2026年越南数学奥林匹克国家队选拔考试试题

2026越南国家队选拔考试 DE THI CHON DOI TUYEN OLYMPIC TOAN QUOC TE NAM 2026 第一天 题1.对正整数k,若正整数构成的集合S满足如下条件： 。S≠0， 。对所有n∈S,都有(25”-3")k的所有正约数都在S中， 就称集合S是k-奥林匹克的， 试求所有正整数k,使得存在一个唯一的k-奥林匹克的集合 题2.设n是正整数.在一个国家中，有8n+3座机场.对任意两座 机场，要么存在一条直达航线，要么没有.已知对任意两条没有直达 航线的机场，这两座机场拥有的直达航线条数恰好相差2.试确定这 个国家直达航线条数的最小可能值 题3.不等边锐角三角形ABC的高线分别为AD,BE,CF.点A在 直线EF,FD,DE上的投影分别为X,Y,Z.直线BZ与三角形BDY 的外接圆交于点P≠B,直线CY与三角形CDZ的外接圆再次交于 点Q≠C.证明：点X对三角形YFP和ZEQ的外接圆等幕 第二天 题4.三角形ABC中，边BC的中点为O.作过点A的以BC为直 径的圆(O)的切线，切点分别为E和F.射线AE和AF分别与BC 交于点K和L.设KF与LE分别再次与(O)交于点M和N.三角 形MON的外接圆与以AB和AC为直径的圆分别交于点X和Y.证 明：LXAB=LYAC. 题5.给定正整数k和n,其中k<n.试求所有kn次首一实系数多 项式P(x),使得 Q(x)=P(x”+1)-(P(x)” 次数不超过kn(n-1) 题6.设H是{1,2，..，2027}的非空子集构成的集族，且满足如下 性质：对每个集合A∈H和子集B≤A,都有B∈H.设lH和cH分 别是H中含有偶数个元素的集合个数和含有奇数个元素的集合个数， 证明： 2026 lH-CH≤ 1013