、5作x轴的垂线，交x轴于点心，点©兮9为该部 分图象与x轴的交点 (1)求f(x)的解析式： ②)将绘有函数f(x)部分图象的纸片沿x轴折成的二面角，如图2所示 (i)求直线AB与平面OBC所成的角的正弦值； ()求以线段AB的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积 注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂 直于底面的直径被截下的线段长叫球缺的高.设球的半径为R,球缺的高为h,则球缺的体 积公式为”=}(3R-) 图1 图2 图3 数学试题第3页共4页 18设4。B是双曲线：若芳-aQ60)上的两点、直线1与双面线日的交点为 P,Q两点 (1)若双曲线H的离心率是√，且点（√2，√2）在双曲线H上，求双曲线H的方程： ②设小、B分别是双面线压若是-1a0b>0)的左、右顶点，直线1平行于)尊。求 直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程： (3)设双曲线H:x2-y2=1,其中A(√2,1)，B(√2,1)，点M是抛物线C:x2=2y上不同 于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P,直线MB与双曲线H相交于 另一点O,问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理 由. 19.己知函数f)=x-E(m,n∈R). nx+m (1)若m=0,n=1,判断函数f(x)的单调性： ②若n且对Vx>0,不等式+间f分+m恒成立，求实数m的取值范围。 数学试题第4页共4页邹平一中高二期末检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A C A AD ACD 题号 11 答案 BCD 12.-2 13.5 14.5-1 2 15四发 (2是 (1)记“第二次取出的球是黄球”为事件A, 将个黄球的安排情况作为样本空间，则样本点总数为Cx, 事件A表示第二次取出的球是黄球，其他-1个黄球在剩余N-1个位置中随机安排，则事 件A包含的样本点数为CC, (N-1) 故P(A)= CC_（n-1(W-ny n N! N n(N-m！ (2)设红球x个，由题意得。x一=1 20-5-x2,解得x=5. 所以红球5个，黑球有10个. 记“最后一次取出球是红球”为事件B,“最后一次取出球是黑球”为事件C, 显然事件B,C互斥，记“黄球最先被全部取出'为事件D,则P(D)=P(BD)+P(CD) 当事件B发生时，只需考虑取出所有黄球和黑球时最后取出的是黑球， 则P(BD)=P(B)P(DB)=20×S言 5.101 当事件C发生时，只需考虑取出所有黄球和红球时最后取出的是红球， 则rcD=re)-88- 商以0=Ps0-rC0=片 (3)由题知随机变量x的取值为n,(n+1),…,N, -1 则随机变量X的分布列为P(X=k)=C:,k=n,n+1,,N 答案第1页，共10页 地度r价型0-孕容总c n!(k-n)!C CCC (N+1)！ n(N+1) C% (n+1)(N-n1n+1. n!(N-n)! 所以E(x)）=nN+ n+1 16.(12 cco5mo.0 3 3)1+2W27 (1)在△A0B中，由余弦定理AB2=OA2+OB2-2OA.OB cos.∠AOB =1+4-2×1×2× 所以AB=√7， AB √72W21 由正弦定理可得2R sin∠AOBV33· (2)连接4C,由题意可知0∈02π 13 √21 在△A0C中，由正弦定理，OA sin ZOC4-2R,则sim∠0cA-O41 2R2W2114, 3 且∠oC4=∠0aA为锐角，则cos∠0CA=V-im2∠0cA-57 14 可得sin∠OAC=sin(∠OCA+8)=sin∠DCAcos0+cos∠DCAsin0 s② v -c0S0+ -sin0, 14 14 由正弦定理10C =2R, sin∠OAC 314cos+5V5、 可得oC=2Rsim∠04c=2y2V2i、 14 sine 所以0C表示为9的函数为10cs9+55如8,0E[0.2 3 ”3 答案第2页，共10页 B (3)设OC=xOA+yOB,其中x,y∈R 由题意可利oa0亚网网∠4081k2(-1, 则a1.oc=x0i+a1.oi=x-y=网o∠A0c=dcos8, osoc-voi+a1.a5-+4n-o网occs4oc-20coro -y阿aar号-不8n0-e. x-y=oc.cose -+4v=pc(50-cs0)解得 又M-号48，所以0M-0A+-o1+-oi+o丽-0A)-01+}o丽， 可得ocow-居oi+号o5joi-o 子o+居+jo1.o+o网-+2 〔5网，29m网]-k5a+oweo网 m55mo 6m0-caso055n0÷3ceo,其中0sg 构建f(0)=(V3sin6+cos0)(5V3sin6+3cos0) =15sin2 0+8v3sin0 cos 0+3cos20 =3+12sin20+8W5sin0co80=3+12x1-c0s20+4W5in20 2 答案第3页，共10页 =9+45sn20-6cos20=9r22ym20-V2co (7 7 0s28 =9+2W21sin(280-p),其中sinp= ，c0sp=27 √21 2ye0》 当20-9=至即6-牙+号时，f@)取到最大值为9+2， 42 所以+号号/@的录人值为o+2团1：2 1 9 所以oc0M的最大值为1+22回 9 M 6 ②3店：m 26 32 (1)由图可得， 周期7=4，所以0=2π-卫 T21 由人5，得居+p1,所以-号+p受42(e2, 32 2 5π 新以p=汇+2机k∈Z,因为0<p<元，所以当k=0时， 6 所议-n+】 (2)(i)法一 数图O.设A在平面08C上的射影为H,连接、4，则<H-背i-5,AH-》 2 在平面OBC上过H作x轴的平行线l,过点B作BD1I交I于D,交x轴于G,则HD=2, n-9,班-D+0-要，a=m迹-店， 因为A在平面OBC上的射影为H,所以AB在平面OBC上的射影为BH,故AB和平面OBC所 成角为∠ABH, 3 im∠ABH=:.2-3,所以A8和平面0BC所成角的正弦值为3E AB 13 26 26 答案第4页，共10页 ① ② 法二 如图，以OC的方向为y轴的正方向，在平面0BC内过O且垂直y轴的直线为x轴，过O且垂 直平面0BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图②， 设A在r演08c上的翻影为五，月<H=号m及AH=号 523 A 232 m5.3o). 8a=33 平面0BC的法向量为元=(0,0,1) 设直线和平面0BC所成角为O,则sin6 BA 2313 BA11326 (i)法一 由图①，设HB与x轴相交于点0，如图国所示，由4H/BD,得9=4-！ OD BD 2' 0-G=号则40=40，即0，与0重合，即，0，B三点共线 3 -HB 取线钱B的点，则0防n-名地，得沿- 1 0C1 HB 2'402,即 3 OC OF AO-HO 则AHI/FC,且C=4H=5,又AH1r轴，故rC⊥x轴 2 4 设线段48的中点为8，连点F,则”∥4，且歌-4诅又A1平面OBC,则5」 平面OBC EC=EF2+FC 2 ,则点C在球上，且球被平面OBC所截的图形是以 点F为圆心、 3为半径的圆同理可得， 答案第5页，共10页 球被平面OAC所截的图形也是半径为3的圆. 所以球与二面角所围成的几何体如图④所示不妨设其体积为V，则V=V球-2球缺 因为8F}得球缺的高h=5；,故 24 :--引59别 163-27元， 64 D B ③ ④ 法二 如图，以OC的方向为y轴的正方向，在平面0BC内过O且垂直y轴的直线为x轴，过O且垂 直平面0BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图⑤所示 设线段AB的中点为E,A在平面0BC上的射影为H,则∠AA'H=亚， H=9M 2 4’34 8到平眉的距离为子 以E为球心，半径为的球被半平面0BC所截的图形为圆，不妨设其半径为？，圆心为F, 所以所截的圆恰与y轴相切，同理可得，球被平面OAC所截的图形也是半径为三 4 A 的圆。 所以球与二面角所围成的几何体如图④所示不妨设体积为V,则'='球一2V缺 因为8即-子得球缺的商5}，枚 24 答案第6页，共10页 wo版分-9誓o8 4 27 32) 2 石，故V=装-2铁=32元 A B ⑤ 18.x2罗=1②kg-,三+卡=1，w≠06)直线P恒过定点为0，- 后1 m「a2=1 (1)依思意e=-5,解得{ a =2所以双曲线方程为x2-号=1： c2=a2+b2 (2)设P(x1,y)(1>a或x<-a),则2(，-4)，M(x,y),A(-a,0),B(a,0), 所。 则知中a如。 答荟-1即 B(x) a b2(x-a) 所以k和ke -2 b2, x-a -a2 M=(x+a,y),AP=(a), 由A,M,P三点共线得：(：+ay=1c+a): 又BM-(x-a,y),B0=(x-a,-片)， 由B,M,Q三点共线得：(：-a)y=-hc-a), 答案第7页，共10页 261, 生 .aav 0-1.即a沙-d=,则后+若=1，(w*0, ·直线AP与直线82的交点M的轨迹的方程为号+发=1，w≠0： (3)设M(xoyo)(≠±V2),P(cp,p),(gyg)则x号=2% 直线42：52(e+回列+1，即，5+ 2 2 点线0：=5(-间1，即生2 2 学-小k心 -，52 所以七=-2x,=2,5+2 4-阿列，则+22-2 (-回-4'即2+2 4-(-2 (+阿42t2 同理。=2，号+2 (,+2)-4 由对称性知，若过定点，则定点在y轴上 取M(0,0),可得P(V2,-1),Q(-√2，-1，则直线P0:y=-1,过点(0，-1). 下证明直线PQ恒过定点为(0，-1) 由+。42 a度2*2+ 1。昭+2列得=。， 所以直线PQ恒过定点为(0，-1). 答案第8页，共10页 19.④f)在@+)上单调递增Q②(-+) （山解：当m=01=1时，=品，其定义坡为0+. 可得f')= -10x2-2x0mx-0-x-2hx+1 x4 x3 令8的=x-2血x+1(x>0),则g)=1-2=x=2 由8'(x)<0,可得0<x<2,由8'(x)>0,可得x>2, 所以g(x)的极小值为g(2)=3-2n2>0, 所以g(x)>0,即f'(x)>0,所以f(x)在(0，+)上单调递增 （2)解：当n=时，可得了6血- 2 2+m’ 2 血2++m,可得n-x分m, 2 即对次>0，m>血x-x-1恒成立， 设6-子1，则-1-x1n型 x2 设p=1-血x-2,则p)=--3x2<0,>0, 所以x)在(0，+o)上单调递减， 又因为I)=0,所以x∈(0,1)时，(x)>0,即(x)>0: 当x∈L,+o)时，(x)<0,即(x)<0, 所以h(x)在(0,1)上单调递增，在Q,+w)上单调递减， 答案第9页，共10页 所以()的极大值，也是最大值，为0子1= 2 所以>子即实数m的取植范国为()。 3 答案第10页，共10页 邹平一中高二期末检测 数 学 2026.6 一、单选题 1．设集合A=，B=，则 A． B． C． D． 2．已知向量.若，则 A． B．0 C．1 D．2 3．抛物线的焦点坐标是 A． B． C． D． 4．已知数列满足：，，，若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n段圆弧所在正方形的面积之和为，第n段圆弧与其所在的正方形所围成的扇形面积为.现有如下命题： p1：；：； ：；：. 则下列选项为真命题的是 A． B． C． D． 5．已知正八棱锥，设，则 A． B． C． D． 6．设是，，．．．的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为，，的顺序数，如在排列，，，，，中，的顺序数为，的顺序数为，则在至这个数的排列中，的顺序数为，的顺序数为，的顺序数为的不同排列的种数为 A． B． C． D． 7．直线的倾斜角的取值范围是 A．B．C． D． 8．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是 A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，且，则 A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最小值为 10．已知双曲线右焦点为，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，点，若为锐角三角形，则下列说法正确的是 A．双曲线过点 B．直线与双曲线有两个公共点 C．双曲线的一条渐近线的斜率小于 D．双曲线的离心率取值范围为 11．已知函数且），若，则使不等式成立的解可能是 A． B．1 C． D．3 三、填空题 12．设，则为_______. 13．设向量，的夹角为，，，则______． 14．已知点是椭圆上一点，为椭圆的一个焦点，且轴，（为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是__________． 四、解答题 15．已知盒子中共有个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． (1)求第二次取出的球是黄球的概率． (2)若，且红球和黑球的个数比为，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． (3)记随机变量为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：． 16．如图，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为． (1)求外接圆的直径； (2)试将表示为的函数； (3)设点满足，求的最大值． 17．已知函数的部分图象如图1所示， 分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点. (1)求的解析式； (2)将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示. （i）求直线与平面所成的角的正弦值； （ii）求以线段的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积. 注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直径被截下的线段长叫球缺的高.设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积公式为. 18．设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点． (1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程； (2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程； (3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由． 19．已知函数. (1)若，，判断函数的单调性； (2)若，且对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 答案第4页，共5页 数学试题 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邹平一中高二期末检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A D A C C A AD ACD 题号 11 答案 BCD 12．－2 13．5 14． 15．(1) (2) （1）记“第二次取出的球是黄球”为事件， 将个黄球的安排情况作为样本空间，则样本点总数为， 事件表示第二次取出的球是黄球，其他个黄球在剩余个位置中随机安排，则事件包含的样本点数为， 故． （2）设红球个，由题意得，解得． 所以红球5个，黑球有10个． 记“最后一次取出球是红球”为事件，“最后一次取出球是黑球”为事件， 显然事件互斥，记“黄球最先被全部取出”为事件，则． 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和黑球时最后取出的是黑球， 则． 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和红球时最后取出的是红球， 则． 所以． (3)由题知随机变量的取值为， 则随机变量的分布列为 所以随机变量的期望 ． 所以． 16．(1) (2) (3) （1）在中，由余弦定理 ， 所以， 由正弦定理可得. （2）连接，由题意可知， 在中，由正弦定理，则， 且为锐角，则， 可得 ， 由正弦定理， 可得， 所以表示为的函数为. （3）设，其中， 由题意可得， 则， ， 即，解得， 又，所以， 可得 ，其中， 构建 ，其中， 当，即时，取到最大值为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 17．(1) (2)（i）（ii） （1）由图可得，，周期，所以， 由，得，所以， 所以，因为，所以当时，， 所以； （2）（i）法一 如图①，设在平面上的射影为，连接、，则，，. 在平面上过作轴的平行线，过点作交于，交轴于，则，，，， 因为在平面上的射影为，所以在平面上的射影为，故和平面所成角为， ，所以和平面所成角的正弦值为. 法二 如图，以的方向为轴的正方向，在平面内过且垂直轴的直线为轴，过且垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图②， 设在平面上的射影为，则，，，，，， 平面的法向量为 设直线和平面所成角为，则 （ii）法一 由图①，设与轴相交于点，如图③所示，由，得，，则，即与重合，即，，三点共线 取线段的中点，则，得，，即，则，且，又轴，故轴 设线段的中点为，连，则，且.又平面，则平面 ，则点在球上，且球被平面所截的图形是以点为圆心、为半径的圆.同理可得， 球被平面所截的图形也是半径为的圆. 所以球与二面角所围成的几何体如图④所示.不妨设其体积为，则 因为，得球缺的高，故，，故. 法二 如图，以的方向为轴的正方向，在平面内过且垂直轴的直线为轴，过且垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图⑤所示 设线段的中点为，在平面上的射影为，则，，，，，，，到平面的距离为 以为球心，半径为的球被半平面所截的图形为圆，不妨设其半径为，圆心为，则，则， 即，所以所截的圆恰与轴相切，同理可得，球被平面所截的图形也是半径为的圆. 所以球与二面角所围成的几何体如图④所示.不妨设体积为，则 因为，得球缺的高，故 ，故. 18．(1)(2)，，(3)直线PQ恒过定点为． （1）依题意，解得，所以双曲线方程为； （2）设（或），则，，，， 则，，所以， 又，即， 所以， 则，， 由，，三点共线得：； 又，， 由，，三点共线得：， ，， ， ，即，则，， 直线与直线的交点的轨迹的方程为，； （3）设，，则， 直线：，即； 直线：，即． 由得， 所以，即，则， 同理，， 由对称性知，若过定点，则定点在轴上． 取，可得，，则直线PQ：，过点． 下证明直线恒过定点为． 由且得， 所以直线恒过定点为． 19．(1)在上单调递增 (2) （1）解：当时，，其定义域为， 可得， 令，则， 由，可得，由，可得， 所以的极小值为， 所以，即，所以在上单调递增. （2）解：当时，可得， 由，可得， 即对，恒成立， 设，则， 设，则， 所以在上单调递减， 又因为，所以时，，即； 当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值，也是最大值，为， 所以，即实数m的取值范围为. 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $