2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务二十一 ·平面向量的概念及线性运算 课件

这是一份高一数学期末复习课件，聚焦平面向量的概念及线性运算，通过主干知识表格梳理、知识深化解析、基础检测题组及能力达标模块（含例题、变式探究、规律方法总结与及时练）搭建复习支架，助力学生系统巩固向量核心知识。 资料特色突出核心素养培养，通过向量概念辨析（如单位向量、零向量）发展数学抽象能力，借助平行四边形法则、三角形法则等几何直观培养数学眼光，结合共线定理应用、参数求解等推理过程训练数学思维，以三角形重心、中点公式等模型强化数学语言表达。分层练习与方法指导帮助学生夯实基础提升解题能力，为教师提供系统复习框架与教学资源。高一学生需适应抽象概念学习，本资料助力其完成思维转变，高效备考期末。

高一数学期末复习课程 任务二十一·平面向量的概念及线性运算 一、主干知识梳理 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有　　 　又有　　 　的量叫做向量; 向量的大小称为向量的　　　　(或称　　　　) 记作||   注意字母的前后顺序 零向量 长度为　　　　的向量叫做零向量  记作0 单位 向量 长度等于　　　　　　　的向量,叫做单位向量  一个与之同向,另一个反向,这两个单位向量互为相反向量 与非零向量a共线的单位向量为± 大小 方向 长度 模 0 1个单位长度 名称 定义 备注 平行向量 (共线向量) 方向　　　　或　　　　的非零向量叫做平行向量(共线向量)  零向量与任意向量平行 相等向量 长度　　　　且方向　　　　的向量叫做相等向量  两向量只有相等或不相等,不能比较大小 相反向量 长度　　　　且方向　　　　的向量叫做相反向量  零向量的相反向量仍是零向量 相同 相反 相等 相同 相等 相反 [知识深化] 1.单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同;与向量a平行的单位向量有两个,即向量和-. 2.注意0与0的区别,0是一个向量,0是一个实数,且|0|=0,一个向量是零向量的充要条件是其模等于0. 3.零向量和单位向量是两个特殊的向量,它们的模是确定的,但是方向不确定,因此在解题时要注意它们的特殊性. 4.任意一组平行向量都可以平移到同一直线上. 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算,叫做向量的加法   三角形法则   适用于任意两个非零向量求和   平行四边形法则   只能用于两个不共线向量求和 交换律: a+b=　   结合律: (a+b)+c=　　 　　 　  b+a a+(b+c) 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 减法 向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差.求两个向量差的运算叫做向量的减法   三角形法则 — 数乘 求实数λ与向量a的积的运算叫做向量的数乘 |λa|=　　　　　;  当λ>0时,λa的方向与a的方向　　　　;当λ<0时,λa的方向与a的方向　　　　;当λ=0时,λa=0  λ(μa)=　 　 　;  (λ+μ)a=　 　 　; λ(a+b)= 　　 　　(λ,μ为实数)  |λ||a| 相同 相反 (λμ)a λa+μa λa+λb [知识深化] 1.两个向量的和仍然是一个向量. 2.利用三角形法则时,两向量要首尾相连,利用平行四边形法则时,两向量要有相同的起点. 3.当两个向量共线时,三角形法则仍然适用,而平行四边形法则不再适用. 3.共线向量定理 不能漏掉这一条件 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得　　　　　. [教材知识深化] 1.只有a≠0才能保证实数λ的存在性和唯一性. 2.三点共线的几个等价关系 b=λa 二、基础检测 1.已知a,b是两个单位向量,则下列结论正确的是(　　) A.a=±b B.a∥b C.a·b=0 D.a2=b2 D 解析:单位向量的模长相等,a2=|a|2,b2=|b|2,则a2=b2, 故D正确,其他选项均错误. 2.四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则为(　　) A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c A 解析:由三角形法则可得=a-b+c. 3.已知M,N,P,Q是平面内四个互不相同的点,a,b为不共线向量, =2 023a+2 025b,=2 024a+2 024b,=-a+b,则(　　) A.M,N,P三点共线 B.M,N,Q三点共线 C.M,P,Q三点共线 D.N,P,Q三点共线 B 解析:=-a+b+2 024a+2 024b=2 023a+2 025b, 所以,所以M,N,Q三点共线,故选B. 4.点C在线段AB上,且,则=　  =　　　 . - 解析:由点C在线段AB上,且,可画出图形如图,设AC=5,则CB=2. ∴AB=7,同向,反向,=- 5.已知▱ABCD的对角线AC和BD交于点O,且=a,=b, 则=　　　　,=　　　　.(用a,b表示) b-a -a-b 解析:如图,=b-a,=-=-a-b. 6.已知a,b是两个不共线的向量,若向量b-ta与a-b共线,则实数t=　　. 　 解析:由题意知,存在实数λ,使b-ta=λ(a-b),即(t+)a=(+1)b, 因为a,b不共线,所以t+=+1=0.解得t= 7.若a,b满足|a|=3,|b|=5,则|a+b|的最大值为　　,最小值为　　　　. 8 2 解析:|a+b|≤|a|+|b|=3+5=8,当且仅当a,b同向时,等号成立,所以|a+b|max=8.又因为|a+b|≥||a|-|b||=|3-5|=2, 当且仅当a,b反向时等号成立, 所以|a+b|min=2. 8.在△ABC中,D是AB边上的中点,则=(　　) A.2 B.-2 C.2 D.+2 C 解析:如图,+2+2()=2 9.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(　　) A. B. C. D. A 解析:如图,根据向量的运算法则, 可得 )=故选A. 10.在△ABC中,点D满足=λ,若,则λ=(　　) A. B. C.3 D.-4 B 解析:如图,因为在△ABC中,=, 所以++λ()=(1-λ)+, 又因为, 所以(1-λ)+,所以λ= 11.已知向量a,b不共线,且向量λa+b与a+(2λ-1)b的方向相反, 则实数λ=　　　　. - 解析: 因为向量λa+b与a+(2λ-1)b的方向相反, 所以λa+b=k[a+(2λ-1)b],k<0, 因为a,b不共线, 所以则2λ2-λ-1=0,因为λ=k<0,解得λ=- ①.平面向量的基本概念 例1 (1)下列说法正确的是(　　) A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b B.单位向量的模是1,所有单位向量是相等向量 C.相反向量的长度相等 D.共线向量是在同一条直线上的向量 C 三、能力达标 解析:对于A,由|a|=|b|只知两向量长度相等,方向不确定,故A错误;对于B,因单位向量的方向不确定,故B错误;对于C,根据定义,一对相反向量只有方向相反,模长一定相等,故C正确;对于D,两条共线向量既可以在一条直线上,也可以在两条平行线上,还可以有一个为零向量,故D错误. (2)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是(　) A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b| C 解析:由,知a与b方向相同.A选项是相反向量,不正确; B选项中两向量可能同向,也可能反向,不正确; C选项中两向量同向,正确; D选项中两向量相等或相反,不正确. 及时练1： (多选)下列说法中正确的是(　　) A.若a∥b,b∥c,则a∥c B.若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C.若a=b,b=c,则a=c D.a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b BC 解析:A错误,需考虑b=0,当b=0时,a∥b,b∥c,但a与c不平行;B正确,∵,∴||=||且,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则||=||,方向相同,因此;C正确,∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c;D错误,当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.故选BC. ②.平面向量的线性运算 例2 若向量a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则向量a与向量a+b所在直线的夹角是　　　.(用弧度表示)  　 向量加、减法的几何意义 解析:设=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OACB,如图所示,则a+b=,a-b= 因为|a|=|b|=|a-b|,所以||=||=||,所以△OAB是等边三角形, 所以∠BOA=,四边形OACB为菱形. 在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA, 所以向量a与向量a+b所在直线的夹角是 变式探究：若将“向量a与向量a+b所在直线的夹角”改为:“向量a与向量a-b的夹角”如何求解? 解:设=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OACB, 如图所示,则a+b=,a-b= 因为|a|=|b|=|a-b|, 所以||=||=||, 所以△OAB是等边三角形,a-b就是向量, 所以向量a与向量a-b的夹角是 及时练2： (1)在四边形ABCD中,若=-,且||=||, 则四边形ABCD为(　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 C 解析:因为=-,可得,所以四边形ABCD是平行四边形.又因为||=||,可得||=||,所以平行四边形ABCD的对角线相等,因此四边形ABCD是矩形.故选C. (2)已知|a|=8,|b|=6,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|. 解 设=a,=b,以线段AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,如图所示. 则=a+b,=a-b, 因为|a+b|=|a-b|,所以||=||. 又因为四边形ABCD为平行四边形, 所以四边形ABCD为矩形,故AD⊥AB. 在Rt△DAB中,||=8,||=6, 由勾股定理得||==10.所以|a-b|=10. 例3 (1)在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,点M是BC的中点,则=(　　) A. B. C. D. D 解析:依题意可得 ) =故选D. 向量的线性运算 (2)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n B 解析 (方法一)因为BD=2DA,所以=2,即=2(), 所以=-2+3=-2m+3n.故选B. (方法二)因为BD=2DA,所以, 于是=-2+3=-2m+3n.故选B. 及时练3：在△ABC中,点M是线段BC上靠近B的三等分点,点N是线段AC的中点,则=(　　) A.- B.- C.- D.- D 解析:作出图形如图所示, 则=-, 所以) =)+=-,故选D. 例4 在平行四边形ABCD中,.若=m+n, 则m+n=(　　) A. B. C. D. D 解析:由题意可得 )=)=, 所以m=,n=,所以m+n= 根据向量线性运算求参数 变式探究1 (换条件)若将“.若=m+n”改为“E是对角线AC上靠近点C的三等分点,点F在BE上且为中点,若=m+n”如何求解? 解:∵点F在BE上且为中点,且E是对角线AC上靠近点C的三等分点, 则 = )=,∴m+n= 变式探究2 (换条件)若将“.若=m+n”改为“点E,F分别满足=2=4=2,若=m+n”如何求解? 解:以{}为基底向量,如图所示,则可得 , 因为=m+n, 即=m+n=m()+n()=(m+n)+(m+n), 可得两式相加得(m+n)=,可得m+n= 及时练4：(1)如图,在直角梯形ABCD中,=2,且=r+s,则2r+3s=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 解析 ) =)=)= 因为=r+s,所以r=,s=,则2r+3s=1+2=3.故选C. (2)如图,在△ABC中,点M,N满足=2.若=x+y, 则x+y=　　　　　. 解析 因为) ==x+y,所以x=,y=-,所以x+y= ③.共线向量基本定理的应用 例5 (1)已知平面向量a,b不共线,=4a+6b,=-a+3b,=a+3b,则(　　) A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 D 解析:对于A,=-a+3b+(a+3b)=6b,与不共线,A不正确; 对于B,=4a+6b,=-a+3b,则不共线,B不正确; 对于C,=-a+3b,=a+3b,则不共线,C不正确; 对于D,=4a+6b+(-a+3b)=3a+9b=3,即, 又线段AC与CD有公共点C,所以A,C,D三点共线,D正确.故选D. (2)如图,在△ABC中,=3,P是BN上的一点,若=(m+, 则实数m的值为(　　) A. B. C. D. D 解析:由题意可知,, 所以=3,又因为=(m+,即=(m+ 因为B,P,N三点共线,所以(m+)+=1,解得m=故选D. 及时练4： (1)已知e1,e2是平面内的一组基底,=4e1+3e2,=2e1+ke2,=5e1-3e2,若A,B,C三点共线,则实数k的值为(　　) A.9 B.13 C.15 D.18 C 解析:因为=4e1+3e2,=2e1+ke2,=5e1-3e2, 所以=(2e1+ke2)-(4e1+3e2)=-2e1+(k-3)e2, =(5e1-3e2)-(4e1+3e2)=e1-6e2, 又因为A,B,C三点共线, 所以设=,即-2e1+(k-3)e2=λ(e1-6e2),所以解得 (2)已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线且反向,则实数λ的值为(　　) A.1 B.- C. D.-2 B 解析 由于c与d共线且反向,则存在实数k使c=kd(k<0), 于是λa+b=k[a+(2λ-1)b],整理得λa+b=ka+(2λk-k)b. 由于a,b不共线,所以有整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=- 又因为k<0,所以λ<0,故λ=-故选B. (3)在边长为1的正方形ABCD中,点E为线段CD的三等分点,CE=DE,=λ+μ,则λ+μ=　　　　. 　 解析:因为CE=DE,即, 则, 可得λ=,μ=1,所以λ+μ= 任 务 完 成 A,P,B三点共线⇔ $