精品解析：上海市竹园中学（五四制）2023-2024学年八年级上学期期中数学试题

八年级数学练习 一、单项选择题 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角相等，两直线平行 C. 面积相等的三角形全等 D. 全等三角形的周长相等 6. 已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程 的根，则这个三角形的周长为（ ） A. 25 B. 21 C. 19 D. 17 二、填空题 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 8. 计算：________． 9. 计算： ________． 10. 方程的解为________． 11. 在实数范围内因式分解：_________． 12. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为______． 13. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是_____． 14. 命题“对顶角相等”的题设是：___________． 15. 如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB=20，CF=12，则BD=______· 16. 如图， 为等边三角形，，则________. 17. 如图，， ，D为中点，，，垂足为点E，则________ ． 18. 已知，，且 ，则实数n的值为________． 三、简答题 19. 计算：； 20. 计算：． 21. 计算：．（） 22. 解方程：； 23. 解方程： ． 24. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个；为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 25. 如图，已知在四边形 中，点E在 上，，，．求证： （1）； （2）平分 ． 26. 如图，是等腰直角三角形，，，在平面内取一点 连接 、，点 为线段 的中点，连接并延长到点 ，使以为直角边，顺时针方向作等腰，，，连， ，． （1）如图，当 在边上时，请直接写出 与的位置和数量关系______ ； （2）如图，当 在的内部时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学练习 一、单项选择题 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、 含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、 不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、 只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意. 2. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对选项A， ， A计算错误； 对选项B，， B计算正确； 对选项C， ， C计算错误； 对选项D， ， D计算错误. 3. 关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ， 移项整理得 ，其中 , , ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根. 4. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵配方法需要在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程为 ，一次项系数为 ，一半的平方为 ， ∴方程两边同时加，得 ， 整理得 . 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角相等，两直线平行 C. 面积相等的三角形全等 D. 全等三角形的周长相等 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； B、同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题； C、面积相等的两个三角形不一定全等，例如底为高为的三角形与底为高为的三角形面积相等，但两个三角形不全等，原命题是假命题； D、全等三角形的周长相等，是真命题. 6. 已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程 的根，则这个三角形的周长为（ ） A. 25 B. 21 C. 19 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】先求解给定的一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系排除不符合的取值，最后计算得到三角形的周长. 【详解】解：∵ ， 因式分解得 ， ∴ 或， 当 时， ，不满足三边关系，不能构成三角形，舍去， 当时， ，满足三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为 . 二、填空题 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出关于 的不等式是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件求出 的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 则 的取值范围是：． 故答案为：． 8. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 9. 计算： ________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 10. 方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 11. 在实数范围内因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，当时，通过求解一元二次方程，得，结合，即可得到答案． 【详解】 当时，得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 12. 已知最简二次根式与可以合并，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简二次根式能够合并，得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据同类二次根式求参数．解题的关键是得到两个最简二次根式是同类二次根式． 13. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】k＜﹣1 【解析】 【分析】根据方程没有实数根可得△＝b2−4ac＜0，列出关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0， 解得：k＜﹣1， ∴k的取值范围是：k＜﹣1， 故答案为k＜﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 14. 命题“对顶角相等”的题设是：___________． 【答案】 两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题考查命题的结构，命题由题设和结论组成，将原命题改写为“如果…那么…”的形式，“如果”引出的部分即为题设，据此求解即可. 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“如果”引领的部分是题设， 因此该命题的题设是两个角是对顶角. 15. 如图，AB∥FC，E是DF的中点，若AB=20，CF=12，则BD=______· 【答案】8 【解析】 【分析】根据平行的性质求得内错角相等，已知对顶角相等，又知E是DF的中点，所以根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD=CF，已知AB，CF的长，那么BD的长就不难求出． 【详解】解：∵AB∥FC， ∴∠ADE=∠CFE， ∵E是DF的中点， ∴DE=FE， ∵∠AED=∠CEF， ∴△ADE≌△CFE(ASA)， ∴AD=CF， ∵AB=20，CF=12， ∴BD=AB-AD=20-12=8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法的掌握．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 16. 如图， 为等边三角形，，则________. 【答案】60 【解析】 【分析】根据已知条件去证和全等，进而得出对应角相等，即：,然后根据三角形的外角定理得： . 【详解】解： 为等边三角形， ,. 在和中： , , . . 故答案为：60. 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定以及全等三角形的对应角相等利用等量代换结合外角定理最终求出答案. 17. 如图，， ，D为中点，，，垂足为点E，则________ ． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得到，然后结合D为中点求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∵ ，D为中点， ∴ ， ∴ ． 18. 已知，，且 ，则实数n的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将 ， 进行分母有理化，再分别求出，的值，然后将已知等式变形为 ，最后代入求解． 【详解】解： ∴， ， ， ∴ ， ∴ ∴ ∴ 解得 ∵ ∴． 三、简答题 19. 计算：； 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根，化简绝对值，有理数的乘方，进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根，化简绝对值，有理数的乘方是解题的关键． 21. 计算：．（） 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 22. 解方程：； 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ，， ， ∴， 解得，． 23. 解方程： ． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 化简得：， ， 或， ，． 24. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个；为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 【答案】台灯的售价定为50元，应进台灯500个． 【解析】 【分析】设售价定为x，那么就少卖出10(x-40)个，根据“总利润=单个商品利润×熟练，单个商品利润=售价-进价”，可列方程求解． 【详解】解：设售价定为x元， 由题意可知：[600-10(x-40)](x-30)=10000， 整理，得：x2-130x+4000=0， 解得：x1=50，x2=80， 又售价在40～60元范围内， ∴x2=80舍去， ∴售价定为50元， 此时应进台灯为：600-10(x-40)=600-10×(50-40)=500(个)， 答：台灯的定价定为50元，这时应进台灯500个． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握公式“总利润=单个商品利润×熟练，单个商品利润=售价-进价”进而列方程求解． 25. 如图，已知在四边形 中，点E在 上，，，．求证： （1）； （2）平分 ． 【答案】（1）证明： ，， ， 又∵，， ； （2）证明：， ， ． ， ， 平分 ． 【解析】 【分析】（1）首先得到 ，然后证明； （2）首先利用全等三角形的性质得到，得到，等量代换得到，即可得到平分 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图，是等腰直角三角形，，，在平面内取一点 连接 、，点 为线段 的中点，连接并延长到点 ，使以为直角边，顺时针方向作等腰，，，连， ，． （1）如图，当 在边上时，请直接写出 与的位置和数量关系______ ； （2）如图，当 在的内部时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）， （2）成立，见解析 【解析】 【分析】本题是三角形集合变换题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，垂直的判定和性质，平行线的性质及判定，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键． （1）连接，可以根据证明从而得到，又因为 ，，根据可以证明得证 ，   （2）延长交于，可以证明，得到，所以，易证， ，根据可证，得证，． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 点 为线段 的中点， ， ，， ． ，， ． ， ， ， ， ， ， ． ，． ． ， ． 【小问2详解】 证明：（1）中结论仍然成立，证明如下： 如图，延长交于， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ∵ ，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $