精品解析：浙江省温州市温州实验中学2025-2026学年九年级下学期中考前模拟数学试题

解题策略研究 数学试卷 2026.06 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项是正确的，不选、多选、错选．均不给分．） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，数形结合，直观得到选项中各数与原点距离，从而确定答案，掌握数轴上表示有理数的方法是解决问题的关键． 【详解】解：在数轴上表示选项中各数，如图所示： 表示1的点离原点距离最近， 故选：C． 2. 北宋王安石的一首诗《梅花》中的诗句“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来”若梅花的花粉直径约为0.000036米，则数据0.000036用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题. 【详解】解：. 3. 一个不透明的袋子里装有个红球和6个白球，这些球只有颜色不同，若从袋中随机摸出一个球是红球的概率为．则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式列出关于的方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：∵袋子中共有个球，每个球被摸到的可能性相等，摸出红球的情况有种，且摸出红球的概率为， ∴根据概率公式可得， 整理得，， 解得，， 经检验，当时，原方程有解， ∴． 4. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式性质推导得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴当时，，，； 当时，，不一定大于0，； 当时，，，； ∴A、B、C不一定正确，不符合题意，D选项正确． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若，，且，则线段的长度为（　 　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质计算得到答案．掌握位似图形是相似图形以及相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ，， ，， 与的相似比为， ， ， ， 故选：B． 6. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，则，过圆心点， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出是解决问题的关键． 7. “九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】解：由两条对角线上的数字之和相等，可得， ∴. 8. 如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，则形槽的深可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，得出平分且为中点，从而求出的长和的度数，最后在中利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：，为形槽的深，即， 为等腰三角形，为底边上的高 ， ，， 在中，， ， ． 9. 如图，点在反比例函数的图象上，将直线向上平移个单位长度后，与反比例函数交于点．若点纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点坐标求出反比例函数的解析式为，进而求出，利用待定系数法求出直线解析式为，根据平移规律得出平移后的直线解析式为，把代入，求出的值即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图象上，点纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵将直线向上平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线与反比例函数交于点，， ∴， ∴． 10. 如图1所示，把分割成四块（三个四边形和一个直角三角形），通过旋转和平移可拼成如图2所示的正方形．若已知，且，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出正方形的边长为4，及，，再根据图形旋转的性质求得，根据勾股定理可求得，即可根据题意得到答案． 【详解】解：由题意知， ， ， ，， 由图形旋转的性质可知， ， ， ， 又根据图形旋转的性质可知，， ，即， 由平移的性质知， ． 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故答案为：． 12. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 14. 用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到并解关于r的方程即可． 【详解】设这个圆锥的底面圆半径为r， 根据题意得2πr=， 解得r=1， 所以这个圆锥的底面圆半径为1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 15. 如图，正方形中，，点在以为直径的圆上，连接，交于，，当经过圆心时，线段的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质及圆的性质得出，利用勾股定理求出，，根据得出，根据相似三角形的性质得出，进而求出的值即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，，， ∵点在以为直径的圆上，经过圆心，交于， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 16. 如图，在矩形中，为对角线，于点，交于点，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得到，设，勾股定理得到，将的最大值转化为二次函数求最值即可. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，为. 三、解答题（本题有8小题．共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 19. 将两个全等的直角三角形，拼成如图1所示的图形，其中．将 沿着线段 的方向平移到图2位置，连接，． （1）求证：； （2）若 ，，求 平移的距离． 【答案】（1）证明： （2）平移的距离为6 【解析】 【分析】（1）利用同角的余角相等和全等三角形的性质推导，从而得证； （2）利用三角形内角和推导，从而得到，继而证明为等边三角形，结合即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ，． ， 为等边三角形， ， ，即平移的距离为6． 20. 某校开展“消防安全知识竞赛”活动，每个学生都参与了答题．为了解学生对消防安全知识的掌握情况．从全校学生的答题成绩中随机抽取了50名学生的成绩（成绩为百分制，用整数表示），并将其分成如下四组：第一组，第二组，第三组，第四组．下面给出了部分统计信息： 答题成绩在第三组的人数统计表 成绩（分） 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 0 1 1 1 1 2 4 5 5 0 抽取的学生答题成绩频数分布直方图 根据以上信息解决下列问题： （1）抽取的50名学生答题成绩的中位数落在第 组，是 分； （2）请估计全校500名学生中答题成绩不低于85分的人数． 【答案】（1）三； （2）310名 【解析】 【分析】（1）根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数； （2）由总人数乘以不低于85分的人数百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵50名学生的中位数为第25个，第26个数据的平均数，且， ∴中位数在第三组， 由表格可得，第25个，第26个为86和87， ∴中位数为； 【小问2详解】 解：由题意得，（名）， 答：全校大约有310名学生答题成绩不低于85分． 21. 【阅读材料】 定义：如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“和谐数”． 注： 举例①：四位数1538． 因为，所以1538是“和谐数”． 举例②：四位数2637． 因为，所以2637是“和谐数”． （1）【类比推理】请判断四位数3846是否为“和谐数”，并说明理由； （2）【探究性质】小明经观察发现“和谐数”1538中，；“和谐数”2637中，．于是猜想：对于任意一个“和谐数”，都有．请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】（1）是，理由如下： 是“和谐数” （2）猜想正确，理由如下： ，， ， ， 由可得， 因此是的倍数。 又因为， 是9的倍数 ，且 【解析】 【分析】（1）根据题意验证四位数3846是否满足“和谐数”的定义即可； （2）根据得到，再变形成，得到是9的倍数，再根据a与d的取值范围得到，从而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图1，已知平行四边形，以为圆心，的长为半径作弧交于点．再分别以，为圆心，适当长度为半径作弧交于点，连接交于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）如图2，已知，．作射线，交的延长线于点，连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：平行四边形， ， ， 由题意可知平分， ， ， ． ， ． 又， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）运用角平分线加平行线推等腰模型得到，再结合得到，根据即得到四边形是平行四边形，继而证明四边形是菱形； （2）作于点，根据证明，从而得到，从而得到，，设，利用等腰三角形的性质得到，则，利用D求出x的值，再用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 设，则， ，解得， ∴， ，， ． 23. 已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； （2）将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点． ①求点的纵坐标． ②若点，分别在抛物线，上，若，，求的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为 （2）①点的纵坐标为；② 【解析】 【分析】（1）化为顶点式求解即可． （2）①利用抛物线平移的性质（左加右减变横坐标）求出平移后的抛物线解析式，将两个抛物线联立方程推出即点横坐标，代入任意一个抛物线即可求出点纵坐标．②根据题意，将分别代入各自的抛物线，表示出，将其转化成 关于的一次函数，利用一次函数的图像性质和取值范围即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：①， ， 顶点坐标为． 【小问2详解】 解：①∵， ∴抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线的解析式为． 是和的交点， ， ， ， 将代入得． ②；，点、分别在抛物线，上，， ∴， ． 是关于的一次函数，且， 的值是随着的增加而减小， 当时，； 当时，， ． 24. 如图1，已知四边形内接于，为直径，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作的垂线交于点，交于点． ①若，求的值； ②求证：． 【答案】（1）证明：连接，设，则． 是直径 （2）解：①； ②证明：设，，则． 由①可得， 在中， 即 【解析】 【分析】（1）连接，设，得到，根据圆周角定理和三角形的内角和定理求出，即可得证； （2）①设，则，，证明，推出，证明，即可得出结果；②设，，则，由①可得，解，得到，进而推出，即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴设，则，． 是直径 ， ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题策略研究 数学试卷 2026.06 卷Ⅰ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项是正确的，不选、多选、错选．均不给分．） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 2. 北宋王安石的一首诗《梅花》中的诗句“墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来”若梅花的花粉直径约为0.000036米，则数据0.000036用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的袋子里装有个红球和6个白球，这些球只有颜色不同，若从袋中随机摸出一个球是红球的概率为．则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 12 4. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若，，且，则线段的长度为（　 　）． A. B. C. D. 6. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. “九宫图”传说源于远古时代洛河中的神龟背甲图案，故又称“龟背图”．数学中的“九宫图”指一个的方格，要求其每行、每列及每条对角线上的三个数字之和均相等．如图所示为一个不完整的“九宫图”，则的值为（ ） A. B. C. D. 6 8. 如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，则形槽的深可表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在反比例函数的图象上，将直线向上平移个单位长度后，与反比例函数交于点．若点纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1所示，把分割成四块（三个四边形和一个直角三角形），通过旋转和平移可拼成如图2所示的正方形．若已知，且，则的长度是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 12. 分解因式：_______． 13. 方程的正根介于正整数与之间，则________． 14. 用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____． 15. 如图，正方形中，，点在以为直径的圆上，连接，交于，，当经过圆心时，线段的长度为________． 16. 如图，在矩形中，为对角线，于点，交于点，则的最大值为________． 三、解答题（本题有8小题．共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 18. 化简：． 19. 将两个全等的直角三角形，拼成如图1所示的图形，其中．将 沿着线段 的方向平移到图2位置，连接，． （1）求证：； （2）若 ，，求 平移的距离． 20. 某校开展“消防安全知识竞赛”活动，每个学生都参与了答题．为了解学生对消防安全知识的掌握情况．从全校学生的答题成绩中随机抽取了50名学生的成绩（成绩为百分制，用整数表示），并将其分成如下四组：第一组，第二组，第三组，第四组．下面给出了部分统计信息： 答题成绩在第三组的人数统计表 成绩（分） 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 人数 0 1 1 1 1 2 4 5 5 0 抽取的学生答题成绩频数分布直方图 根据以上信息解决下列问题： （1）抽取的50名学生答题成绩的中位数落在第 组，是 分； （2）请估计全校500名学生中答题成绩不低于85分的人数． 21. 【阅读材料】 定义：如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“和谐数”． 注： 举例①：四位数1538． 因为，所以1538是“和谐数”． 举例②：四位数2637． 因为，所以2637是“和谐数”． （1）【类比推理】请判断四位数3846是否为“和谐数”，并说明理由； （2）【探究性质】小明经观察发现“和谐数”1538中，；“和谐数”2637中，．于是猜想：对于任意一个“和谐数”，都有．请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 22. 如图1，已知平行四边形，以为圆心，的长为半径作弧交于点．再分别以，为圆心，适当长度为半径作弧交于点，连接交于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）如图2，已知，．作射线，交的延长线于点，连接，若，求的长． 23. 已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； （2）将抛物线向右平移6个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点． ①求点的纵坐标． ②若点，分别在抛物线，上，若，，求的取值范围． 24. 如图1，已知四边形内接于，为直径，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点作的垂线交于点，交于点． ①若，求的值； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $