2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2026年全国高中数学联合竞赛（A卷） 模拟试题 2

2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛) 暨2026年全国高中 数学联合竞赛 模拟试题 2(A卷) 说明:本试卷共11题，满分120分。填空题每小题 8分，共64分；解答题第9题16分，第10、 11题各20分。 一、填空题(本大题共8小题，每小题8 分, 共64分) 1. 设 为正整数，且 ，则有序对 的个数为_________。 答案: 2 解析: 。解 的正整数解, 由勾股数公式, 唯一的一组 (不计顺序) 为 。有序对为 和 7), 共2个。 2. 已知多项式 满足对任意非零实数 , 则 _________。 答案: 2026 解析: 令 ,则 0。若 是非常数多项式,则 不是多项式,但等式对无穷多个 成立,只能 0。故 ,所以 。 3. 在空间直角坐标系中, ), ,点 在平面 内运动, 则当 取最小值时, 的坐标为_________。 答案: 解析: 对于平面上的点 的最小值在 的重心处取得。重心 坐标为 。该点在平面 上,符合要求。 4. 已知实数 满足 ,则 的取值范围是_________。 答案: 解析: 设 ,则 令 ,则 。 又 ,代入得 设 ,求导 。 . 比较得最大值1 ,最小值 故取值范围为 5. 对任意正实数 ,函数 的最大值为_________。 答案: 解析: 由均值不等式: 所以 ,等号当 : 1 时成立,故最大值为 。 6. 单位圆 与 轴交于 。过圆上一点 (异于 , 作圆的切线，与过 的切线分别交于 ，则梯形 的对角线交点 的轨迹方程为_________。 答案: （，） 解析: 设 ,切线方程 ,得 , 。对角线 和 的方程联立消去 得 ,故轨迹 。 7. 已知严格递增的正实数列 满足: 当且仅当 为小数部分)，则此数列的前100项之和为_________。 答案: 解析: 由条件得: 所有正整数 和所有形如 的数构成数列,且交错排列。前100项中，奇数项为 , ,偶数项为 。 和 ,其中 , 故结果为 。 8. 设数列 的通项为 ,记 为其前 项和, 为其前 项积, 则 答案: 解析: 利用裂项 , 累加可得 , 而 ,通过恒等式化简得 。代入 即得。 二、解答题 (本大题共3小题, 共56分) 9.(16分) 已知实数 满足 ,求 的最大值和最小值, 并证明你的结论。 解:(方法1) 。 由 ,得 , 等号当 时成立。 因此 最小值 ,当 即 时取得。 又 ,所以 最大值 1,当 即 或 时取得(此时另一者 )。 (方法2)也可用三角换元:设 ，则 . 因为 ,所以 。 结论: 最大值为 1,最小值为 。 10. (20分) 给定双曲线 ， 为实轴端点。过右焦点 ) 任作一条直线,与双曲线右支交于 两点。直线 与 交于点 。 证明:点 在一条定直线上。 证明: 以右焦点 为极点,极轴沿 轴正向建立极坐标系, 双曲线方程为 设 ，则 考虑直线 与右准线 的交点 , 利用梅涅劳斯定理于 和截线 ,可证 共线, 故 即为 与 的交点 。 因此 恒在右准线 上(定直线)。证毕！ 11. (20分) 已知数列 定义为: () 求 的值。 解: 通过计算前几项并归纳可得: 对任意 ,记 ,则 ; 当 时, 。 由 ,取 ,则 因为 ,所以 故 . ( 5 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛) 暨2026年全国高中 数学联合竞赛 模拟试题 2(A卷) 说明:本试卷共11题，满分120分。填空题每小题 8分，共64分；解答题第9题16分，第10、 11题各20分。 一、填空题(本大题共8小题，每小题8 分, 共64分) 1. 设 为正整数，且 ，则有序对 的个数为_________。 2. 已知多项式 满足对任意非零实数 , 则 _________。 3. 在空间直角坐标系中, ), ,点 在平面 内运动, 则当 取最小值时, 的坐标为_________。 4. 已知实数 满足 ,则 的取值范围是_________。 5. 对任意正实数 ,函数 的最大值为_________。 6. 单位圆 与 轴交于 。过圆上一点 (异于 , 作圆的切线，与过 的切线分别交于 ，则梯形 的对角线交点 的轨迹方程为_________。 7. 已知严格递增的正实数列 满足: 当且仅当 为小数部分)，则此数列的前100项之和为_________。 8. 设数列 的通项为 ,记 为其前 项和, 为其前 项积, 则 二、解答题 (本大题共3小题, 共56分) 9.(16分) 已知实数 满足 ,求 的最大值和最小值, 并证明你的结论。 10. (20分) 给定双曲线 ， 为实轴端点。过右焦点 ) 任作一条直线,与双曲线右支交于 两点。直线 与 交于点 。 证明:点 在一条定直线上。 11. (20分) 已知数列 定义为: () 求 的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $