精品解析：上海市浦东区三校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025学年第一学期八年级数学期中质量检测 （测试时间：90分钟，满分：100分） 考生注意： 1.本试卷含四个大题，共28题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 实数：，，，（相邻两个之间依次多一个），，其中无理数有（ ）个． A B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 负数没有立方根 C. 的立方根是 D. 的算术平方根是 3. 在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A B. C. D. 4. 在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （其中、、是常数） C. D. 6. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7. 的立方根是______． 8. 使代数式有意义的x的取值范围是__________． 9. 比较大小：_____（选填“”，“”，“”）． 10. 不等式的解集是________ 11. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁牧的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084为_________． 12. 化简：________． 13. 已知，化简__________. 14 计算：__________. 15. 方程根是__________. 16. 若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值为 ___． 17. 如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为__________. 18. 我们定义：如果一个数平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：． 根据上述材料，将化为（，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）_____． 三、简答题（本大题共7小题，每题6分，共42分.） 19. 计算： 20. 计算： 21. 计算： 22. 计算： 23. 解方程： 24. 解方程：． 25. 用配方法解方程： 四、解答题（第26题8分，第27题6分，第28题8分共22分.） 26. 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程有一个根为2，求方程的另一根． 27. 先化简，再求值：，其中. 28. 阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则的值是______________； （2）求证：无论取何值，二次根式都有意义； （3）若代数式的最小值为2，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期八年级数学期中质量检测 （测试时间：90分钟，满分：100分） 考生注意： 1.本试卷含四个大题，共28题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 实数：，，，（相邻两个之间依次多一个），，其中无理数有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环的小数，进行解答，即可． 【详解】解：，，（相邻两个之间依次多一个）是无理数，共个． 故选C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 负数没有立方根 C. 的立方根是 D. 的算术平方根是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根及算术平方根的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】A中， ，的平方根是，而非，故A错误； B中，负数有立方根，如的立方根是，故B错误； C中，的立方根是（因），而非，故C错误； D中，，的算术平方根是，故D正确； 故选：D． 3. 在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理化因式的概念． 有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式就互为有理化因式，分别将选项代入计算看乘积是否含有根式即可． 【详解】A．，结果不带根式，符合题意． B．，结果带根式，不符合题意． C．，结果带根式，不符合题意． D．，结果带根式，不符合题意． 故选：A． 4. 在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，逐一分析每个选项是否满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： ，不是最简二次根式． ，不是最简二次根式． ，被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． ，不是最简二次根式． 故选：C． 5. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. （其中、、是常数） C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题关键．先将各选项一元二次方程不是一般形式的化为一般形式，然后根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，是一元二次方程，故符合题意； B．当时，（其中、、是常数）不是一元二次方程，故不符合题意； C．不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意； D．，整理，得，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：A． 6. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故先：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知当时方程有两个相等的实数根． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7. 的立方根是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：∵ ∴的立方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了立方根定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．解题的关键是注意一个数的立方根与原数的符号相同． 8. 使代数式有意义x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零得：． 解得：． 故答案为： 9. 比较大小：_____（选填“”，“”，“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小的比较，因为是两个无理数比较大小，所以应把根号外的数整理到根号内再进行比较． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 10. 不等式的解集是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，移项，合并同类项，一次项系数化为，即可求解；掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； 故答案为：． 11. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁牧的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数， 将小数写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键；根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】 故答案为：． 13. 已知，化简__________. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 被开方数分子和分母同乘以，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， 有意义， ∴ ∴ ， 故答案为：． 14. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法运算及二次根式的性质是解题的关键；将根式的除法运算转化为乘法，利用二次根式的性质进行简化即可． 【详解】解：； 故答案为：． 15. 方程的根是__________. 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，涉及到因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法求解一元二次方程． 先将方程化为一般式，再进行因式分解，求解方程即可． 【详解】解：由可得， 因式分解得， 则或， 解得或， 故答案为：，． 16. 若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值为 ___． 【答案】9 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念列方程，然后利用因式分解法解一元二次方程，最后分类讨论即可． 【详解】解：由题意可得：m2-2＝8m+7， 解得：m＝9或m＝-1， 当m＝9时，，，符合题意， 当m＝-1时，没有意义，故舍去， 综上，m的值为9， 故答案为：9 【点睛】本题主要考查同类二次根式及一元二次方程的解法，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 17. 如图，面积为3正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，解题的关键是掌握实数与数轴的关系以及求解算术平方根． 先求出面积为3的正方形的边长，根据点表示的数以及点、点的位置，求解即可． 【详解】解：设面积为3的正方形的边长为，则， 由算术平方根的性质可得，， 由题意可得，， 由点在数轴上表示的数为1，点在点的左边， 则点所表示的数为， 故答案为：． 18. 我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如计算：． 根据上述材料，将化为（，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了新定义运算．分子分母同乘以后，把分母化为不含数后计算． 【详解】解：． 故答案为：． 三、简答题（本大题共7小题，每题6分，共42分.） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式和二次根式的加减运算，解题的关键是掌握最简二次根式以及二次根式的加减运算． 先将每个式子化为最简二次根式，再根据二次根式的加减运算求解即可． 【详解】解：， ， ． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握法则． 先分母有理化和计算二次根式的乘法，再进行加减计算． 【详解】解： ． 21. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式以及二次根式的加减运算，解题的关键是掌握最简二次根式和二次根式的加减运算法则． 由题意可得，，先将每个式子化为最简二次根式，再根据二次根式的加减运算求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 则， ， ， ． 22. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了平方差公式和完全平方公式，要注意计算的准确性. 【详解】解： 23. 解方程： 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根解方程，由题意得，推出，即可求解. 【详解】解： 或 或 所以原方程的解为或. 24. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴， 【点睛】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键 25 用配方法解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先将二次项系数化为1，然后根据配方法，可即答案. 【详解】解： 故答案为 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 四、解答题（第26题8分，第27题6分，第28题8分共22分.） 26. 已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程有一个根为2，求方程的另一根． 【答案】（1）k≥﹣1； （2）方程的另一根为﹣4． 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个实数根，可得：，再解不等式可得答案； （2）由方程有一个根为2，设方程的另一根 根据根与系数的关系可得：再解方程可得答案． 【小问1详解】 解：（1）∵方程有两个实数根， ∴，即 ∴ ； 【小问2详解】 解： 方程有一个根为2，设方程的另一根 所以可方程的另一根为 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键． 27. 先化简，再求值：，其中. 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式、二次根式的化简求值，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再进行化简，最后代值计算即可． 【详解】解： 把代入： ． 28. 阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则的值是______________； （2）求证：无论取何值，二次根式都有意义； （3）若代数式的最小值为2，求的值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）把右边化简，求出a和b的值，进而可求出ab的值； （2）把被开方数配方，即可证明结论成立； （3）把所给代数式配方，根据代数式的最小值为2，得出关于k的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴2a=4，a2+b=-1， ∴a=2，b=-5， ∴ab= （2）证明：， 又，， 无论取何值，的值都是正数，∴无论取何值，二次根式都有意义． （3）原式， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．也考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程的解法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $